Очень часто, урони рядов динамики колеблются, при этом тенденция развития явления во времени скрыта случайными отклонениями уровней в ту или иную сторону. С целью более четко выявить тенденцию развития исследуемого процесса, в том числе для дальнейшего применения методов прогнозирования на основе трендовых моделей, производят сглаживание (выравнивание ) временных рядов.
Методы сглаживания временных рядов делятся на две основные группы:
1. аналитическое выравнивание с использованием кривой, проведенной между конкретными уровнями ряда так, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду, и одновременно освобождала его от незначительных колебаний;
2. механическое выравнивание отдельных уровней временного ряда с использованием фактических значений соседних уровней.
Суть методов механического сглаживания заключается в следующем. Берется несколько уровней временного ряда, образующих интервал сглаживания. Для них подбирается полином, степень которого должна быть меньше числа уровней, входящих в интервал сглаживания; с помощью полинома определяются новые, выровненные значения уровней в середине интервала сглаживания. Далее интервал сглаживания сдвигается на один уровень ряда вправо, вычисляется следующее сглаженное значение и так далее.
Самым простым методом механического сглаживания является метод простой скользящей средней.
2.4.1. Метод простой скользящей средней.
Сначала для временного ряда: определяется интервал сглаживания . Если необходимо сгладить мелкие беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим; интервал сглаживания уменьшают, если нужно сохранить более мелкие колебания.
Для первых уровней ряда вычисляется их среднее арифметическое. Это будет сглаженное значение уровня ряда, находящегося в середине интервала сглаживания. Затем интервал сглаживания сдвигается на один уровень вправо, повторяется вычисление среднего арифметического и так далее. Для вычисления сглаженных уровней ряда применяется формула:
где (при нечетном ); для четных формула усложняется.
В результате такой процедуры получаются сглаженных значений уровней ряда; при этом первые и последние уровней ряда теряются (не сглаживаются). Другой недостаток метода в том, что он применим лишь для рядов, имеющих линейную тенденцию.
2.4.2. Метод взвешенной скользящей средней.
Метод взвешенной скользящей средней отличается от предыдущего метода сглаживания тем, что уровни, входящие в интервал сглаживания, суммируются с разными весами. Это связано с тем, что аппроксимация ряда в пределах интервала сглаживания осуществляется с использованием полинома не первой степени, как в предыдущем случае, а степени начиная со второй.
Используется формула средней арифметической взвешенной:
,
причем веса определяются с помощью метода наименьших квадратов. Эти веса рассчитаны для различных степеней аппроксимирующего полинома и различных интервалов сглаживания.
1. для полиномов второго и третьего порядков числовая последовательность весов при интервале сглаживания имеет вид: 
, а при имеет вид: ;
2. для полиномов четвертой и пятой степеней и при интервале сглаживания последовательность весов выглядит следующим образом: .
Распределение весов на протяжении интервала сглаживания, полученное на основе метода наименьших квадратов см. на диаграмме 1.
 |
2.4.3. Метод экспоненциального сглаживания.
К той же группе методов относится метод экспоненциального сглаживания.
Его особенность заключается в том, что в процедуре нахождения сглаженного уровня используются значения только предшествующих уровней ряда, взятые с определенным весом, причем вес наблюдения уменьшается по мере удаления его от момента времени, для которого определяется сглаженное значение уровня ряда.
Если для исходного временного ряда
соответствующие сглаженные значения обозначить через 
, то экспоненциальное сглаживание осуществляется по формуле:
где параметр сглаживания ; величина называется коэффициентом дисконтирования.
Используя, приведенное рекуррентное соотношение для всех уровней ряда, начиная с первого и кончая моментом времени , можно получить, что экспоненциальная средняя, то есть сглаженное данным методом значение уровня ряда, является взвешенной средней всех предшествующих уровней.
Арендный блок
Существует несколько методов обработки рядов динамики, а именно: метод укрупнения интервалов, метод скользящей средней и аналитическое выравнивание. Во всех методах вместо фактических уровней при обработке ряда рассчитываются иные уровни, в которых тем или иным способом взаимопогашается действие случайных факторов и тем самым уменьшается колеблемость уровней. Последние в результате становятся как бы «выравненными», «сглаженными» по отношению к исходным фактическим данным. Такие методы обработки называются сглаживанием или выравниванием рядов динамики.
Методы сглаживания и выравнивания динамических рядов.
Исключение случайных колебаний значений уровней ряда осуществляется с помощью нахождения «усредненных» значений. Способы устранения случайных факторов делятся на две больше группы:
1. Способы «механического» сглаживания колебаний путем усреднения значений ряда относительно других, расположенных рядом, уровней ряда.
2. Способы «аналитического» выравнивания, т. е. определения сначала функционального выражения тенденции ряда, а затем новых, расчетных значений ряда.
Методы «механического» сглаживания.
Сюда относятся:
а. Метод усреднения по двум половинам ряда, когда ряд делится на две части. Затем, рассчитываются два значения средних уровней ряда, по которым графически определяется тенденция ряда. Очевидно, что такой тренд не достаточно полно отражает основную закономерность развития явления.
б. Метод укрупнения интервалов, при котором производится увеличение протяженности временных промежутков, и рассчитываются новые значения уровней ряда.
в. Метод скользящей средней. Данный метод применяется для характеристики тенденции развития исследуемой статистической совокупности и основан на расчете средних уровней ряда за определенный период. Последовательность определения скользящей средней:
Устанавливается интервал сглаживания или число входящих в него уровней. Если при расчете средней учитываются три уровня, скользящая
средняя называется трехчленной, пять уровней пятичленной и т.д. Если сглаживаются мелкие, беспорядочные колебания уровней в ряду динамики,
то интервал (число скользящей средней) увеличивают. Если волны следует сохранить, число членов уменьшают.
Исчисляют первый средний уровень по арифметической простой:
y1 = (y1/m, где
y1 I-ый уровень ряда;
m членность скользящей средней.
Первый уровень отбрасывают, а в исчисление средней включают уровень, следующий за последним уровнем, участвующем в первом расчете. Процесс продолжается до тех пор, пока в расчет y будет включен последний уровень исследуемого ряда динамики yn.
По ряду динамики, построенному из средних уровней, выявляют общую тенденцию развития явления.
Отрицательной стороной использования метода скользящей средней является образование сдвигов в колебаниях уровней ряда, обусловленных «скольжением» интервалов укрупнения. Сглаживание с помощью скользящей средней может привести к появлению «обратных» колебаний, когда выпуклая «волна» заменяется на вогнутую.
Методы «аналитического» выравнивания
Более точным способом отображения тенденции динамического ряда
является аналитическое выравнивание, т. е. выравнивание с помощью
аналитических формул. В этом случае динамический ряд выражается в виде
функции у (t), в которой в качестве основного фактора принимается время t,
и изменения аргумента функции определяют расчетные значения уt.
Фактическими (или эмпирическими) уровнями ряда динамики называют исходные данные об изменении явления, т. е. данные, полученные опытным путем, посредством наблюдения. Они обозначаются уi. Расчетными (или
теоретическими) уровнями ряда называют значения, полученные в результате
подстановки в уравнение тренда значений t, и обозначают их.
Целью аналитического выравнивания динамического ряда является
определение аналитической или графической зависимости f(t) . На практике по
имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t) , а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса.
Чаще всего при выравнивании используются следующий зависимости:
линейная ;
параболическая ;
экспоненциальная
1)Линейная зависимость выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные и цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.
2)Параболическая зависимость используется, если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.
3)Экспоненциальные зависимости применяются, если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост
(устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста, коэффициентов роста)
Либо, при отсутствии такого постоянства, -- устойчивость в изменении
показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов
роста, цепных коэффициентов роста цепных же коэффициентов или темпов роста и т.д.)
Таким образом, целью аналитического выравнивания является:
Определение вида функционального уравнения;
Нахождения параметров уравнения;
Расчет «теоретических», выровненных уровней, отображающих основную
тенденцию ряда динамики.
Графическое отображение изменения уровней ряда играет большую роль в
применении данного вида выравнивания. Оно позволяет ускорить процедуру
анализа и увеличить степень наглядности полученных результатов.
У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы
Эта тема принадлежит разделу:
Анализ Данных
Табличные и графические представления данных, анализ, обработка. Выборка. Группировка данных. Прогнозирование
Исключение случайных колебаний значений уровней ряда осуществляется с помощью нахождения «усредненных» значений. Способы устранения случайных факторов делятся на две больше группы: 1. Способы «механического» сглаживания колебаний путем усреднения значений ряда относительно других, расположенных рядом, уров-ней ряда.
2. Способы «аналитического» выравнивания, т. е. определения сначала функционального выражения тенденции ряда, а затем новых, расчетных значений ряда.
Методы «механического» сглаживания.
Сюда относятся:
а) Метод усреднения по двум половинам ряда , когда ряд делится на две части. Затем, рассчитываются два значения средних уровней ряда, по которым графически определяется тенденция ряда. Очевидно, что такой тренд не достаточно полно отражает основную закономерность развития явления.
б) Метод укрупнения интервалов , при котором производится увеличение протяженности временных промежутков, и рассчитываются новые значения уровней ряда.
в) Метод скользящей средней . Данный метод применяется для характеристики тенденции развития исследуемой статистической совокупности и основан на расчете средних уровней ряда за определенный период.
Последовательность определения скользящей средней:
Устанавливается интервал сглаживания или число входящих в него величин ряда. В случае если при расчете средней учитываются три величины, скользящая средняя принято называть трехчленной, если пять – пятичленной и т.д. В случае если не сглаживаются мелкие, беспорядочные колебания величин в ряду динамики, то интервал (число скользящей средней) увеличивают. В случае если волны следует сохранить, число членов уменьшают.
Исчисляют первое среднее значение по простой среднеарифметической: Σy i / m, где Σy i – 1- ая группа ряда; m – членность скользящей средней. К примеру, для трёхчленной скользящей средней первая точка нового ряда будет иметь значение Y 1 = (y 1 + y 2 + y 3) / 3.
Для расчёта значения Y 2 отбрасывают значение у 1 , а в расчёт средней включают значение у 4 , ᴛ.ᴇ. .Y 2 = (у 2 + у 3 + у 4) / 3. Процесс продолжается до тех пор, пока в расчет Y i будет включена последняя группа (3 шт.) данных исследуемого ряда динамики.
По ряду динамики, построенному из средних значений Y i , выявляют общую тенденцию развития явления.
Отрицательной стороной использования метода скользящей средней является образование сдвигов в колебаниях уровней ряда, обусловленных «скольжением» интервалов укрупнения. Сглаживание с помощью скользящей средней может привести к появлению «обратных» колебаний, когда выпуклая «волна» заменяется на вогнутую.
Методы «аналитического» выравнивания
Более точным способом отображения тенденции динамического ряда является аналитическое выравнивание, т. е. выравнивание с помощью аналитических формул. В этом случае динамический ряд выражается в виде функции у (t), в которой в качестве основного фактора принимается время t, и изменения аргумента функции определяют значения у i . Фактическим (или эмпирическим) рядом динамики называют исходные данные измерения параметра, т. е. данные, полученные опытным путем, посредством наблюдения. Οʜᴎ обозначаются у i . Расчетными (или теоретическими) уровнями ряда называют значения, полученные в результате подстановки в уравнение тренда значений t, и обозначают их Y i
Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости f(t) . На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t) , а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса.
Чаще всего при выравнивании используются зависимости: линей-ная; параболическая; экспоненциальная. Вариантом решения вопроса выравнивания являются линии регрессии (см. разд. 4.2).
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, целью аналитического выравнивания является: - определение вида функционального уравнения; - нахождения параметров уравнения; - расчет «теоретических», выровненных уровней, отображающих основную тенденцию ряда динамики. Графическое отображение изменения уровней ряда играет большую роль в применении данного вида выравнивания. Оно позволяет ускорить процедуру анализа и увеличить степень наглядности полученных результатов.
Министерство образования Российской Федерации
Всероссийский заочный финансово – экономический институт
Ярославский филиал
Кафедра статистики
Курсовая работа
по дисциплине:
«Статистика»
задание № 19
Студент: Курашова Анастасия Юрьевна
Специальность «Финансы и кредит»
3 курс, периферия
Руководитель: Сергеев В.П.
Ярославль, 2002 г.
План
1. Введение……………………………………………………………3 стр.
2. Теоретическая часть…………………………………………… …4 стр.
2.1 Основные понятия о рядах динамики…………………………...4 стр.
2.2 Методы сглаживания и выравнивания динамических рядов……………………………………………………………….6 стр.
2.2.1 Методы «механического сглаживания»………………………6 стр.
2.2.2 Методы «аналитического» выравнивания…………………. 8 стр.
3. Расчетная часть……………………………………………… ……11 стр.
4. Аналитическая часть……………………………………………. .16 стр.
5. Заключение ………………………………………………………. 25 стр.
6. Список литературы……………………………………………… 26 стр.
7. Приложения………………………………………………………. 27 стр.
Введение
Полная и достоверная статистическая информация является тем необходимым основанием, на котором базируется процесс управления экономикой. Вся информация, имеющая народнохозяйственную значимость, в конечном счете, обрабатывается и анализируется с помощью статистики.
Именно статистические данные позволяют определить объемы валового внутреннего продукта и национального дохода, выявить основные тенденции развития отраслей экономики, оценить уровень инфляции, проанализировать состояние финансовых и товарных рынков, исследовать уровень жизни населения и другие социально-экономические явления и процессы.
Овладение статистической методологией - одно из условий познания конъюнктуры рынка, изучения тенденций и прогнозирования, принятия оптимальных решений на всех уровнях деятельности.
Сложной, трудоемкой и ответственной является заключительная, аналитическая стадия исследования. На этой стадии рассчитываются средние показатели и показатели распределения, анализируется структура совокупности, исследуется динамика и взаимосвязь между изучаемыми явлениями и процессами.
На всех стадиях исследования статистика использует различные методы. Методы статистики - это особые приемы и способы изучения массовых общественных явлений.
I. Теоретическая часть.
1.1 Основные п онятия о рядах динамики.
Ряды динамики – статистические данные, отображающие развитие во времени изучаемого явления. Их также называют динамическими рядами, временными рядами.
В каждом ряду динамики имеется два основных элемента:
1) показатель времени t ;
2) соответствующие им уровни развития изучаемого явления y;
В качестве показаний времени в рядах динамики выступают либо определенные даты (моменты), либо отдельные периоды (годы, кварталы, месяцы, сутки).
Уровни рядов динамики отображают количественную оценку (меру) развития во времени изучаемого явления. Они могут выражаться абсолютными, относительными или средними величинами.
Ряды динамики различаются по следующим признакам:
1) По времени. В зависимости от характера изучаемого явления уровни рядов динамики могут относиться или к определенным датам (моментам) времени, или к отдельным периодам. В соответствии с этим ряды динамики подразделяются на моментные и интервальные.
Моментные ряды динамики отображают состояние изучаемых явлений на определенные даты (моменты) времени. Примером моментного ряда динамики является следующая информация о списочной численности работников магазина в 1991 году (таб. 1):
Таблица 1
Списочная численность работников магазина в 1991 году
Особенностью моментного ряда динамики является то, что в его уровни могут входить одни и те же единицы изучаемой совокупности. Хотя и в моментном ряду есть интервалы – промежутки между соседними в ряду датами, -- величина того или иного конкретного уровня не зависит от продолжительности периода между двумя датами. Так, основная часть персонала магазина, составляющая списочную численность на 1.01.1991 , продолжающая работать в течение данного года, отображена в уровнях последующих периодов. Поэтому при суммировании уровней моментного ряда может возникнуть повторный счет.
Посредством моментных рядов динамики в торговле изучаются товарные запасы, состояние кадров, количество оборудования и других показателей, отображающих состояние изучаемых явлений на отдельные даты (моменты) времени.
Интервальные ряды динамики отражают итоги развития (функционирования) изучаемых явлений за отдельные периоды (интервалы) времени.
Примером интервального ряда могут служить данные о розничном товарообороте магазина в 1987 – 1991 гг. (таб. 2):
Таблица 2
Объем розничного товарооборота магазина в 1987 - 1991 гг.
| Объем розничного товарооборота, тыс. р. |
Каждый уровень интервального ряда уже представляет собой сумму уровней за более короткие промежутки времени. При этом единица совокупности, входящая в состав одного уровня, не входит в состав других уровней.
Особенностью интервального ряда динамики является то, что каждый его уровень складывается из данных за более короткие интервалы (субпериоды) времени. Например, суммируя товарооборот за первые три месяца года, получают его объем за I квартал, а суммируя товарооборот за четыре квартала, получают его величину за год, и т. д. При прочих равных условиях уровень интервального ряда тем больше, чем больше длина интервала, к которому этот уровень относится.
Свойство суммирования уровней за последовательные интервалы времени позволяет получить ряды динамики более укрупненных периодов.
Посредством интервальных рядов динамики в торговле изучают изменения во времени поступления и реализации товаров, суммы издержек обращения и других показателей, отображающих итоги функционирования изучаемого явления за отдельные периоды.
Структура ряда динамики:
Всякий ряд динамики теоретически может быть представлен в виде составляющих:
1) тренд – основная тенденция развития динамического ряда (к увеличению или снижению его уровней) ;
2) циклические (периодические колебания, в том числе сезонные);
случайные колебания.
1. 2. Методы сглаживания и выравнивания динамических рядов.
Исключение случайных колебаний значений уровней ряда осуществляется с помощью нахождения «усредненных» значений. Способы устранения случайных факторов делятся на две больше группы:
1. Способы «механического» сглаживания колебаний путем усреднения значений ряда относительно других, расположенных рядом, уровней ряда.
2. Способы «аналитического» выравнивания, т. е. определения сначала функционального выражения тенденции ряда, а затем новых, расчетных значений ряда.
1.2. 1 Методы «механического» сглаживания .
Сюда относятся:
а. Метод усреднения по двум половинам ряда , когда ряд делится на две части. Затем, рассчитываются два значения средних уровней ряда, по которым графически определяется тенденция ряда. Очевидно, что такой тренд не достаточно полно отражает основную закономерность развития явления.
б. Метод укрупнения интервалов , при котором производится увеличение протяженности временных промежутков, и рассчитываются новые значения уровней ряда.
в. Метод скользящей средней . Данный метод применяется для характеристики тенденции развития исследуемой статистической совокупности и основан на расчете средних уровней ряда за определенный период. Последовательность определения скользящей средней:
Устанавливается интервал сглаживания или число входящих в него уровней. Если при расчете средней учитываются три уровня, скользящая средняя называется трехчленной, пять уровней – пятичленной и т.д. Если сглаживаются мелкие, беспорядочные колебания уровней в ряду динамики, то интервал (число скользящей средней) увеличивают. Если волны следует сохранить, число членов уменьшают.
Исчисляют первый средний уровень по арифметической простой:
y1 = Sy1/m, где
y1 – I-ый уровень ряда;
m – членность скользящей средней.
Первый уровень отбрасывают, а в исчисление средней включают уровень, следующий за последним уровнем, участвующем в первом расчете. Процесс продолжается до тех пор, пока в расчет y будет включен последний уровень исследуемого ряда динамики y n .
По ряду динамики, построенному из средних уровней, выявляют общую тенденцию развития явления.
Отрицательной стороной использования метода скользящей средней является образование сдвигов в колебаниях уровней ряда, обусловленных «скольжением» интервалов укрупнения. Сглаживание с помощью скользящей средней может привести к появлению «обратных» колебаний, когда выпуклая «волна» заменяется на вогнутую.
Тема: Сглаживание рядов динамики
В результате случайных факторных влияний и колеблемости уровней ряда динамики во времени бывает затруднительно выявить общую тенденцию развития явления, т. е. обнаружить трент.
Для уменьшения влияния временных колебаний производится сглаживание ряда динамики для выявления основной тенденции.
Методы анализа основной тенденции в рядах динамики делятся на 2 группы:
сглаживание или механическое выравнивание отдельных членов ряда динамики с использованием фактических значений соседних уровней
выравнивание с применением кривой проведенной м/у конкретными уровнями, т.о. чтобы она выражала тенденцию ряда и освободила ею от не значительных колебаний
Выявление тенденции необходимо для прогнозирования развития явлений во времени
Прогнозирование – это оценка будущего на основе глубокого анализа тенденций развития социально-экономических явлений и их взаимодействия.
Процесс прогнозирования предполагает выявление возможных альтернатив развития для обоснованного их выбора и принятия оптимального решения
Методы для выявления и анализа тенденций уровня ряда динамки
Метод укрупнения интервалов представляет собой укрупнение периода времени, к которым относятся уровни ряда
Метод простой скользящей средней. Вычисляется средний уровень ряда из числа первых по порядку уровней ряда, затем средняя из того же числа уровней начиная со второго, затем с третьего уровня и т.д. Если число уровней взятых для расчета средней не четное, средняя записывается в уровень находящийся по середине. Если число уровней четное, то средняя будет относиться к промежутку м/у серединными интервалами. Для ликвидации этого сдвига применяют способ центрирования.
Центрирование заключается в нахождении средней из 2-х смежных скользящих средних. Минус этого метода в том, что ряд динамики сокращается с двух сторон
Аналитическое выравнивание предполагает представление уровня ряда в виде временной функции
Для отображения основной тенденции развития явления во времени применяют следующие функции:
Ø Полиномы степени
Ø Экспоненты
Ø Логистические кривые
Полиномы
a 0,1,2,3, n – параметры полиномов
В статистической практике параметры полиномов невысокой степени иногда имеют конкретную интерпретацию характеристик ряда динамики.
а 1 трактуется как характеристика средних условий ряда динамики. а 1,2,3 как изменение ускорения.
В статистике выработано правило выбора степени полинома модели развития, основанное на определении величин конечных разностей уровней рядов. Согласно правилу:
Полином I степени (прямая) применяется как модель такого ряда динамики, где первые разности (абсолютные приросты) постоянны.
Полином II степени применяется для отрицательного ряда динамики с постоянными 2-ми разностями (ускорениями)
Полином Ш степени применяется для ряда динамики с постоянными 3-ими разностями (темпы роста)
После выбора вида уравнения необходимо определить параметры уравнения. Самый распространенный способ определения параметров уравнения – это метод наименьших квадратов. Согласно этому методу надо составить систему нормальных уравнений
полином I степени
При ручной обработке для упрощения счета при выравнивании динамического ряда условное обозначение временных точек t можно ввести так чтоб сумма t=0 (St=0)
При выравнивании по параболе 2-ого порядка, если St=0, то система имеет следующий вид:
Выравнивание по аналитическим формулам может быть использована при прогнозировании отдельных показателей путем экстраполяции ряда – нахождение уровней за пределами данного ряда. При прогнозировании социально-экономических явлений применение полиномов высоких степеней затруднительно, т.к.:
Требуется учет многих факторных параметров
Требуется длинный ряд показателей прошлых периодов (не менее 20) характеризующихся теми же факторными признаками. Сбор такой первичной информации возможен только в условиях стабильной экономики за длинный период. При этом высока вероятность того, что теоретические расчетные значения прогнозных показателей не будут соответствовать практическим, поэтому полиномы высоких степеней могут применяться лишь для краткосрочного прогнозирования.
Полином II степени предполагает наличие перелома тенденции, т.к. графически он представляется параболой.
