Процентное соотношение (отношение) - что это?
Процентное соотношение, это отношение одного числа к другому, выраженное в процентах. Если нужно узнать сколько процентов от числа А составляет число В, то нужно число В разделить на число А и умножить на 100 процентов. Формула выглядит так В:А х 100%. И для наглядности примеры: сколько процентов от 50 составляет число 250. 250:50 Х 100% = 500%.
И наоборот: сколько процентов от 250 составляет 50? 50:250 х 100% = 20%
Эта сравнительная характеристика двух или более чисел (величин), которая показывает
1) Какую часть составляет одно число от другого числа или от целого.
2) На сколько процентов одно число будет больше (меньше), чем другие числа.
Можно выделить 2 типа процентных соотношений:
1) Процентное соотношение двух чисел.
2) Процентное соотношение нескольких элементов одного целого.
Ниже рассмотрим методику расчёта.
Процентное соотношение двух чисел
Это отношение одного числа к другому в процентах.
Пусть даны 2 числа: N и M.
Процентное соотношение между ними можно посчитать по следующей формуле:
N / M * 100% (отношение первого числа ко второму).
M / N * 100% (отношение второго числа к первому).
Отношение числа N к числу M в % = (500 / 600) * 100% = 83,3%.
Отношение числа M к числу N в % = (600 / 500) * 100% = 120%.
Процентное соотношение элементов одного целого
Такой тип соотношения показывает структуру составных элементов какой-либо целой величины, его нагляднее отображать в виде круговой диаграммы.
Например, процентное соотношение расходов организации за определенный период.
Здесь целое (N) - это совокупные расходы. Допустим, они будут равны 12 млн. рублей.
Части от целого (N1, N2, N3.) - это отдельные виды расходов. Допустим, материальные расходы равны 7 млн. рублей, трудовые расходы равны 1 млн. рублей, денежные расходы равны 4 млн. рублей.
Процентное соотношение для каждого элемента находится по формуле:
Оно показывает, какую часть от целого (суммы расходов) составляет каждый составной элемент (статья расходов).
Материальные расходы = (7 / 12) * 100% = 58,33%.
Трудовые расходы = (1 / 12) * 100% = 8,33%.
Денежные расходы = (4 / 12) * 100% = 33,33%.
В виде диаграммы процентное соотношение расходов можно представить следующим образом:
Процентное соотношение - это получение результата, выраженное в процентах, когда решаются задачи следующего характера.
Рассмотрим на современном примере: Встал вопрос о сносе пятиэтажки и жители дома должны выразить свое мнение.
Всего в доме проживает 100 собственников квартир. По результатам голосования 50 жильцов проголосовали "ЗА СНОС", 30 жильцов проголосовали "ПРОТИВ9, а 20 не соизволили вообще голосовать. Вопрос - будут сносить дом по результатам голосования? Обнародование результатов голосования всегда выдается в процентах.
Формула расчета процента: C=В/Аx100, где A - целое, B - исчисляемая часть,
Нахождение процентного отношения двух чисел
Правило. Чтобы найти процентное отношение двух чисел, нужно одно число разделить на другое, а результат умножить на 100.
Например, вычислить, сколько процентов составляет число 52 от числа 400.
По правилу: 52: 400 * 100 — 13 (%).
Обычно такие отношения встречаются в задачах, когда величины заданы, а нужно определить, на сколько процентов вторая величина больше или меньше первой (в вопросе задачи: на сколько процентов перевыполнили задание; на сколько процентов выполнили работу; на сколько процентов снизилась или повысилась цена и т. д.).
Решения задач на процентное отношение двух чисел редко предполагают только одно действие. Чаше решение таких задач состоит из 2-3 действий.
1. Завод должен был за месяц изготовить 1 200 изделий, а изготовил 2 300 изделий. На сколько процентов завод перевыполнил план?
1 200 изделий — это план завода, или 100% плана.
1) Сколько изделий изготовил завод сверх плана?
2 300 — 1 200 = 1 100 (изд.)
2) Сколько процентов от плана составят сверхплановые изделия?
1 100 от 1 200 => 1 100: 1 200 * 100 = 91,7 (%).
1) Сколько процентов составляет фактический выпуск изделий по сравнению с плановым?
2 300 от 1 200 => 2 300: 1 200 * 100 = 191,7 (%).
2) На сколько процентов перевыполнен план?
2. Урожайность пшеницы в хозяйстве за предыдущий год составила 42 ц/га и была занесена в план следующего года. В следующем году урожайность снизилась до 39 ц/га. На сколько процентов был выполнен план следующего года?
42 ц/га - это план хозяйства на этот год, или 100% плана.
1) На сколько снизилась урожайность по сравнению
2) На сколько, процентов план не довыполнен?
3 от 42 => 3: 42 * 100 = 7.1 (%).
3) Насколько процентов выполнен план этого года?
1) Сколько процентов составляет урожайность этого гола по сравнению с планом?
Анонимный Число А на 56% меньше числа В, которое в 2,2 раза меньше числа С. Какой процент числа С относительно числа А? NMitra A = B - 0,56 ⋅ B = B ⋅ (1 - 0,56) = 0,44 ⋅ B B = A: 0,44 С = 2,2 ⋅ B = 2,2 ⋅ A: 0,44 = 5 ⋅ A C в 5 раз больше A C на 400% больше A Анонимный Помогите. В 2001 выручка возросла по сравнению с 2000 на 2 процента, хотя планировали в 2 раза. На сколько процентов недовыполнен план? NMitra А - 2000 год Б - 2001 год Б = A + 0,02A = A ⋅ (1 + 0,02) = 1,02 ⋅ A Б = 2 ⋅ А (план) 2 - 100% 1,02 - х% х = 1,02 ⋅ 100: 2 = 51% (выполнен план) 100 - 51 = 49% (недовыполнен план) Анонимный Помогите ответить на вопрос. Арбуз содержит 99% влажность, но после усушки (положить на солнышко на несколько дней) влажность его составляет 98%. На сколько % изменится ВЕС арбуза после усушки? Если рассчитывать математическим путем, то получается, что у меня арбуз совсем усох. Например: при весе в 20 кг вода составляет 99% массы, то есть сухой вес равен 1% = 0,2 кг. Тут арбуз теряет жидкость, и состоит уже на 98%, следовательно, сухой вес равен 2%. Но сухой вес не может измениться из-за потери воды, поэтому он как и прежде равен 0,2 кг. 2%=0,2 => 100%=10 кг. Анонимный Подскажите, пожалуйста, как вычислить сам процент в диапазоне 2-ух значений? Скажем, какой процент у числа 37 в диапазоне значений 22-63? Мне нужна формула для приложения, раньше решал такие задачи за пару минут, а сейчас мозг усох). Выручайте. NMitra У меня так выходит: процент = (число - z0) ⋅ 100: (z1-z0) z0 - начальное значение диапазона z1 - конечное значение диапазона Например, х = (37-22) ⋅ 100: (63-22) = 1500: 41 = 37% Для примера ниже сходится
| 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 35 | 50% | 10 | 45 |
| 16 | 23% | 4,6 | 20,6 |
| 18 | 26% | 5,2 | 23,2 |
| 1 | 1% | 0,2 | 1,2 |
| 70 | 100% | 20 | 90 |
| 35 | 50% | 10 | 45 | 67,5 |
| 16 | 23% | 4,6 | 20,6 | 30,9 |
| 18 | 26% | 5,2 | 23,2 | 34,8 |
| 1 | 1% | 0,2 | 1,2 | 1,8 |
| 70 | 100% | 20 | 90 | 135 |
Проценты
— удобная относительная мера, позволяющая оперировать с числами в привычном для человека формате не зависимо от размера самих чисел. Это своего рода масштаб, к которому можно привести любое число. Один процент — это одна сотая доля. Само слово процент происходит от латинского «pro centum», что означает «сотая доля».
Проценты незаменимы в страховании, финансовой сфере, в экономических расчетах. В процентах выражаются ставки налогов, доходность капиталовложений, плата за заемные денежные средства (например, кредиты банка), темпы роста экономики и многое другое.
1. Формула расчета доли в процентном отношении.
Пусть задано два числа: A1 и A2. Надо определить, какую долю в процентном отношении составляет число A1 от A2.
P = A1 / A2 * 100.
В финансовых расчетах часто пишут
P = A1 / A2 * 100%.
Пример. Какую долю в процентном отношении составляет 10 от 200
P = 10 / 200 * 100 = 5 (процентов).
2. Формула расчета процента от числа.
Пусть задано число A2. Надо вычислить число A1, составляющее заданный процент P от A2.
A1= A2 * P / 100.
Пример. Банковский кредит 10 000 рублей под 5 процентов. Сумма процентов составит.
P = 10000 * 5 / 100 = 500.
3. Формула увеличения числа на заданный процент. Сумма с НДС.
Пусть задано число A1. Надо вычислить число A2, которое больше числа A1 на заданный процент P. Используя формулу расчета процента от числа, получаем:
A2= A1 + A1 * P / 100.
или
A2= A1 * (1 + P / 100).
Пример 1. Банковский кредит 10 000 рублей под 5 процентов. Общая сумма долга составит.
A2= 10000 * (1 + 5 / 100) = 10000 * 1.05 = 10500.
Пример 2. Сумма без НДС равна 1000 рублей, НДС 18 процентов. Сумма с НДС составляет:
A2= 1000 * (1 + 18 / 100) = 1000 * 1.18 = 1180.
4. Формула уменьшения числа на заданный процент.
Пусть задано число A1. Надо вычислить число A2, которое меньше числа A1 на заданный процент P. Используя формулу расчета процента от числа, получаем:
A2= A1 — A1 * P / 100.
или
A2= A1 * (1 — P / 100).
Пример. Денежная сумма к выдаче за минусом подоходного налога (13 процентов). Пусть оклад составляет 10 000 рублей. Тогда сумма к выдаче составляет:
A2= 10000 * (1 — 13 / 100) = 10000 * 0.87 = 8700.
5. Формула вычисления исходной суммы. Сумма без НДС.
Пусть задано число A1, равное некоторому исходному числу A2 с прибавленным процентом P. Надо вычислить число A2. Иными словами: знаем денежную сумму с НДС, надо вычислить сумму без НДС.
Обозначим p = P / 100, тогда:
A1= A2 + p * A2.
или
A1= A2 * (1 + p).
тогда
A2= A1 / (1 + p).
Пример. Сумма с НДС равна 1180 рублей, НДС 18 процентов. Стоимость без НДС составляет:
A2= 1180 / (1 + 0.18) = 1000.
Что такое «Submarine Sandwich»
Sabway (Сабвэй) — это крупнейшая сеть ресторанов быстрого обслуживания, работающая по принципу франчайзинга. Основной продаваемой продукцией являются сэндвичи и салаты. Subway позиционирует себя как здоровую альтернативу стандартным сетям ресторанов быстрого обслуживания, что отражается в слогане компании «Ешь свежее!»
Какой текст у молитвы Отче Наш
Молитва «Отче Наш» записана в Библии дважды: в Евангелии от Матфея, 6 глава, 9-13 стихи: «Отче наш, сущий на небесах! да святится имя Твое; да приидет Царствие Твое; да будет воля Твоя и на земле, как на небе; хлеб наш насущный дай нам на сей день; и прости нам долги наши, как и мы прощаем должникам нашим; и не введ
Какие недостатки аэрогриля
Аэрогриль — бытовой электроприбор, предназначенный для приготовления пищи с помощью потоков горячего воздуха, свободно циркулирующего в емкости для готовки, в результате чего пищу можно не переворачивать. Аэрогриль представляет собой стеклянную чашу, которая имеет подставку и накрывается сверху крышкой. Внутри крышки находится вентилятор и ТЭН, а снаружи &m
Что такое хрен
Хрен - многолетнее травянистое растение из семейства крестоцветных, высотой до 90 см, с длинным толстым стержневым корнем, от которого отходят тонкие боковые корешки. Стебель прямостоячий, ветвистый, бороздчатый. Листья крупные, прикорневые, продолговато-овальные, длинночерешковые. Цветки белые, собраны в кистевидные соцветия. Плоды — продолговатые двугнездные стручки. Цветет в
Как определить сердцебиение плода
Определить сердцебиение плода стало возможным благодаря нескольким методам, например, с помощью обычного акушерского стетоскопа, аппарата ультразвукового исследования, а также при проведении эхокардиографии плода.Инструкция:1. Самый простой способ услышать сердцебиение плода — с помощью медицинского фонендоскопа. Приложите мембрану фонендоскопа к животу, гибкие трубки вставь
Где в интернете можно найти биографию Уго Чавеса (Hugo Chavez)
Уго Рафаэль Чавес Фриас - (исп. Hugo Rafael Chávez Frías, р. 28 июля 1954) — президент Венесуэлы. Этнический индеец. Один из немногих в новейшей истории Латинской Америки руководителей, бросивших вызов США в области как внешней, так и внутренней политики. При этом
Какой официальный сайт сериала "Глухарь"
«Глухарь» — российский телевизионный сериал, транслировавшийся на телеканале НТВ с 24 ноября 2008 года по 28 октября 2011 года. В центре повествования — трудовые будни сотрудников отдела внутренних дел одного из районов Москвы. В настоящее время один из самых популярных и рейтинговых российских сериало
Какие ледники существуют на территории России
Современное оледенение на территории России является остатком (реликтом) более обширного раннечетвертичного оледенения. Ледники в России занимают сравнительно небольшую площадь — около 60 тыс. км2. Тем не менее, значение их в природе и жизни человека велико. В них заключены большие запасы пресных вод, они — важнейшие источники питания
Как выглядит М16 (автоматическая винтовка)
М16 (официальное обозначение — Rifle, Caliber 5.56 mm, M16) — американская автоматическая винтовка калибра 5,56 мм, разработанная на базе винтовки AR-10 и принятая на вооружение в 1960-х годах. «Боевое крещение» винтовка получила в ходе индонезийско-малайз
Кто сыграл главную роль в первом советском фильме со звуком
В кинотеатре на Таймс-сквер 6 октября 1927 года состоялась премьера первого звукового фильма, выпущенного компанией «Уорнер Бразерс» (WARNER Bros.) — сентиментальная комедия «Певец джаза» («Jazz Singer», режиссер Алан
Когда День артиллериста
Профессиональные праздники отмечаемые в России Январь: 11 января — День заповедников и национальных парков; 12 января — День работника прокуратуры; 13 января — День российской печати; 21 января — День инженерных войск; 25 января — День штурмана ВМФ; 25 янва
Отношение двух любых чисел x и y – это их частное, то есть дробь вида x/y. Процентным соотношением таких чисел является частное, умноженное на 100.
История понятия
Процент происходит от латинского выражения «pro cento», которое в переводе означает «на сотню». В математике процент - это сотая часть числа. Выражение частей от целого было актуально еще в античные времена, когда люди впервые начали использовать дроби. В Древнем Египте широкой популярностью пользовались так называемые египетские дроби, которые представляли собой сумму нескольких различных дробей, обязательно содержащих в числителе единицу. Например, выражение 13/84 египетские математики выразили бы в виде суммы 1/12 + 1/14. Однако 1/100 - наиболее удобный способ выражать части числа.
Проценты зародились в , задолго до возникновения . Многие бытовые вопросы, как то мера товаров или размер налога, определялись как сотая часть от целого. В России такие вычисления были введены гораздо позже Петром Первым, ведь русская система мер использовала числа, не кратные сотне. Проценты до сих пор активно используются в реальной жизни и занимают важное место во многих сферах деятельности.
Что такое процент
Итак, - это одна сотая часть чего либо. Если у нас есть 100 яблок, то 5 фруктов из них - это пять частей от сотни или 5 %. Если у нас есть 200 персиков, то 23 % от них означает 23 части по 2 фрукта каждая или 46 персиков. Очевидно, что эти показатели можно выразить в виде обыкновенных дробей. В случае с яблоками мы получим дробь 5 / 100 = 5 %, а в ситуации с персиками - 46 / 200 = 23 %. Используя данное уравнение, мы можем найти процентное соотношение двух чисел. И не только.
Процентное соотношение двух чисел
Процент - это соотношение двух чисел, переведенное в десятичную дробь и умноженное на 100. В математической записи это выглядит следующим образом:
m / n × 100 = p,
где m – размер части, n – размер целого, p – процент.
Зная два из трех параметров, мы можем легко определить третий. Наш калькулятор использует данное выражение для поиска процента, целого или части числа. Соответственно, в программе часть обозначена как числитель, целое - как знаменатель, а процент остается процентом. На практике это выглядит следующим образом.
Примеры расчета процентов
Допустим, у нас есть 200 кг сахара. Мы хотим узнать:
- сколько сахара необходимо отгрузить, если требуется поставить 37 % от исходной массы;
- 3 кг сахара просыпалось, и требуется указать процент потерянного товара.
Итак, в первой задаче нам уже известен процент p = 37, а также размер целой части n = 200. У нас есть знаменатель и процент, а требуется найти числитель. Для этого выбираем в меню калькулятора опцию «вычислить числитель» и вводим параметры процента и знаменателя. В ответе получаем 74 кг.
Во второй задаче у нас опять же есть значение целого (знаменатель, равный 200), а так же размер части (числитель, равный 3). Для решения задачи требуется определить процент. Для этого в меню программы выбираем «вычислить процент», вводим соответствующие значения и видим мгновенный результат в виде 2 %.
Есть и третья задача. Допустим, мы не знаем, сколько сахара было изначально, но хотим это выяснить. Нам известно, что 56 кг - это 18 % от первоначального объема. Теперь нам требуется найти целое или знаменатель. Выберем соответствующий пункт калькулятора и введем известные параметры, то есть процент и числитель. Таким образом, изначально на складе было 311 кг сахара.
Процентная разница между числами
Наш калькулятор также позволяет определить процентную разницу между числами. Для вычисления данного параметра используется простая формула:
(a − b) / (0,5 × (a + b)) × 100 %.
Если вам для решения практических задач требуется вычислить процентную разницу между двумя значениями, то достаточно выбрать необходимый пункт в меню калькулятора и рассчитать требуемый показатель.
Пример
Допустим, за первый месяц работы вы получили чистую прибыль в размере 500 $, а во втором - 650 $. Давайте узнаем, на сколько процентов изменился ваш доход за месяц. Для этого выберите в меню программы тип калькулятора «разница в процентах» и введите заданные показатели прибыли. При этом неважно, в какую из ячеек вы вобьете числа, так как разница в любом случае будет одинакова. В результате мы получим ответ - прибыль изменилась на 26 %. В нашем случае она увеличилась.
Заключение
Проценты занимают важное место в нашей жизни - расчет этих параметров необходим в практически любой деятельности человека: от продвижения сайтов до расчета технологических процессов. Используйте наши калькуляторы в своей деятельности - программы пригодятся вам как в учебе, так и на работе.
Соотношением называют некоторую взаимосвязь между сущностями нашего мира. Это могут быть числа, физические величины, предметы, продукты, явления, действия и даже люди.
В повседневной жизни, когда речь заходит о соотношениях, мы говорим «соотношения того-то и того-то» . Например, если в вазе лежит 4 яблока и 2 груши, то мы говорим «соотношения яблок и груш» «соотношения груш и яблок» .
В математике соотношение чаще употребляется как «отношение того-то к тому-то» . Например, соотношение четырёх яблок и двух груш, которые мы рассматривали выше, в математике будет читаться как «отношение четырех яблок к двум грушам» или если поменять местами яблоки и груши, то «отношение двух груш к четырем яблокам» .
Соотношение выражается, как a к b (где вместо a и b любые числа), но чаще можно встретить запись, которая составлена с помощью двоеточия как a: b . Прочитать эту запись можно различными способами:
- a к b
- a относится к b
- отношение a к b
Запишем соотношение четырех яблок и двух груш с помощью символа соотношения:
4: 2
Если же поменяем местами яблоки и груши, то будем иметь соотношение 2: 4 . Это соотношение можно прочитать как «два к четырем» либо либо «две груши относятся к четырем яблокам» .
В дальнейшем соотношение мы будем называть отношением.
Содержание урокаЧто такое отношение?
Отношение, как было сказано ранее, записывается в виде a:b . Также его можно записать в виде дроби . А мы знаем, что такая запись в математике означает деление. Тогда результатом выполнения отношения будет частное чисел a и b .
Отношением в математике называют частное двух чисел.
Отношение позволяет узнать сколько количества одной сущности приходится на единицу другой. Вернемся к отношению четырех яблок к двум грушам (4: 2) . Это отношение позволит нам узнать, сколько яблок приходится на единицу груши. Под единицей подразумевается одна груша. Сначала запишем отношение 4: 2 в виде дроби:
Данное отношение представляет собой деление числа 4 на число 2. Если выполнить это деление, мы получим ответ на вопрос сколько яблок приходится на единицу груши
Получили 2. Значит четыре яблока и две груши (4: 2) соотносятся (взаимосвязаны друг с другом) так, что на одну грушу приходится два яблока
На рисунке показано, как четыре яблока и две груши соотносятся между собой. Видно, что на каждую грушу приходятся два яблока.
Отношение можно перевернуть, записав как . Тогда у нас получится соотношение двух груш и четырех яблок или «отношение двух груш к четырем яблокам». Это отношение покажет, сколько груш приходится на единицу яблока. Под единицей яблока подразумевается одно яблоко.
Чтобы найти значение дроби нужно вспомнить, как делить меньшее число на большее
Получили 0,5. Переведём эту десятичную дробь в обыкновенную:
Сократим полученную обыкновенную дробь на 5
Получили ответ (половину груши). Значит две груши и четыре яблока (2: 4) соотносятся (взаимосвязаны друг с другом) так, что на одно яблоко приходится половина груши
На рисунке показано, как две груши и четыре яблока соотносятся между собой. Видно, что на каждое яблоко приходится половинка груши.
Числа, из которых составлено отношение, называют членами отношения . Например, в отношении 4: 2 членами являются числа 4 и 2.
Рассмотрим другие примеры соотношений. Для приготовления чего-либо составляется рецепт. Рецепт строят из соотношений между продуктами. Например, для приготовления овсяной каши обычно требуется стакан хлопьев на два стакана молока или воды. Получается соотношение 1: 2 («один к двум» или «один стакан хлопьев на два стакана молока»).
Преобразуем соотношение 1: 2 в дробь, получим . Вычислив эту дробь, получим 0,5 . Значит один стакан хлопьев и два стакана молока соотносятся (взаимосвязаны друг с другом) так, что на один стакан молока приходится половина стакана хлопьев.
Если перевернуть соотношение 1: 2 то получится соотношение 2: 1 («два к одному» или «два стакана молока на один стакан хлопьев»). Преобразуем соотношение 2: 1 в дробь, получим . Вычислив эту дробь, получим 2. Значит два стакана молока и один стакан хлопьев соотносятся (взаимосвязаны друг с другом) так, что на один стакан хлопьев приходятся два стакана молока.
Пример 2. В классе 15 школьников. Из них 5 – это мальчики, 10 – девочки. Можно записать соотношение девочек и мальчиков 10: 5 и преобразовать это соотношение в дробь . Вычислив эту дробь получим 2. То есть, девочки и мальчики соотносятся между собой так, что на каждого мальчика приходятся две девочки
На рисунке показано, как десять девочек и пять мальчиков соотносятся между собой. Видно, что на каждого мальчика приходятся две девочки.
Соотношение не всегда можно обращать в дробь и находить частное. В некоторых случаях это будет нелогично.
Так, если перевернуть отношение получится , а это уже отношение мальчиков к девочкам. Если вычислить эту дробь получается 0,5. Получается, что пять мальчиков относятся к десяти девочкам так, что на каждую девочку приходится половина мальчика. Математически это конечно верно, но с точки зрения реальности не совсем разумно, ибо мальчик это живой человек и его нельзя просто так взять и разделить, как грушу или яблоко.
Умение построить правильное отношение — важный навык при решении задач. Так в физике, отношение пройденного расстояния ко времени есть скорость движения.
Расстояние обозначается через переменную S , время — через переменную t , скорость — через переменную v . Тогда фраза «отношение пройденного пути ко времени есть скорость движения» будет описываться следующим выражением:
Предположим, что автомобиль проехал 100 километров за 2 часа. Тогда отношение пройденных ста километров к двум часам будет скоростью движения автомобиля:
Скоростью принято называть расстояние, пройденное телом за единицу времени. Под единицей времени подразумевается 1 час, 1 минута или 1 секунда. А отношение, как было сказано ранее, позволяет узнать сколько количества одной сущности приходится на единицу другой. В нашем примере отношение ста километров к двум часам показывает сколько километров приходится на один час движения. Видим, что на каждый час движения приходятся 50 километров
Поэтому скорость измеряется в км/ч, м/мин, м/с . Символ дроби (/) указывает на отношение расстояния ко времени: километров в час , метров в минуту и метров в секунду соответственно.
Пример 2 . Отношение стоимости товара к его количеству есть цена одной единицы товара
Если мы взяли в магазине 5 шоколадных батончиков и их общая стоимость составила 100 рублей, то мы можем определить цену одного батончика. Для этого нужно найти отношение ста рублей к количеству батончиков. Тогда получим, что на один батончик приходятся 20 рублей
Сравнение величин
Ранее мы узнали, что отношение между величинами разной природы образуют новую величину. Так, отношение пройденного расстояния ко времени есть скорость движения. Отношение стоимости товара к его количеству есть цена одной единицы товара.
Но отношение можно использовать и для сравнения величин. Результат выполнения такого отношения есть число, показывающее во сколько раз первая величина больше второй или какую часть первая величина составляет от второй.
Чтобы узнать во сколько раз первая величина больше второй, в числитель отношения нужно записать большую величину, а в знаменатель меньшую величину.
Чтобы узнать какую часть первая величина составляет от второй, в числитель отношения нужно записать меньшую величину, а в знаменатель большую величину.
Рассмотрим числа 20 и 2. Давайте узнаем во сколько раз число 20 больше числа 2. Для этого находим отношение числа 20 к числу 2. В числителе отношения записываем число 20, а в знаменателе — число 2
Значение данного отношения равно десяти
Отношение числа 20 к числу 2 есть число 10. Эта число показывает во сколько раз число 20 больше числа 2. Значит число 20 больше числа 2 в десять раз.
Пример 2. В классе 15 школьников. 5 из них это мальчики, 10 – девочки. Определить во сколько раз девочек больше мальчиков.
Записываем отношение девочек к мальчикам. В числителе отношения записываем количество девочек, в знаменатель отношения — количество мальчиков:
Значение данного отношения равно 2. Значит в классе из 15 человек девочек в два раза больше мальчиков.
Здесь уже не стоит вопрос о том, сколько девочек приходятся на одного мальчика. В данном случае отношение используется для сравнения количества девочек с количеством мальчиков.
Пример 3 . Какую часть число 2 составляет от числа 20.
Находим отношение числа 2 к числу 20. В числителе отношения записываем число 2, а в знаменателе — число 20
Чтобы найти значение данного отношения, нужно вспомнить,
Значение отношения числа 2 к числу 20 есть число 0,1
В данном случае десятичную дробь 0,1 можно перевести в обыкновенную. Такой ответ будет проще для восприятия:
Значит число 2 от числа 20 составляет одну десятую часть.
Можно сделать проверку. Для этого найдём от числа 20. Если мы всё сделали правильно, то должны получить число 2
20: 10 = 2
2 × 1 = 2
Получили число 2. Значит одна десятая часть от числа 20 есть число 2. Отсюда делаем вывод, что задача решена верно.
Пример 4. В классе 15 человек. 5 из них это мальчики, 10 – девочки. Определить какую часть от общего количества школьников составляют мальчики.
Записываем отношение мальчиков к общему количеству школьников. В числителе отношения записываем пять мальчиков, в знаменателе — общее количество школьников. Общее количество школьников это 5 мальчиков плюс 10 девочек, поэтому в знаменателе отношения записываем число 15
Чтобы найти значение данного отношения, нужно вспомнить, как делить меньшее число на большее. В данном случае число 5 нужно разделить на число 15
При делении 5 на 15 получается периодическая дробь. Переведём эту дробь в обыкновенную
Получили окончательный ответ . Значит мальчики составляют одну треть от всего класса
На рисунке видно, что в классе из 15 школьников треть класса составляют 5 мальчиков.
Если для проверки найти от 15 школьников, то мы получим 5 мальчиков
15: 3 = 5
5 × 1 = 5
Пример 5. Во сколько раз число 35 больше числа 5 ?
Записываем отношение числа 35 к числу 5. В числитель отношения нужно записать число 35, в знаменатель — число 5, но не наоборот
Значение данного отношения равно 7. Значит число 35 в семь раз больше числа 5.
Пример 6. В классе 15 человек. 5 из них это мальчики, 10 – девочки. Определить какую часть от общего количества составляют девочки.
Записываем отношение девочек к общему количеству школьников. В числителе отношения записываем десять девочек, в знаменателе — общее количество школьников. Общее количество школьников это 5 мальчиков плюс 10 девочек, поэтому в знаменателе отношения записываем число 15
Чтобы найти значение данного отношения, нужно вспомнить, как делить меньшее число на большее. В данном случае, число 10 нужно разделить на число 15
При делении 10 на 15 получается периодическая дробь. Переведём эту дробь в обыкновенную
Сократим полученную дробь на 3
Получили окончательный ответ . Значит девочки составляют две трети от всего класса
На рисунке видно, что в классе из 15 школьников две трети класса составляют 10 девочек.
Если для проверки найти от 15 школьников, то получим 10 девочек
15: 3 = 5
5 × 2 = 10
Пример 7. Какую часть 10 см составляют от 25 см
Записываем отношение десяти сантиметров к двадцати пяти сантиметрам. В числителе отношения записываем 10 см, в знаменателе — 25 см
Чтобы найти значение данного отношения, нужно вспомнить, как делить меньшее число на большее. В данном случае число 10 нужно разделить на число 25
Переведём полученную десятичную дробь в обыкновенную
Сократим полученную дробь на 2
Получили окончательный ответ . Значит 10 см составляют от 25 см.
Пример 8. Во сколько раз 25 см больше 10 см
Записываем отношение двадцати пяти сантиметров к десяти сантиметрам. В числителе отношения записываем 25 см, в знаменателе — 10 см
Получили ответ 2,5. Значит 25 см больше 10 см в 2,5 раза (в два с половиной раза)
Важное замечание. При нахождении отношения одноименных физических величин эти величины обязательно должны быть выражены в одной единице измерения, в противном случае ответ будет неверным.
Например, если мы имеем дело с двумя длинами и хотим узнать во сколько раз первая длина больше второй или какую часть первая длина составляет от второй, то обе длины сначала нужно выразить в одной единице измерения.
Пример 9. Во сколько раз 150 см больше 1 метра?
Сначала сделаем так, чтобы обе длины были выражены в одной единице измерения. Для этого переведем 1 метр в сантиметры. Один метр это сто сантиметров
1 м = 100 см
Теперь находим отношение ста пятидесяти сантиметров к ста сантиметрам. В числителе отношения записываем 150 сантиметров, в знаменателе — 100 сантиметров
Найдём значение данного отношения
Получили ответ 1,5. Значит 150 см больше 100 см в 1,5 раза (в полтора раза).
А если бы не стали переводить метры в сантиметры и сразу попытались найти отношение 150 см к одному метру, то у нас получилось бы следующее:
Получилось бы, что 150 см больше одного метра в сто пятьдесят раз, а это неверно. Поэтому обязательно нужно обращать внимание на единицы измерения физических величин, которые участвуют в отношении. Если эти величины выражены в разных единицах измерения, то для нахождения отношения этих величин, нужно перейти к одной единице измерения.
Пример 10. В прошлом месяце зарплата человека составляла 25000 рублей, а в текущем месяце зарплата выросла до 27000 рублей. Определить во сколько раз выросла зарплата
Записываем отношение двадцати семи тысяч к двадцати пяти тысячам. В числителе отношения записываем 27000, в знаменателе — 25000
Найдём значение данного отношения
Получили ответ 1,08. Значит зарплата выросла в 1,08 раза. В будущем, когда мы познакомимся с процентами, такие показатели, как зарплата мы будем выражать в процентах.
Пример 11 . Ширина многоквартирного дома 80 метров, а высота 16 метров. Во сколько раз ширина дома больше его высоты?
Записываем отношение ширины дома к его высоте:
Значение данного отношения равно 5. Значит ширина дома в пять раз больше его высоты.
Свойство отношения
Отношение не изменится если его члены умножить или разделить на одно и тоже число.
Это одно из важнейших свойств отношения следует из свойства частного. Мы знаем, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное не изменится. А поскольку отношение является ничем иным как делением, то свойство частного работает и для него.
Вернемся к отношению девочек к мальчикам (10: 5) . Данное отношение показало, что на каждого мальчика приходится две девочки. Проверим, как работает свойство отношения, а именно попробуем умножить или разделить его члены на одно и то же число.
В нашем примере удобнее разделить члены отношения на их наибольший общий делитель (НОД).
НОД членов 10 и 5 это число 5. Поэтому можно разделить члены отношения на число 5
Получили новое отношение . Это есть отношение два к одному (2:1). Данное отношение, как и прошлое отношение 10:5 показывает, что на одного мальчика приходятся две девочки.
На рисунке показано отношение 2: 1 (два к одному). Как и в прошлом отношении 10: 5 на одного мальчика приходятся две девочки. Другими словами, отношение не изменилось.
Пример 2 . В одном классе 10 девочек и 5 мальчиков. В другом классе 20 девочек и 10 мальчиков. Во сколько раз в первом классе девочек больше мальчиков? Во сколько раз во втором классе девочек больше мальчиков?
В обоих классах девочек в два раза больше мальчиков, поскольку отношения и равны одному и тому же числу.
Свойство отношения позволяет строить различные модели, которые имеют схожие параметры с реальным объектом. Предположим, что многоквартирный дом имеет ширину 30 метров и высоту 10 метров.
Чтобы нарисовать на бумаге похожий дом, нужно рисовать его в таком же отношении 30: 10 .
Разделим оба члена этого отношения на число 10. Тогда получим отношение 3: 1 . Это отношение равно 3, как и предыдущее отношение равно 3
Переведем метры в сантиметры. 3 метра это 300 сантиметров, а 1 метр это 100 сантиметров
3 м = 300 см
1 м = 100 см
Имеем отношение 300 см: 100 см. Разделим члены этого отношения на 100. Получим отношение 3 см: 1 см. Теперь можно нарисовать дом с шириной 3 см и высотой 1 см
Конечно нарисованный дом намного меньше реального дома, но неизменным осталось отношение ширины и высоты. Это позволило нам нарисовать дом, максимально похожий на реальный
Отношение можно понимать и другим образом. Изначально было сказано, что у реального дома ширина составляет 30 метров, а высота 10 метров. Итого получается 30+10, то есть 40 метров.
Эти 40 метров можно понимать, как 40 частей. Отношение 30: 10 говорит о том, что 30 частей приходится на ширину, а 10 частей на высоту.
Далее члены отношения 30: 10 были разделены на 10. В результате получилось отношение 3: 1. Это отношение можно понимать, как 4 части, три из которых приходится на ширину, одна — на высоту. В этом случае обычно требуется узнать сколько конкретно метров приходится на ширину и высоту.
Другими словами, нужно узнать сколько метров приходится на 3 части и сколько метров приходится на 1 часть. Сначала надо узнать сколько метров приходится на одну часть. Для этого общие 40 метров нужно разделить на 4, поскольку в отношении 3: 1 всего четыре части
Определим сколько метров приходится на ширину:
10 м × 3 = 30 м
Определим сколько метров приходится на высоту:
10 м × 1 = 10 м
Несколько членов отношения
Если в отношении дано несколько членов, то их можно понимать, как части от чего-либо.
Пример 1 . Куплено 18 яблок. Эти яблоки разделили между мамой, папой и дочкой в отношении . Сколько яблок получил каждый?
Отношение говорит о том, что мама получила 2 части, папа — 1 часть, дочка — 3 части. Другими словами, каждый член отношения это определенная часть от 18 яблок:
Если сложить члены отношения , то можно узнать сколько всего частей имеется:
2 + 1 + 3 = 6 (частей)
Узнаем сколько яблок приходится на одну часть. Для этого 18 яблок разделим на 6
18: 6 = 3 (яблока на одну часть)
Теперь определим сколько яблок получил каждый. Умножая три яблока на каждый член отношения , можно определить сколько яблок получила мама, сколько получил папа и сколько получила дочка.
Узнаем сколько яблок получила мама:
3 × 2 = 6 (яблок)
Узнаем сколько яблок получил папа:
3 × 1 = 3 (яблока)
Узнаем сколько яблок получила дочка:
3 × 3 = 9 (яблок)
Пример 2 . Новое серебро (альпака) — это сплав никеля, цинка и меди в отношении . Сколько килограммов каждого металла нужно взять, чтобы получить 4 кг нового серебра?
4 килограмма нового серебра будет содержать 3 части никеля, 4 части цинка и 13 частей меди. Сначала узнаем сколько всего частей будет в четырех килограммах серебра:
3 + 4 + 13 = 20 (частей)
Определим сколько килограммов будет приходиться на одну часть:
4 кг: 20 = 0,2 кг
Определим сколько килограммов никеля будет содержаться в 4 кг нового серебра. В отношении указано, что три части сплава содержат никель. Поэтому умножаем 0,2 на 3:
0,2 кг × 3 = 0,6 кг никеля
Определим сколько килограммов цинка будет содержаться в 4 кг нового серебра. В отношении указано, что четыре части сплава содержат цинк. Поэтому умножаем 0,2 на 4:
0,2 кг × 4 = 0,8 кг цинка
Определим сколько килограммов меди будет содержаться в 4 кг нового серебра. В отношении указано, что тринадцать частей сплава содержат цинк. Поэтому умножаем 0,2 на 13:
0,2 кг × 13 = 2,6 кг меди
Значит, чтобы получить 4 кг нового серебра, нужно взять 0,6 кг никеля, 0,8 кг цинка и 2,6 кг меди.
Пример 3 . Латунь — это сплав меди и цинка, массы которых относятся как 3: 2 . Для изготовления куска латуни требуется 120 г меди. Сколько требуется цинка для изготовления этого куска латуни?
Определим из скольких частей состоит сплав меди и цинка:
3 + 2 = 5 (частей)
Определим сколько граммов сплава приходится на одну часть. В условии сказано, что для изготовления куска латуни требуется 120 г меди. Также сказано, что три части сплава содержат медь. Значит разделив 120 на 3, мы определим сколько граммов сплава приходится на одну часть:
120: 3 = 40 граммов на одну часть
Теперь определим сколько требуется цинка для изготовления куска латуни. Для этого 40 граммов умножим на 2, поскольку в отношении 3: 2 указано, что две части содержат цинк:
40 г × 2 = 80 граммов цинка
Пример 4 . Взяли два сплава золота и серебра. В одном количество этих металлов находится в отношении 1: 9, а в другом 2: 3. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 15 кг нового сплава, в котором золото и серебро относилось бы как 1: 4?
Решение
15 кг нового сплава должны состоять в отношении 1: 4. Это отношение говорит о том, что на одну часть сплава будет приходиться золото, а на четыре части будет приходиться серебро. Всего же частей пять. Схематически это можно представить следующим образом
Определим массу одной части. Для этого сначала сложим все части (1 и 4), затем массу сплава разделим на количество этих частей
1 + 4 = 5
15 кг: 5 = 3 кг
Одна часть сплава будет иметь массу 3 кг. Тогда в 15 кг сплава золота будет содержаться 3 × 1 , то есть 3 кг, а серебра 3 × 4 , то есть 12 кг.
Поэтому для получения сплава массой 15 кг нам нужно 3 кг золота и 12 кг серебра.
Теперь возвращаемся к двум сплавам. Использовать нужно каждый из них. Первого сплава мы возьмем 10 кг, а второго 5 кг. Первый сплав, находящийся в отношении 1: 9 даст нам 1 кг золота и 9 кг серебра. Второй сплав, находящийся в отношении 2: 3 даст нам 2 кг золота и 3 кг серебра.
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
