Учет инфляции при оценке денежных потоков
Временная стоимость денег.
Инвестиции:
В производство
В ценные бумаги.
НСД (настоящая стоимость денег) – наращение – БСД (будущая стоимость денег).
Учет временной стоимости денег можно рассматривать с разных позиций:
1. может рассматриваться следующая задача: известна НСД, известна ставка доходности в % и количество периодов за которые начисляется доход. Решается задача получения будущей стоимости через N периодов. Это задача наращения (компаудинга). Обратная задача называется задача дисконтирования.
БСД = НСД*(1+ч)
БСД может быть рассчитана по формуле сложных процентов. Сложные проценты – это проценты, получаемые на реинвестированные проценты.
НАРАЩЕНИЕ – compaund (компаудинг).
Рассмотрим пример компаудинга.
Исходная сумма 1 денежная единица.
1 год. 1*0,10 = 0,1, 1+0,1=1,1
2 год. 1,10*0,10 = 0,11, 1,10+0,11 = 1,21
3 год. 1,21*0,10= 0,121, 1,21+0,121= 1,331
Покажем на графике, от чего зависит FV (будущая стоимость).
Таким образом, возрастает ч, t, следовательно FV.
Чем выше ч (например ставка ссудного %) и чем больше срок начисления %, те > FV.
Для дисконтирования ситуация меняется.
Дисконтирование – следствие компаудинга.
Настоящая стоимость будущих доходов тем меньше, чем > ставка ч, используемая для дисконтирования. С увеличением срока t настоящая стоимость также снижается.
Таким образом, настоящая современная оценка стоимости будущих доходов уменьшается при увеличении ч и t.
Если взять для расчета 100 денежных единиц, то изменение текущей стоимости в зависимости от срока будет выглядеть так:
(место под график).
Пример:
На счете в банке 2 миллиона рублей. Банк платит 18% годовых. Предлагается снять эти деньги и использовать в венчурном бизнесе. Расчет показывает, что через 6 лет капитал утроится. Следует ли принимать такое решение?
Банковский депозит.
FV = 2,0*(1+0,18) = 2,0*2,7 = 5,4 млн.руб.
Венчурный бизнес.
1/(1+ч) - коэффициент дисконтирования.
PV = FV*FV1(ч, n).
Факторный множитель показывает настоящую стоимость 1 денежной единицы через n периодов при заданной ставке доходности ч.
Если в расчетах изменяется некая ч при определении PV и FV, то эта ставка является номинальной. Но инвестора интересует реальная доходность. Как минимум номинальная ставка в отличии от реальной должна учитывать инфляцию, как максимум – инфляцию и риски.
В основе формулы которая позволяет учесть инфляцию, лежит разумная мысль о том, что денежный поток доходов должен обеспечивать компенсацию инфляционных потерь.
На практике это можно реализовать если:
(1+ч)*(1+R)*(1+&).
ч- номинальная ставка доходности
R – реальная ставка доходности
& - темпы инфляции
1 – инвестируемая сумма.
Формула показывает, что наращение определяется реальной ставкой доходности R, но из-за инфляции поток доходов должен быть увеличен в (1+ч) раза.
Ч= R+&+R*& формула Ирвинга Фишера.
Ч = R+& сокращенная формула: номинальная ставка доходности включает в себя реальную ставку и инфляционную премию. Работает при низких темпах и разумных значениях R.
R = ч - & / 1+& & = ч – R / 1+R
В практических расчетах иногда на инфляцию корректируют только итоговый результат. Например чистый доход, получаемый от реальной сделки в каком либо году. Этот расчет приводит к большим искажениям, так как инфляция по разному влияет на разные компоненты денежного потока.
Например, амортизация либо вообще не индексируется на инфляцию, либо подвержена инфляции в меньшей степени чем другие компоненты денежного потока. Это связано с практикой переоценки ОС. Переоценка всегда дискретна на какую то дату, с опозданием на инфляцию.
Алгоритм расчета включает в себя следующие этапы:
1. на инфляцию корректируется поток доходов (номинальный)
2. рассчитываются номинальные потоки денежных затрат с учетом различного влияния инфляции на каждый элемент затрат
3. вычисляются чистые номинальные денежные потоки (1-2)
4. в случае надобности с номинального денежного потока сбрасывается инфляционный нарост и рассчитывается реальный чистый денежный поток (без учета инфляции).
n1.doc
5. Реальная ставка доходности с учетом инфляции и налогообложения
5.1. Основные определения
Инфляция – это снижение реальной покупательной способности денег. В чисто финансовых расчетах, где фигурируют только изменения номинальных денежных сумм, этот фактор не учитывается. В реальности далеко не всякая ставка доходности может привлечь внимание инвесторов. Очевидно, что при темпе инфляции 50% в год едва ли кто будет вкладывать деньги под меньший процент. Такое интуитивное понимание ситуации следует дополнить количественным анализом, призванным ответить на вопрос: какова же реальная доходность инвестиций с учетом темпов инфляции?
Прежде всего, необходимо ввести измеритель уровня и темпов инфляции. Стоимость инвестиций и уровня доходов разных лет может быть сопоставима только в том случае, если стоимость денежной единицы не изменяется. Уровень инфляции выражается в виде индекса цен. Индекс цен является измерителем соотношения между совокупной ценой определенного набора товаров и услуг, называемых «рыночной корзиной», для данного временного периода и совокупной ценой идентичной либо сходной группы товаров и услуг в базовом периоде:
Федеральное правительство США рассчитывает индексы различных наборов, или «корзин», товаров и услуг. Наиболее известный из них - индекс потребительских цен (ИПЦ) - цена фиксированной корзины, содержащей 300 потребительских товаров и услуг, покупаемых типичным горожанином. Индекс цен валового национального продукта, или дефлятор ВНП, включает не только цены потребительских товаров и услуг, но также и цены инвестиционных товаров, товаров, покупаемых правительством, а также товаров и услуг, купленных и проданных на мировом рынке. В зависимости от характера задачи используется тот или иной индекс цен.
Индекс инфляции показывает во сколько раз выросли цены, а уровень инфляции показывает, на сколько процентов возросли цены, т.е. по своей сути это, соответственно, темп роста и темп прироста.
Темпом инфляции за определенный период Т называют относительное изменение индекса цен за этот период
(5.2)
Где J р (0), J р (Т) - индексы цен в начале и в конце периода.
Если известны индекс цен в начале периода и прогнозируемый темп инфляции за период, то можно вычислить ожидаемый индекс цен в конце периода:
(5.3)
Полученное значение индекса цен будет исходным для вычислений в следующем периоде:
По прошествии т периодов индекс цен будет равен
(5.5)
Темп инфляции за этот интервал времени в соответствии (5.2) равен
Из формулы (5.5) видно, что возрастание индекса цен аналогично наращению денежных сумм по закону сложных процентов. Если известен темп инфляции за какую-либо 1/ m -ю часть года, то годовой темп инфляции в соответствии с (5.6) определяется формулой
(1.5.7)
Для характеристики инфляции могут применяться и другие показатели: размер эмиссий, сокращение товарных запасов и т.п.
Инфляция противодействует повышению стоимости денег, обесценивая их. Графически это представлено на рис. 9.
 |
| Рис. 8. Факторы изменения стоимости денег |
Вследствие начисления процентов происходит увеличение денежных сумм, но их стоимость под влиянием инфляции уменьшается. Поскольку каждая денежная единица обесценивается вследствие инфляции, то в дальнейшем обесцениваются уже обесцененные деньги. Таким образом, формула для исчисления наращенной суммы с учетом влияния инфляции, принимает следующий вид:
S = P (1 + i ) n / (1 + ? ) n
Наращение осуществляется по простым или сложным процентам, но инфляция всегда оценивается по сложному проценту.
Поскольку ставка доходности (i ) является фактором роста денег, то находится в числителе формулы, а показатель инфляции (?) является фактором их обесценивания, поэтому находится в знаменателе формулы.
5.2. Реальная ставка доходности и инфляционная премия
Инфляционное обесценение денег существенно снижает реальную доходность финансовой операции. Под реальной доходностью финансовой операции мы понимаем относительное приращение за период Т реальной покупательной способности С денежной суммы, равной отношению этой суммы к индексу цен в данный момент времени:
Где S (t ) - денежная сумма в момент времени t .
Покупательная способность наращенной за период суммы Р равна
Подставляя это выражение в (5.8), получим формулу, выражающую реальную доходность через процентную ставку и темп инфляции:
(5.9)
Если период Т равен одному году, то нижний индекс у переменных опускают: h - годовой темп инфляции, r - реальная годовая ставка доходности.
Формула (5.9) опровергает распространенное заблуждение, что будто бы для получения реальной ставки доходности достаточно из процентной ставки вычесть темп инфляции; это справедливо только при очень малой величине темпа инфляции, когда величиной h в знаменателе можно пренебречь по сравнению с единицей.
Формула (5.9) удобна для демонстрации снижения доходности инвестиций в условиях инфляции, показывающей вели чину реальной доходности при заданной процентной ставке. На практике же обычно задаются минимальной приемлемой для инвестора величиной реальной доходности (барьерной ставкой) r , исходя из которой определяют минимальную процентную ставку i , под которую еще имеет смысл инвестировать средства:
(5.10)
Формула (5.10) носит название формулы Фишера. Вторе слагаемое в правой части этой формулы – величина, которую необходимо прибавить к реальной ставке доходности для компенсации инфляционных потерь. Эта величина носит название инфляционной премии.
5.3. Методы учета инфляции в финансовых расчетах
Владельцы денег не могут мириться с их обесцениванием в результате инфляции и предпринимают различные попытки компенсации потерь от снижения их покупательной способности.
Наиболее распространенным методом является индексация ставки процентов, по которой производится наращение, поскольку:
Если уровень инфляции равен ставке начисляемых процентов (? = i ), то реального роста денежных сумм не будет, т.к. наращение будет полностью поглощаться инфляцией;
Если уровень инфляции выше уровня процентной ставки (? > i ),то происходит «проедание» капитала, и реальная наращенная сумма будет меньше первоначальной денежной суммы;
Если уровень инфляции ниже процентной ставки (? i), то это будет соответствовать росту реальной денежной суммы.
В связи с этим вводится понятие номинальная ставка процента , т.е. ставки с поправкой на инфляцию (i ?).
Общая формула для определения простой ставки процентов, компенсирующей ожидаемую инфляцию, имеет следующий вид:
i
?
= [(1 + T i
) J
?
- 1] : T
где i
– простая ставка процентов, характеризующая требуемую реальную доходность финансовой операции (нетто-ставка);
i
? – процентная ставка с поправкой на инфляцию.
Годовая ставка сложных процентов, обеспечивающая реальную доходность кредитной операции, определяется по формуле
i ? = i + ? + i?
где ?
– уровень инфляции.
Для расчета номинальной ставки можно использовать следующую модель:
Эти модели позволяют производить учет инфляции и корректировку процентных ставок.
На практике довольно часто довольствуются сравнением i
и? путем вычисления реальной ставки
, т.е. уменьшенной ставки доходности на уровень инфляции:
i
= (i
- ?) / (1 + ?)
Инфляция - это снижение реальной покупательной способности денег. В чисто финансовых расчетах, где фигурируют только изменения номинальных денежных сумм, этот фактор не учитывается. В реальности далеко не всякая ставка доходности может привлечь внимание инвесторов. Очевидно, что при темпе инфляции 50% в год едва ли кто будет вкладывать деньги под меньший процент. Такое интуитивное понимание ситуации следует дополнить количественным анализом, призванным ответить на вопрос: какова же реальная доходность инвестиций с учетом темпов инфляции?
Прежде всего, необходимо ввести измеритель уровня и темпов инфляции. Стоимость инвестиций и уровня доходов разных лет может быть сопоставима только в том случае, если стоимость денежной единицы не изменяется. Уровень инфля ции выражается в виде индекса цен. Индекс цен является измерителем соотношения между совокупной ценой определенного набора товаров и услуг, называемых "рыночной корзиной", для данного временного периода и совокупной ценой идентичной либо сходной группы товаров и услуг в базовом периоде:
федеральное правительство США рассчитывает индексы различных наборов, или "корзин", товаров и услуг. Наиболее известный из них - индекс потребительских цен (ИПЦ) - цена фиксированной корзины, содержащей 300 потребительских товаров и услуг, покупаемых типичным горожанином. Индекс цен валового национального продукта, или дефлятор ВНП, включает не только цены потребительских товаров и услуг, но также и цены инвестиционных товаров, товаров, покупаемых правительством, а также товаров и услуг, купленных и проданных на мировом рынке. В зависимости от характера задачи используется тот или иной индекс цен.
Темпом инфляции за определенный период Т называют относительное изменение индекса цен за этот период
(1.5.2)
где J р (0), J р (Т) - индексы цен в начале и в конце периода.
Если известны индекс цен в начале периода и прогнозируемый темп инфляции за период, то можно вычислить ожидаемый индекс цен в конце периода:
(1.5.3)
Полученное значение индекса цен будет исходным для вычислений в следующем периоде:
По прошествии т периодов индекс цен будет равен
(1.5.5)
Темп инфляции за этот интервал времени в соответствии (1.5.2) равен
Из формулы (1.5.5) видно, что возрастание индекса цен аналогично наращению денежных сумм по закону сложных процентов. Если известен темп инфляции за какую-либо l / m -ю часть года, то годовой темп инфляции в соответствии с (1.5.6) определяется формулой
(1.5.7)
Реальная ставка доходности и инфляционная премия
Инфляционное обесценение денег существенно снижает реальную доходность финансовой операции. Под реальной доходностью финансовой операции мы понимаем относительное приращение за период Т реальной покупательной способности С денежной суммы, равной отношению этой суммы к индексу цен в данный момент времени:
где S (t ) - денежная сумма в момент времени t .
Покупательная способность наращенной за период суммы Р равна
Подставляя это выражение в (1.5.8), получим формулу, выражающую реальную доходность через процентную ставку и темп инфляции:
Если период Т равен одному году, то нижний индекс у переменных опускают: h - годовой темп инфляции, r - реальная годовая ставка доходности.
Формула (1.5.9) опровергает распространенное заблуждение, что будто бы для получения реальной ставки доходности достаточно из процентной ставки вычесть темп инфляции; это справедливо только при очень малой величине темпа инфляции, когда величиной h в знаменателе можно пренебречь по сравнению с единицей.
Формула (1.5.9) удобна для демонстрации снижения доходности инвестиций в условиях инфляции, показывающей вели чину реальной доходности при заданной процентной ставке. На практике же обычно задаются минимальной приемлемой для инвестора величиной реальной доходности (барьерной ставкой) r , исходя из которой определяют минимальную процентную ставку i , под которую еще имеет смысл инвестировать средства:
(1.5.10)
Формула (1.5.10) носит название формулы Фишера. Вторе слагаемое в правой части этой формулы – величина, которую необходимо прибавить к реальной ставке доходности для компенсации инфляционных потерь. Эта величина носит название инфляционной премии. Пусть барьерная ставка равна 15% годовых при темпе инфляции, определенном в примере 1.5.2 тогда приемлемая величина процентной ставки будет равна 0,15+0,426х(1+0,15)=0,64 (64%). Из примера 1.5.2 видно, что реальная ставка доходности почти в 5 раз ниже годовой процентной ставки – впечатляющий результат!
Реальная ставка доходности с учетом налога
Вопрос о налогообложении прибыли от инвестирования средств приобретает особую важность, ведь налог начисляется не с реального дохода, а с номинального, равного приращению денежной суммы, и величина налога может оказаться больше реального дохода! Пусть ставка налога на прибыль равна g тогда чистая прибыль, т.е. прибыль после уплаты налога, равна iP -iPg = Pi (1- g ). Отсюда видно, что учет налога на прибыль сводится к замене процентной ставки i на ставку i g =i /(l-g).
Формула для реальной доходности с учетом налога на прибыль примет вид
М.А.Масыч
Финансовые и коммерческие расчеты на ЭВМ
Конспект лекций.Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2005
1.ТЕОРИЯ ПРОЦЕНТОВ
1.6. Реальная ставка доходности с учетом инфляции и налогообложения
Инфляция - это снижение реальной покупательной способности денег. В чисто финансовых расчетах, где фигурируют только изменения номинальных денежных сумм, этот фактор не учитывается. В реальности далеко не всякая ставка доходности может привлечь внимание инвесторов. Очевидно, что при темпе инфляции 50% в год едва ли кто будет вкладывать деньги под меньший процент. Такое интуитивное понимание ситуации следует дополнить количественным анализом, призванным ответить на вопрос: какова же реальная доходность инвестиций с учетом темпов инфляции?
Прежде всего, необходимо ввести измеритель уровня и темпов инфляции. Стоимость инвестиций и уровня доходов разных лет может быть сопоставима только в том случае, если стоимость денежной единицы не изменяется. Уровень инфля ции выражается в виде индекса цен. Индекс цен является измерителем соотношения между совокупной ценой определенного набора товаров и услуг, называемых "рыночной корзиной", для данного временного периода и совокупной ценой идентичной либо сходной группы товаров и услуг в базовом периоде:
федеральное правительство США рассчитывает индексы различных наборов, или "корзин", товаров и услуг. Наиболее известный из них - индекс потребительских цен (ИПЦ) - цена фиксированной корзины, содержащей 300 потребительских товаров и услуг, покупаемых типичным горожанином. Индекс цен валового национального продукта, или дефлятор ВНП, включает не только цены потребительских товаров и услуг, но также и цены инвестиционных товаров, товаров, покупаемых правительством, а также товаров и услуг, купленных и проданных на мировом рынке. В зависимости от характера задачи используется тот или иной индекс цен.
Темпом инфляции за определенный период Т называют относительное изменение индекса цен за этот период
(1.5.2)
где J р (0), J р (Т) - индексы цен в начале и в конце периода.
Если известны индекс цен в начале периода и прогнозируемый темп инфляции за период, то можно вычислить ожидаемый индекс цен в конце периода:
(1.5.3)
Полученное значение индекса цен будет исходным для вычислений в следующем периоде:
По прошествии т периодов индекс цен будет равен
(1.5.5)
Темп инфляции за этот интервал времени в соответствии (1.5.2) равен
Из формулы (1.5.5) видно, что возрастание индекса цен аналогично наращению денежных сумм по закону сложных процентов. Если известен темп инфляции за какую-либо l / m -ю часть года, то годовой темп инфляции в соответствии с (1.5.6) определяется формулой
(1.5.7)
Реальная ставка доходности и инфляционная премия
Инфляционное обесценение денег существенно снижает реальную доходность финансовой операции. Под реальной доходностью финансовой операции мы понимаем относительное приращение за период Т реальной покупательной способности С денежной суммы, равной отношению этой суммы к индексу цен в данный момент времени:
где S (t ) - денежная сумма в момент времени t .
Покупательная способность наращенной за период суммы Р равна
Подставляя это выражение в (1.5.8), получим формулу, выражающую реальную доходность через процентную ставку и темп инфляции:
Если период Т равен одному году, то нижний индекс у переменных опускают: h - годовой темп инфляции, r - реальная годовая ставка доходности.
Формула (1.5.9) опровергает распространенное заблуждение, что будто бы для получения реальной ставки доходности достаточно из процентной ставки вычесть темп инфляции; это справедливо только при очень малой величине темпа инфляции, когда величиной h в знаменателе можно пренебречь по сравнению с единицей.
Формула (1.5.9) удобна для демонстрации снижения доходности инвестиций в условиях инфляции, показывающей вели чину реальной доходности при заданной процентной ставке. На практике же обычно задаются минимальной приемлемой для инвестора величиной реальной доходности (барьерной ставкой) r , исходя из которой определяют минимальную процентную ставку i , под которую еще имеет смысл инвестировать средства:
(1.5.10)
Формула (1.5.10) носит название формулы Фишера. Вторе слагаемое в правой части этой формулы – величина, которую необходимо прибавить к реальной ставке доходности для компенсации инфляционных потерь. Эта величина носит название инфляционной премии. Пусть барьерная ставка равна 15% годовых при темпе инфляции, определенном в примере 1.5.2 тогда приемлемая величина процентной ставки будет равна 0,15+0,426х(1+0,15)=0,64 (64%). Из примера 1.5.2 видно, что реальная ставка доходности почти в 5 раз ниже годовой процентной ставки – впечатляющий результат!
Реальная ставка доходности с учетом налога
Вопрос о налогообложении прибыли от инвестирования средств приобретает особую важность, ведь налог начисляется не с реального дохода, а с номинального, равного приращению денежной суммы, и величина налога может оказаться больше реального дохода! Пусть ставка налога на прибыль равна g тогда чистая прибыль, т.е. прибыль после уплаты налога, равна iP -iPg = Pi (1- g ). Отсюда видно, что учет налога на прибыль сводится к замене процентной ставки i на ставку i g =i /(l-g).
Формула для реальной доходности с учетом налога на прибыль примет вид
Реальная ставка доходности и инфляционная премия
Инфляционное обесценение денег существенно снижает реальную доходность финансовой операции. Под реальной доходностью финансовой операции мы понимаем относительное приращение за период Т реальной покупательной способности С денежной суммы, равной отношению этой суммы к индексу цен в данный момент времени:
где S(t) - денежная сумма в момент времени t.
Покупательная способность наращенной за период суммы Р равна
Подставляя это выражение в (1.5.8), получим формулу, выражающую реальную доходность через процентную ставку и темп инфляции:
Если период Т равен одному году, то нижний индекс у переменных опускают: h - годовой темп инфляции, r - реальная годовая ставка доходности.
Формула (1.5.9) опровергает распространенное заблуждение, что будто бы для получения реальной ставки доходности достаточно из процентной ставки вычесть темп инфляции; это справедливо только при очень малой величине темпа инфляции, когда величиной h в знаменателе можно пренебречь по сравнению с единицей.
Формула (1.5.9) удобна для демонстрации снижения доходности инвестиций в условиях инфляции, показывающей вели чину реальной доходности при заданной процентной ставке. На практике же обычно задаются минимальной приемлемой для инвестора величиной реальной доходности (барьерной ставкой) r, исходя из которой определяют минимальную процентную ставку i, под которую еще имеет смысл инвестировать средства:
(1.5.10)
Формула (1.5.10) носит название формулы Фишера. Вторе слагаемое в правой части этой формулы – величина, которую необходимо прибавить к реальной ставке доходности для компенсации инфляционных потерь. Эта величина носит название инфляционной премии. Пусть барьерная ставка равна 15% годовых при темпе инфляции, определенном в примере 1.5.2 тогда приемлемая величина процентной ставки будет равна 0,15+0,426х(1+0,15)=0,64 (64%). Из примера 1.5.2 видно, что реальная ставка доходности почти в 5 раз ниже годовой процентной ставки – впечатляющий результат!
Реальная ставка доходности с учетом налога
Вопрос о налогообложении прибыли от инвестирования средств приобретает особую важность, ведь налог начисляется не с реального дохода, а с номинального, равного приращению денежной суммы, и величина налога может оказаться больше реального дохода! Пусть ставка налога на прибыль равна g тогда чистая прибыль, т.е. прибыль после уплаты налога, равна iP -iPg=Pi(1-g). Отсюда видно, что учет налога на прибыль сводится к замене процентной ставки i на ставку i g =i /(l-g).
Формула для реальной доходности с учетом налога на прибыль примет вид
