Определим доходность облигации методом средних. Доходность портфеля облигаций

— , удостоверяющая отношения займа между кредитором — владельцем облигации и должником — эмитентом облигации.

Облигация удостоверяет внесение ее владельцем денежных средств и подтверждает обязательство возместить ему номинальную стоимость облигации в заранее установленный срок с уплатой фиксированного процента.

К основным параметрам облигации относятся: номинальная цена, выкупная цена в случае, если она отличается от номинальной, норма доходности и сроки выплаты процентов. Момент выплаты процентов оговаривается в условиях эмиссии и может производиться раз в год, по полугодиям или поквартально.

Способы выплаты дохода по облигации

В мировой практике используется несколько способов выплаты доходов по облигациям, в их числе:

• установление фиксированного процентного платежа;
• применение ступенчатой процентной ставки;
• использование плавающей ставки процентного дохода;
• индексирование номинальной стоимости облигации;
• реализация облигаций со скидкой (дисконтом) против их нарицательной цены;
• проведение выигрышных займов.

Установление фиксированного процентного платежа является распространенной и наиболее простой формой выплаты дохода по облигациям.

При использовании ступенчатой процентной ставки устанавливается несколько дат, по истечении которых владельцы облигаций могут либо погасить их, либо оставить до наступления следующей даты. В каждый последующий период ставка процентов возрастает.

Ставка процента по облигациям может быть плавающей , т.е. изменяющейся регулярно (каждые полгода и т.п.) в соответствии с динамикой учетной ставки центрального банка или уровнем доходности , размещаемых путем аукционной продажи.

В отдельных странах в качестве антиинфляционной меры практикуют выпуск облигаций с номиналом, индексируемым с учетом роста .

По некоторым облигациям проценты не выплачиваются. Их владельцы получают доход благодаря тому, что покупают эти облигации с дисконтом (скидкой против нарицательной стоимости), а погашают по номиналу.

Доход по облигациям может выплачиваться в форме выигрышей , достающихся отдельным их владельцам по итогам регулярно проводимых тиражей.

Курс облигации

Облигации, являясь объектом купли-продажи на , имеют рыночную цену, которая в момент эмиссии может быть равна номиналу, а также быть ниже или выше его. Рыночные цены существенно различаются между собой, поэтому для достижения их сопоставимости рассчитывается курс облигации . Под курсом облигации понимают покупную цену одной облигации в расчете на 100 денежных единиц номинала. Курс облигации зависит от средней величины ссудного рыночного процента, существующего в данный момент, срока погашения, степени надежности эмитента и ряда других факторов.

Расчет курса производится по формуле:

• Р к — курс облигации;
• Р — рыночная цена;
• N — номинальная цена облигации.

Доходность облигации

Доходность облигации характеризуется рядом параметров, которые зависят от условий, предложенных эмитентом. Так, например, для облигаций, погашаемых в конце срока, на который они выпущены, доходность измеряется:

• купонной доходностью;
• текущей доходностью;
• полной доходностью.

Купонная доходность

Купонная доходность — норма процента, которая указана на ценной бумаге и которую эмитент обязуется уплатить по каждому купону. Платежи по купонам могут производиться раз в квартал, по полугодиям или раз в год.

Например, на облигации указана купонная доходность в 11,75% годовых. Номинал облигации — 1,0 тыс. руб. На каждый год имеется два купона. Это значит, что облигация принесет полугодовую прибыль 58,75 руб. (1,0 . 0,1175 . 0,50), а за год — 117,5 руб.

Текущая доходность

Текущая доходность (CY ) облигации с фиксированной ставкой купона — определяется как отношение периодического платежа к цене приобретения.

Текущая доходность характеризует выплачиваемый годовой процент на вложенный капитал, т.е. на сумму, уплаченную в момент приобретения облигации. Текущая доходность определяется по формуле:

Например, если купонная доходность — 11,75%, а курс облигации — 95,0, то ее текущая доходность составит:

Вместе с тем текущая доходность не учитывает изменения цены облигации за время ее хранения, т.е. другого источника дохода.

Текущая доходность продаваемых облигаций меняется в соответствии с изменениями их цен на рынке. Однако с момента покупки она становится постоянной (зафиксированной) величиной, так как ставка купона остается неизменной. Нетрудно заметить, что текущая доходность облигации, приобретенной с дисконтом, будет выше купонной, а приобретенной с премией — ниже.

Показатель текущей доходности не учитывает курсовую разницу между ценой покупки и погашения. Поэтому он не пригоден для сравнения эффективности операций операций с различными исходными условиями. В качестве меры общей эффективности инвестиций в облигации используется показатель доходности к погашению.

Доходность к погашению

Доходность к погашению (YTM) — это процентная ставка в коэффициенте дисконтирования, которая устанавливает равенство между текущей стоимостью потока платежей по облигации и её рыночной ценой .

Рассмотрим некоторые важнейшие свойства этого показателя. По сути он представляет собой внутреннюю доходность инвестиции (IRR). Однако, реальная доходность облигации к погашению будет равна YTM только при выполнении следующих условий:

Очевидно, что независимо от желаний инвестора второе условие достаточно трудно выполнить на практике.

В таблице приведены результаты расчета доходности к погашению облигации, приобретенной в момент выпуска по номиналу в 1000 с погашением через 20 лет и ставкой купона 8%, выплачиваемого раз в год, при различных ставка реинвестирования.

Зависимость доходности к погашению от ставки реинвестирования

Из приведенных расчетов следует, что между доходностью к погашению и ставкой реинвестирования купонного дохода существует прямая зависимость. С уменьшением будет уменьшаться и величина , с ростом величина будет также расти.

Полная доходность

Полная доходность учитывает все источники дохода. В ряде экономических публикаций показатель полной доходности называют ставкой помещения . Определив ставку помещения в виде годовой ставки сложных или простых процентов, можно судить об эффективности приобретенной ценной бумаги.

Начисление процентов по ставке помещения на цену приобретения дает доход, эквивалентный фактически получаемому по ней доходу за весь период обращения этой облигации до момента ее погашения. Ставка помещения является расчетной величиной и в явном виде на рынке ценных бумаг не выступает.

При определении доходности облигации учитывается цена приобретения (рыночная цена), которая сама зависит от ряда факторов. Покупатель облигации в момент ее приобретения рассчитывает на получение дохода в виде серии твердых выплат в форме фиксированных процентов, которые осуществляются в течение всего срока ее обращения, а также возмещение ее номинальной стоимости к концу этого срока.

Поэтому если ежегодно получаемые по облигациям выплаты будут помещены на банковский депозит или инвестированы каким-либо иным образом и станут приносить ежегодный процентный доход то стоимость облигации будет равна сумме двух слагаемых — современной стоимости ее аннуитетов (серии ежегодных выплат процентных платежей) и современной стоимости ее номинала:

(9.3)

В случае когда облигация предусматривает выплату процентов по полугодиям или поквартально, курсовая стоимость облигации рассчитывается по формулам:

Пример. По облигации номинальной стоимостью 10,0 тыс. руб. в течение 10 лет (срок до ее погашения) будут выплачиваться ежегодно в конце года процентные платежи в сумме 1,0 тыс. руб. (g= 10%), которые могут быть помешены в банк под 11% годовых. Определим цену облигации при разных процентных ставках.

Рыночная цена облигации по формуле (9.3) составит:

При определении доходности портфеля облигаций исходят из суммы приведенных к некоторому моменту времени t o потоков доходов от каждой входящей в портфель облигации. Предположим, что в портфель входит "М " облигаций различных видов при числе облигаций каждого вида, равном Облигации каждого вида имеют номинальную стоимость срок до погашения облигаций N m и купонные ставки с m . При такой постановке задачи суммарную рыночную стоимость портфеля облигаций можно определить по формуле:

(5.27)

где - рыночная стоимость облигации m -го вида, рассчитываемая по формуле:

(5.28)

С другой стороны, портфель облигаций создает поток доходов, который можно характеризовать следующими параметрами: S i – суммарный доход от облигаций всех видов, поступающий в момент времени t = t i , и - доходность портфеля облигаций. Приведенную стоимость данного потока платежей можно определить по формуле, аналогичной формуле (2.2):

(5.29)

где N max – максимальный срок выплаты дохода по всем облигациям портфеля.

Доходность портфеля облигаций можно определить при условии т. е. из решения уравнения:

(5.30)

Значение доходности портфеля облигаций может быть найдено решением уравнения (5.30) итерационными методами или на основе метода линейной интерполяции между минимальным и максимальным значениями доходности портфеля, ограничивающими интервал, в пределах которого находится искомое значение доходности портфеля облигаций . При использовании метода линейной интерполяции доходность портфеля может быть определена по формуле:

где - рыночная стоимость портфеля облигаций, определяемая по формулам (5.27) и (5.28);

И - приведенные стоимости потока платежей, определяемые по формуле (5.29) при применении в расчетах ставок доходности и соответственно.

Рассмотрим методику вычисления доходности на примере портфеля, состоящего из двух видов облигаций.

Пример 5.2. Портфель облигаций состоит из двух видов облигаций со следующими характеристиками:

Первая облигация руб.; С 1 = 0,08, года;

Вторая облигация руб.; С 2 = 0,05, года.

Определить доходность портфеля облигаций, если число облигаций первого и второго вида одинаково

Решение : Определим рыночную стоимость облигации первого вида по формуле (5.28):

руб.

Аналогично определяем рыночную стоимость облигации второго вида:

руб.

Суммарная рыночная стоимость портфеля облигаций в соответствии с формулой (5.27) составит:

Вычислим суммарный поток платежей S i по облигациям первого и второго вида. В табл. 5.2 приведены размеры платежей по облигациям первого и второго вида и суммарный поток S i .

Таблица 5.2

Вычисление суммарного потока платежей

По двум облигациям, руб.

Так как количество облигаций первого и второго вида одинаково, то уравнение (5.30) можно записать в виде:

(5.32)

Вычислим приведенную стоимость суммарного потока платежей при различных значениях :

Результаты расчетов приведены в табл. 5.3.

1.8. Внутренняя доходность облигации.

Временная структура процентных ставок.

Анализ финансовых инвестиций в условиях определенности будем изучать на примере ценных бумаг с фиксированным доходом. Наиболее распространенным видом таких ценных бумаг являются облигации.

Облигация – это обязательство выплатить в определенные моменты времени в будущем заранее установленные денежные суммы. Основные параметры облигации – номинальная цена (номинал), дата погашения, размеры и сроки платежей по облигации. С момента эмиссии и до погашения облигации продаются и покупаются на фондовом рынке. Рыночная цена облигации устанавливается на основе спроса и предложения и может быть равна ее номиналу, выше или ниже номинала.

Будем рассматривать облигации в условиях определенности: эмитент не может отозвать облигацию до установленной даты погашения, платежи по облигации задаются фиксированными значениями в определенные моменты времени. При этом поступление будущих доходов точно в указанные сроки и в полном объеме считается гарантированным. Про такие облигации говорят, что они не имеют кредитного риска. Основным фактором риска остается процентный риск – риск изменения рыночных процентных ставок.

Рассмотрим облигацию, по которой через t 1 , t 2 ,…, t n лет от текущего момента времени t = 0, где 0 < t 1 < t 2 <…< t n , обещают выплатить денежные суммы С 1 , С 2 ,…, С n соответственно. Очевидно, что C i > 0, i = 1, 2,…, n . Пусть P – рыночная стоимость облигации в момент t = 0. Тогда естественно считать, что P < С 1 + С 2 +…+ С n . Момент времени t = 0 – это момент, в который предполагается произвести инвестицию в облигацию или момент покупки облигации. Момент времени t = t n , когда выполняется последний платеж по облигации, называют моментом погашения облигации, а срок T = t n (в годах) – сроком до погашения. Два показателя в основном интересуют инвестора – доходность и цена облигации. Внутренняя доходность – самый важный и наиболее широко используемый показатель оценки облигации. Известен также как доходность к погашению .

Определение. Годовая внутренняя доходность облигации r – это годовая ставка сложных процентов, по которой современная стоимость потока платежей по облигации равна рыночной стоимости облигации в момент t = 0:

Здесь внутренняя доходность облигации определяется как годовая доходность денежного потока С 1 , С 2 ,…,С n , стоимость которого P (см. параграф 1.4).

В зарубежной практике существует рыночное соглашение, согласно которому если платежи по облигации выплачиваются через равные промежутки времени m раз в году, то для дисконтирования членов денежного потока применяется годовая номинальная ставка внутренней доходности j :

.

Свойства внутренней доходности облигации.

1. Ставка внутренней доходности облигации равна преобладающей рыночной процентной ставке для инвестиций в альтернативные финансовые инструменты с такой же степенью риска. Или короче – ставка внутренней доходности облигации равна доходности сравнимых с ней инструментов.

2. Годовая внутренняя доходность облигации – это ставка доходности, получаемая инвестором, если выполняются два условия:

1) инвестор владеет облигацией до момента ее погашения t = t n ;

2) все платежи по облигации реинвестируются по ставке, равной внутренней доходности облигации r в момент ее покупки.

Покажем, что при выполнении этих условий среднегодовая доходность инвестиции в облигацию равна ее внутренней доходности. Покупку облигации, затем владение ею до момента погашения с реинвестированием поступающих доходов будем рассматривать как финансовую операцию (см. параграф 1.2). Срок операции T = t n лет. Денежная оценка начала операции P (0) – это рыночная цена покупки облигации P в момент t = 0. Согласно (8.1), P =
. Денежная оценка момента погашения облигации t = t n для инвестора при выполнении условий 1), 2) – это сумма P (t n ) =
. Согласно определению доходности финансовой операции (2.2):

P (t n ) = P
,

где - среднегодовая доходность инвестиции в облигацию на срок T = t n лет. Подставим в это равенство выражения для P и P (t n ):

=

.

Откуда получаем r = .

Таким образом, среднегодовая доходность инвестиции в облигацию, равная r , реализуется в день погашения облигации при выполнении условий 1), 2). Отсюда другое название внутренней доходности – доходность к погашению. Если пункты 1) или 2) не выполняются, то реальная доходность, получаемая инвестором, может быть выше или ниже внутренней доходности облигации. Риск, с которым сталкивается инвестор при покупке облигации, – это риск того, что будущие ставки реинвестирования будут ниже ставки внутренней доходности. Этот риск называется реинвестиционным риском, или риском ставки реинвестирования.

Внутренняя доходность облигации используется для оценки привлекательности альтернативных инструментов инвестирования. При прочих равных условиях, чем выше доходность к погашению облигаций данного выпуска, тем более привлекательным он является.

Рассмотрим задачу определения внутренней доходности облигации. Внутренняя доходность облигации – это решение уравнения (8.1). Согласно теореме 4.1, это уравнение при выполнении условия P < С 1 + С 2 +…+ С n имеет единственное положительное решение. Это решение находят, используя приближенные методы. Один из них – метод линейной интерполяции (изложен в параграфе 1.4, примеры 4.2, 4.4).

Пример 8.1. Определить годовую внутреннюю доходность r облигации, поток платежей по которой указан в таблице:

Приближенное значение внутренней доходности облигации найдем методом линейной интерполяции. Согласно определению годовой внутренней доходности облигации

.

Необходимо найти решение уравнения F (r ) = 0, где

F (r ) =
.

Так как 948 < 50 + 1050, то согласно теореме 4.1 существует единственное положительное решение этого уравнения. Так как F (0,07) = – 15,8396, F (0,08) = 1,4979, то искомая внутренняя доходность r (0,07; 0,08). По формуле (4.8) находим первое приближение

r л1 = 0,07 + .

При этом значение функции F (r л1) = 0,02567 > 0. Значит, решение r (0,07; 0,07914). Следующий шаг метода дает

r л2 = 0,07 + .

Поэтому можно считать, что r 0,07913 или 7,913 % с точностью до третьего знака после запятой.

Определение. Облигация называется чисто дисконтной, если по этой облигации производится только одна выплата.

Определение. Внутренняя доходность чисто дисконтной облигации без кредитного риска, срок до погашения которой t лет, называется годовой безрисковой процентной ставкой для инвестиций на t лет. Другое название – годовая спот-ставка .

Пусть А – погашаемая сумма по чисто дисконтной облигации, t лет - срок до погашения, Р – рыночная цена облигации в момент t = 0, r (t ) – внутренняя доходность облигации. Тогда согласно определению внутренней доходности облигации,

.

(8.2)

– годовая безрисковая процентная ставка для инвестиций на t лет.

В качестве примера чисто дисконтных облигаций, не имеющих кредитного риска, можно привести бескупонные облигации Казначейства США. Доходности казначейских бумаг служат эталоном при оценке всех видов облигаций.

Рассмотрим, как можно оценить любую облигацию, если на рынке имеются чисто дисконтные облигации. Пусть на рынке имеется облигация В без кредитного риска, по которой через t 1 , t 2 ,…, t n лет обещают выплатить денежные суммы С 1 , С 2 ,…, С n соответственно. Облигацию В можно оценить, если рассматривать ее как портфель из чисто дисконтных облигаций В 1 , В 2 ,…, В n со сроками погашения через t 1 , t 2 ,…, t n лет соответственно. Предположим, выполняются следующие условия:

1) известны годовые безрисковые процентные ставки r (t 1), r (t 2), …, r (t n ) для инвестиций на t 1 , t 2 ,…, t n лет, отсчитанных от момента t = 0;

2) чисто дисконтные облигации В 1 , В 2 ,…, В n можно приобрести на рынке в любом количестве без трансакционных расходов. Тогда для этих облигаций имеем

,

i = 1, 2, …, n , где P i – текущая рыночная цена одной облигации i – го вида, A i – погашаемая сумма по этой облигации, r (t i ) - ее внутренняя доходность. Платеж С 1 от портфеля погашается облигациями В 1 , платеж С 2 – облигациями В 2 , и т.д., платеж С n – облигациями В n . Тогда в портфеле , i = 1, 2, …, n , облигаций каждого вида. Следовательно, стоимость портфеля в момент t = 0 равна

.

Тогда рыночная стоимость облигации В в момент t = 0 составляет

. (8.3)

Каждый платеж по облигации В индивидуально дисконтируется по соответствующей безрисковой процентной ставке.

Определение. Набор годовых безрисковых процентных ставок r (t 1), r (t 2), …, r (t n ) для инвестиций на t 1 , t 2 ,…, t n лет, отсчитанных от момента t = 0, где
, называется временной структурой процентных ставок.

Таким образом, если известна временная структура процентных ставок, то стоимость облигации, не имеющей кредитного риска, может быть рассчитана по формуле (8.3).

Определение. График функции r = r (t ), где r (t ) - годовая безрисковая процентная ставка для инвестиций на t лет, называется кривой доходностей (или кривой спот-ставок).

В условиях реального рынка всегда существует лишь конечный набор чисто дисконтных облигаций (например, не существует бескупонных долговых обязательств Казначейства США со сроком погашения больше одного года). Поэтому кривую доходностей невозможно построить только по наблюдениям на рынке. В связи с этим строят теоретическую кривую доходностей. Для этого, используя доходности реально существующих чисто дисконтных облигаций, рассчитывают теоретические значения доходностей для различных сроков инвестирования. Существует несколько методов получения теоретических значений доходностей. Один из них называется «процедурой бутстреппа». Рассмотрим этот метод на примере.

Пример 8.2. На рынке имеются государственные облигации А, В, С, D, Е, потоки платежей по которым и цены в момент t = 0 указаны в таблице:

	Срок в годах

А и В – чисто дисконтные облигации. Их внутренние доходности r (0,5) = 5,25 % и r (1) = 6,3 %, определенные по формуле (8.2), являются безрисковыми процентными ставками для инвестиций на 0,5 года и 1 год. Зная эти две ставки, можно вычислить теоретическую безрисковую процентную ставку для инвестиций на 1,5 года, используя облигацию С. Цена облигации С по формуле (8.3) равна

118,71 =
,

где r (0,5) = 0,0525, r (1) = 0,063. Тогда

118,71 =
.

Откуда получаем теоретическую годовую безрисковую процентную ставку для инвестиций на 1,5 года: r (1,5) = 6,9 %. Данная ставка – это та ставка, которую предлагал бы рынок по 1,5 - годовым чисто дисконтным облигациям, если бы такие ценные бумаги существовали на самом деле.

Зная теоретическую 1,5 – годовую безрисковую процентную ставку, можно вычислить теоретическую двухлетнюю безрисковую процентную ставку, используя облигацию D:

Откуда r (2) = 7,1 % - теоретическая двухлетняя безрисковая процентная ставка. Применяя еще раз описанную процедуру для облигации E, определяем теоретическую 2,5 - летнюю безрисковую процентную ставку: r (2,5) = 7,9 %.

Безрисковые процентные ставки r (0,5), r (1), r (1,5), r (2), r (2,5), построенные с помощью такого процесса, задают временную структуру процентных ставок по 2,5 - летнему диапазону относительно момента времени, к которому относятся цены облигаций.

Зная временную структуру процентных ставок r (t 1), r (t 2), …, r (t n ), можно построить кривую доходностей. Один из методов построения кривой – линейное интерполирование. Полагают

,
, i = 1, 2, …, n – 1. (8.4)

К
ривая доходностей для временной структуры, полученной в примере 8.2, при использовании линейного интерполирования имеет вид:

Пользуясь кривой доходностей, можно определить приближенное значение безрисковой процентной ставки для инвестиций на любой срок от t 1 до t n лет. Например, так как 1,25
, то

r (1,25) r (1)
= 0,066.

Другой способ построения кривой доходностей – интерполирование (n – 1) – го порядка:

r (t )

+
(8.5)

…………………..

+
,

где t [t 1 , t n ]. Тогда r (t ) – многочлен степени (n – 1) относительно переменной t . При t = t 1 , t 2 , …, t n значения многочлена совпадают с r (t 1), r (t 2), …, r (t n ) соответственно. Уравнение кривой доходностей для временной структуры, полученной в примере 8.2, имеет вид:

r (t ) 0,00633 t 4 - 0,031 t 3 + 0,04442 t 2 - 0,00325 t + 0,0465, где t .

Пользуясь полученной кривой, вычислим стоимость облигации без кредитного риска, платежи по которой относительно момента t = 0 указаны в таблице:

Рыночная стоимость данной облигации в момент t = 0 составляет, согласно (8.3):

P =
.

Приближенные значения годовых безрисковых процентных ставок для инвестиций на 0,7 года и 1,7 года равны соответственно:

r (0,7) 0,00633(0,7) 4 - 0,031(0,7) 3 + 0,04442(0,7) 2 - 0,003250,7 + 0,0465 = 0,0569,

r (1,7) 0,00633(1,7) 4 - 0,031(1,7) 3 + 0,04442(1,7) 2 - 0,003251,7 + 0,0465 = 0,0699.

Тогда рыночная стоимость данной облигации

P =
= 112,14.

Рассмотренная «процедура бутстреппа» получения теоретических значений безрисковых процентных ставок может быть использована, если на рынке имеются подходящие для этой процедуры облигации. Рассмотрим еще один метод получения теоретических значений процентных ставок.

Предположим, известна временная структура процентных ставок r (t 1), r (t 2), …, r (t k ) для инвестиций на t 1 , t 2 ,…, t k лет, а на рынке имеется облигация без кредитного риска стоимостью P , по которой через t 1 , t 2 ,…, t k , t k + 1 , …, t n лет обещаны выплаты С 1 , С 2 ,…, С k , С k +1 ,…, С n соответственно. Приближенные значения безрисковых процентных ставок r (t k +1), r (t k +2), …, r (t n ) можно найти, используя линейную интерполяцию на отрезке [t k , t n ]. Для этого полагают r (t n ) = r. Безрисковая процентная ставка r (t k ) известна. Тогда

,

,

……………….. (8.6)

,

r (t n ) = r ,

где t k + 1 , t k + 2 , …, t n – 1 [t k , t n ].

Так как стоимость облигации P в момент t = 0 известна, то

Подставляя в это выражение вместо r (t k + 1), r (t k + 2), …, r (t n ) равенства (8.6), получим уравнение с одним неизвестным r . Решение этого уравнения находим методом линейной интерполяции. Зная r , по формулам (8.6) находим безрисковые процентные ставки r (t k +1), r (t k + 2), …, r (t n ). Таким образом, имеем временную структуру процентных ставок r (t 1), r (t 2), …, r (t k ), r (t k +1),…, r (t n ) по t n – летнему диапазону относительно момента t = 0.

Пример 8.3. Используя линейное интерполирование, построить кривую доходностей, если известны годовые безрисковые процентные ставки:

r (0,5) = 0,06; r (1) = 0,07; r (1,5) = 0,08

и дана облигация (без кредитного риска) со следующим потоком платежей:

Уравнение (8.7) для данной облигации имеет вид:

Используем линейное интерполирование на отрезке . Так как r (1,5) = 0,08, r (2,5) = r , то r (2)0,08
+ r
= 0,04 + 0,5 r . Тогда достаточно решить уравнение

86,01581 =
.

Решая это уравнение методом линейной интерполяции, найдем r 0,10489.

Следовательно, r (2) 0,04 + 0,5 r = 0,09245, r (2,5)0,10489. Таким образом, по заданным r (0,5) = 0,06; r (1) = 0,07; r (1,5) = 0,08 и вычисленным

r (2) 0,092; r (2,5)0,105 значениям безрисковых процентных ставок можно построить кривую доходностей:

Кривая доходностей, полученная для облигаций, не имеющих кредитного риска, используется также для оценки рискованных инструментов на рынке. Теоретические значения безрисковых процентных ставок с добавлением премии за риск используются для оценки всех видов облигаций. Кроме того, форма кривой доходностей рассматривается как отображение вероятного направления будущих изменений процентных ставок денежного рынка. На рис. 1.8.3 показаны четыре основные формы кривой доходностей: 1 – нормальная (возрастающая) кривая; 2 – обратная (убывающая) кривая; 3 – «горбатая» кривая; 4 – плоская (горизонтальная) кривая.

Есть две основные теории, объясняющие форму кривых доходностей, – теория ожиданий и теория сегментации рынка . Возрастающая кривая чаще всего означает предполагаемый рост темпа инфляции. Убывающая кривая чаще всего свидетельствует об ожидаемом снижении темпа инфляции. Горизонтальная кривая доходностей означает, что годовые безрисковые процентные ставки для инвестиций на все сроки одинаковы. Горизонтальная кривая используется при изучении ряда важнейших понятий теории финансовых инвестиций с фиксированным доходом. Например таких, как дюрация и показатель выпуклости облигации, стоимость инвестиции в облигацию, иммунизация портфеля облигаций.

Практика формирования инвестиционных портфелей международных компаний свидетельствует, что инвесторам для оптимизации портфеля зачастую недостаточно информации о рыночных ценах на облигации. Так, при отборе в оптимальный инвестиционный портфель конкретных облигаций им необходимо оценивать финансовую эффективность своих решений, что практически невозможно сделать, не рассчитав доходность ценных бумаг, отбираемых в инвестиционный портфель. Расчет доходности облигации, или так называемой инвестиционной нормы, которую облигация будет обеспечивать, когда будет куплена за данную цену, остается, возможно, наиболее важной задачей, касающейся облигаций. Только решив ее, инвестор может определить, какая из нескольких облигаций обеспечит ему наилучшую инвестицию.

В самом общем случае под доходностью любой инвестиции понимается процентная ставка, позволяющая уравнять приведенную стоимость денежных потоков конкретной инвестиции с ценой (стоимостью) инвестиции.

В случае инвестиций в облигации доходность облигаций – это процентная ставка г, удовлетворяющая следующим уравнениям:

1) бескупонные облигации:

Определение доходности бескупонной облигации

Доходность бескупонной облигации – это, в соответствии с вышесказанным, годовая ставка процента, получаемая инвестором, купившим и владеющим данной облигацией до момента ее погашения.

Для определения доходности по бескупонным облигациям, срок погашения которых превышает один год, следует использовать формулу приведенной стоимости облигации

Пример. Рассмотрим бескупонную облигацию со сроком погашения 2 года (n = 2), номинальная стоимость которой 1000 долл. США, а покупная цена 880 долл. Требуемая доходность – 8% годовых.

Ее доходность составит

2) облигации с купонными выплатами:

Расчет свидетельствует о нецелесообразности приобретения инвестором рассматриваемой облигации.

Определение доходности по купонной облигации

Для купонной облигации в отличие от бескупонной различают текущую доходность и внутреннюю ставку дохода, или доходность к погашению.

Текущая доходность расчитывается по формуле

где – текущая доходность; С – купонный доход по облигации (купон); Р – текущая цена облигации.

Примечание. Здесь используется именно текущая цена, а не та цена, которая была уплачена за облигацию инвестором.

При вычислении текущей доходности в расчет принимаются только купонные выплаты. Другие другие источники дохода, поступающего владельцу облигации, не рассматриваются. Не учитывается, например, прирост капитала, получаемый инвестором, приобретающим облигацию с дисконтом и держащим ее до погашения; в то же время не рассматривается и убыток, который терпит инвестор в случае, если он додержал до погашения облигацию, купленную с премией. Временна́я стоимость денежных средств здесь также не принимается в расчет.

Следовательно, текущая доходность представляет собой, образно говоря, фотографию доходности на данный момент времени, которая в следующий момент может измениться в соответствии с изменениями рыночной цены облигации. Показателем текущей доходности целесообразно пользоваться, когда до погашения облигации остается немного времени, так как в этом случае ее цена вряд ли будет испытывать существенные колебания.

Более объективный показатель доходности – доходность к погашению, или внутренняя доходность, так как при ее вычислении учитывается не только купонный доход и цена облигации, но также и период времени, который остается до погашения. Внутреннюю доходность можно рассчитывать по формуле оценки рыночной цены облигации

Облигации служат предметом оживленной торговли, поэтому участникам фондового рынка известны не только номинальная стоимость и купонная ставка процента, но и рыночная цена каждой ценной бумаги. Если считать, что рынок характеризуется состоянием совершенной конкуренции, можно считать, что цена облигации равна ее приведенной стоимости.

Таким образом, покупателю облигации известны вес параметры уравнения цены облигации, кроме ставки дисконтирования r. Следовательно, формулу приведенной стоимости можно использовать для того, чтобы на основании рыночной информации вычислить значение ставки дисконтирования, или внутренней доходности r .

К сожалению, данное уравнение не решается в конечном виде: исчислить доходность можно только с помощью специальной компьютерной программы. Можно воспользоваться также методом подстановки в формулу цены облигации различных значений внутренней доходности с расчетом соответствующих им цен. Операцию повторяют до тех пор, пока значение рассчитанной цепы не совпадет с заданной ценой облигации (рис. 3.8).

Рис. 3.8.

Иногда для принятия финансового решения достаточно определить только приближенный (ориентировочный) уровень доходности облигации. Кстати, он может быть использован в качестве исходного уровня доходности в первом блоке рассмотренного выше алгоритма.

Традиционно используемая формула расчета приближенного уровня доходности облигации имеет вид

где r – внутренняя доходность (доходность к погашению); N – номинальная стоимость облигации; Р – цена облигации; п – количество лет до погашения; С – купонный доход; – средний годовой доход; – средняя стоимость облигации.

В ряде случаев лучшее приближение дает формула Р. Родригеса

Например, при оценке внутренней доходности облигации с пятилетним сроком обращения и 10%-ной купонной ставкой при номинале 1000 долл. США и текущей цене 1059,12 долл. точное решение составит 8,5%; традиционная формула дает значение 8,56%, а формула Р. Родригеса – 8,48%. Эта формула обеспечивает хорошее приближение при условии невысокого уровня купонной ставки (ниже 50% годовых) и близких значений цены облигации и ее номинальной стоимости.

В частности, если цена отличается от номинала более чем в 2 раза, то применение обеих формул расчета приближенных оценок недопустимо. Следует также отметить, что погрешность расчетов по формулам приближенных оценок тем выше, чем больше лет остается до погашения облигации. Если облигация продается со скидкой, рассматриваемые формулы дают заниженное значение доходности облигации, если с премией, то завышенное.

Умение вычислять внутреннюю доходность облигаций настолько важно, что разработаны специальные компьютерные программы, определяющие значения г для любых сочетаний цены облигации, срока до погашения, купонной ставки процента и номинальной стоимости. В настоящее время выпускаются даже карманные калькуляторы, способные выполнять расчеты такого рода.

Пример. Облигация с купонной ставкой 8% и номиналом 1000 долл. США приобретена за 1050 долл. за четыре года до погашения. Принимая во внимание, что купоны погашаются один раз в год, определите внутреннюю ставку доходности.

Решение.

Воспользуемся формулой для расчета приближенного значения внутренней доходности облигации:

Применив метод подстановки, получаем:

Поскольку (1047,20 с 1050), повторим расчет для скорректированного в меньшую сторону значения г, взяв для этого, например г= 0,0655. В этом случае практически совпадает с рыночной (действительной) ценой облигации, что позволяет закончить расчет показателя внутренней доходности на уровне г = 0,0655, или 6,55%.

Процедура повторных расчетов по методу подстановок может быть значительно ускорена, если имеется график зависимости приведенной стоимости облигации от уровня ее внутренней доходности. Он может быть построен по нескольким точкам, координаты которых (пары значений г и приведенной стоимости) несложно определить по специальным таблицам, приводимым в каждом учебном пособии по финансовым вычислениям. Для рассматриваемого нами примера графическая интерпретация расчета уровня внутренней доходности приведена на рис. 3.9.

Рис. 3.9.

Для ускорения процесса расчета внутренней доходности облигации может быть использована также формула линейной интерполяции

где Г[, г 2 – значения соответственно заниженного и завышенного уровней ориентировочной доходности облигаций; Р, Р 2 – расчетные рыночные цены облигации, соответствующие уровням доходности Г] и r 2; Р – фактическая (действительная) цена облигации на фондовом рынке.

Резюмируя вышесказанное, отметим, что доходность к погашению позволяет оценить не только текущий (купонный) доход, но и размер прибыли или убытка, ожидающих капитал инвестора, остающегося владельцем облигации до ее погашения эмитентом. Кроме того, доходность к погашению принимает в расчет временны́е параметры денежных потоков. Соотношение между уровнями купонной ставки, текущей доходности, а также доходности к погашению представлены в табл. 3.3.

Таблица 3.3

Соотношение основных параметров облигации

Иногда бухгалтерам приходится работать с рыночными графиками и ставками, особенно в свете последних изменений в МСФО. Рассмотрим, как можно экстраполировать кривую доходности для оценки нерыночной облигации по справедливой стоимости.

Представим, что вам необходимо сделать оценку корпоративных облигаций на конец года в соответствии с МСФО (IFRS) 9 по справедливой стоимости (FV) . Если ни одна из этих облигаций не продается на открытом рынке, то поиск рыночных данных не решит проблему.

Один из вариантов решения проблемы - аутсорсинг оценки этих облигаций у довольно дорогостоящего эксперта по оценке. Однако в нынешних финансовых реалиях все сокращают расходы, поэтому, руководство финансовых служб часто приходит к вопросам:

• Можно ли сделать это как-то самим?
• Есть ли простой метод оценки доходности облигаций , который можно выполнить с помощью простых средств, без дорогостоящего программного обеспечения - только с тем, что у нас уже есть?

В этом случае нужна экстраполяция кривой доходности . Это метод быстрый, простой, его без труда можно выполнить в Excel, и результат (если он правильный) будет положительно принят большинством аудиторов.

Можно возразить, что существуют более точные методы оценки или ценообразования при учете облигаций , такие как безарбитражная цена , относительная цена и многие другие. Это все верно, тем не менее для бухгалтера этот метод, по крайней мере, так же хорош, как и другие, - поскольку она/он может обосновать свой выбор базовой информации для кривой доходности.

Что такое кривая доходности?

Кривая доходности - это просто соотношение между числом лет до погашения и доходностью к погашениюопределенной облигации.

Число лет до погашения ("years-to-maturity") - это оставшийся срок до погашения облигации, выраженный в годах. На кривой доходности он представляет ось X.

Доходность к погашению (YTM, от англ. "yield to maturity") представляет собой фактическую процентную ставку , по которой облигации приносят доход с текущего момента до окончательной даты их погашения.

YTM зависит от:

• купона облигации (регулярные номинальные процентные платежи эмитентом облигации),
• текущей рыночной цены облигации (или ваших текущих инвестиций в приобретение этой облигации),
• цены погашения облигации (по ее номинальной доходности или какой-либо другой сумме) и, конечно,
• оставшегося срока до погашения.

Проще говоря, доходность к погашению - это внутренняя норма доходности облигации по текущей рыночной цене и ее расчет схож с финансовым показателем IRR .

На кривой доходности YTM представляет собой ось Y.

Для получения кривой доходности вам нужны данные не менее двух пар данных для осей X и Y, но, конечно, большее число данных дает вам более точную кривую доходности.

Типичная кривая доходности будет выглядеть следующим образом:

Как вы можете видеть, она наклоняется вверх . Что это значит? Это означает, что более короткая облигация (т.е. с более коротким сроком погашения) имеет более низкую доходность или реальную ставку процента интерес ("real interest") и наоборот.

Обычно это нормально, потому что более длительные сроки погашения обычно несут больше кредитных рисков, больше инфляционных рисков и т. д. И поэтому инвесторы требуют более высокой доходности.

Иногда кривая доходности наклоняется вниз . В этом случае она называется инвертированной кривой доходности ("inverted yield curve") и может быть признаком рецессии.

Иногда кривая доходности может иметь плоскую форму . В таком случае рынок просто не знает, что думать, поскольку нет никакой разницы между доходами от краткосрочных и долгосрочных ценных бумаг, а рыночные ожидания просто сбивают с толку.

Как определить рыночную цену облигации по кривой доходности?

Кривая доходности представляет собой определенную трендовую линию зависимости между годами до погашения и доходностью к погашению и составлена на основе данных о нескольких или многих разных облигациях с разным числом лет до погашения, разными рыночными ценами и т. д.

Помните это линия тренда, поэтому, если вы берете какую-либо отдельную пару данных и пытаетесь добавить ее на кривую, она не обязательно может лежать на кривой, а оказаться где-то рядом.

Для оценки облигации мы предполагаем, что:

связь между годами к погашению и доходностью к погашению вашей конкретной облигации копирует линию тренда для облигаций с доступными рыночными данными.

Или, другими словами, мы предполагаем, что ваша облигация находится на кривой доходности.

Опираясь на это, если вы можете нарисовать (экстраполировать) кривую доходности облигаций с доступными рыночными данными на определенную дату. Имея эту кривую вы можете легко получить доходность к погашению для любой облигации, не имея фактических рыночных данных на эту дату.

Вы просто ищете на своей кривой доходность к погашению для определенного срока погашения. После того, как вы определили доходность к погашению, число лет до погашения, купон, цену погашения и другую необходимую информацию, вы можете определить расчетную рыночную цену облигации или приемлемую справедливую стоимость на дату отчетного периода.

Это выглядит просто. Но есть несколько вещей, которым нужно уделить внимание. Разложим весь процесс на несколько шагов.

1. Найдите соответствующие рыночные данные.

Это особенно важно и очень субъективно, потому что, чтобы нарисовать соответствующую кривую доходности, вы должны выбрать определенные облигации. Но какие именно облигации?

В общем, вы должны выбрать облигации с самыми близкими возможными характеристиками к той облигации, которую вы оцениваете. Это означает, что вам нужны облигации из аналогичной отрасли или страны, чтобы их рыночные данные отражали риски, схожие с вашей облигацией.

В то же время вы должны подготовить хорошее обоснование своего выбора - на всякий случай, для очень добросовестных аудиторов.

2. Рассчитайте доходность к погашению для выбранных рыночных облигаций.

Биржевые сайты обычно содержат информацию о текущей рыночной цене облигации (или на указанную дату закрытия), купоне, дате погашения и цене погашения. Иногда они также содержат информацию о доходности к погашению, но не всегда.

Если нет, вы должны вычислить YTM самостоятельно, используя соответствующую формулу Еxcel «YIELD» или «ДОХОД» в русской версии. Просто введите в нее собранные данные:

• Settlement (дата_согл) : Дата, на которую выполняется расчет
• Maturity (дата_вступл_в_силу) : Дата погашения облигации
• Rate (ставка) : Купон
• Pr (цена) : Текущая цена
• Redemption (погашение) : Цена погашения
• Frequency (частота) : Число купонных выплат в год

В Excel также есть более подробная справка по этой функции.

3. Нарисуйте кривую доходности.

Вам нужно составить заготовку таблицы, в которую вы будете вводить данные выбранных облигаций, включающие пары данных: число лет до погашения и доходность к погашению. Т.е. это самая обычная таблица с двумя рядами значений.

Используя ее, создайте стандартными средствами Excel график, где

• ось X = годы до погашения и
• ось Y = доходность к погашению.

Excel также может добавить линию тренда к вашему графику вместе с математической формулой, выражающей связь линии тренда. Эта формула именно то, что вам нужно.

4. Рассчитайте доходность к погашению оцениваемой облигаций.

После того как вы создали образец таблицы для расчета отношений между годами до погашения и доходностью к погашению отобранных облигаций, вы можете использовать его для расчета доходности к погашению любой облигации, которую вы хотите оценить.

Просто замените в формуле неизвестную для оцениваемой облигации YTM значениями фактических рыночных данных выбранных ценных бумаг.

5. Определите рыночную цену оцениваемой облигации.

Для последнего шага нужно использовать формулу «PRICE» или «ЦЕНА». Она использует те же параметры, что и функция «YIELD».

В этой формуле вы оцениваете рыночную цену некотируемой оцениваемой облигации на основе ее характеристик, включая ее доходность к погашению, определенную в шаге 4.

В результате вы получаете оценку справедливой стоимости некотируемой облигаций на нужную дату.

Может показаться, что это слишком сложно. Но это не так. Фактически, это вопрос грамотного поиска в интернете финансовых данных о котирующихся облигациях в сочетании с вашим опытом работы с MS Excel.