Нетто-премия
Итак, показано, что нетто-премия, обеспечивающая безубыточность страхования, должна быть выше рисковой премии, рассчитанной на основе принципа эквивалентности обязательств сторон. Разность между ними называется рисковой надбавкой, а отношение этой разности к рисковой премии - относительной рисковой надбавкой. Рассмотрим процедуру формирования нетто-премии в договорах с распределенным ущербом.
В страховании принято оперировать специальной денежной суммой - единицей страховой суммы (е.с.с), зависящей от валюты страны, например, 1 е.с.с. = 100 руб.
Рассмотрим пример. Индивидуальный иск принимает три значения: 0; 1; 4 е.с.с. с вероятностями 0,9965, 0,0030, 0,0005 соответственно. Найти нетто-премию.
Среднее значение и дисперсия индивидуального иска:
Тогда условия обеспечения 95%-ой надежности (вероятности выживания) с использованием нормальной аппроксимации получим: используя рисковую премию и учитывая число договоров; найдем нетто-премию:
Тогда относительная надбавка равна:
Итак, рисковая премия равна 0,0050; рисковая надбавка равна 0,0017; нетто-премия равна 0,0067; брутто-премия (при) составит: 0,0067/0,88=0,76, это превысит рисковую премию в 1,5 раза.
Анализ однородного страхового портфеля с применением нормальной аппроксимации
Продолжим рассматривать вышеизложенную задачу (о рисковой надбавке).
Напомним: надо исследовать процесс:
Собранные нетто-премии обеспечивают возможность выполнить свои обязательства по выплате возмещений, если число страховых случаев не превысит 110. Для надежности 96% (если то) необходимо иметь возможность оплатить случаи до 117-го включительно. Отметим, что 117-ый случай либо произойдет, либо нет, поэтому необходимо округлить 116,6 до ближайшего целого большего числа. Надо обеспечить возможность выплаты страховой суммы по 117 случаям. Действительная вероятность разорения при этом составит:
Надежность несколько выше, чем требует Страхнадзор.
Если на рынке установилась средняя относительная рисковая надбавка 10%, то произвольно повысит её до 16,6% (или до 17%) страховщик не может из-за конкуренции. Поэтому он вынужден для повышения своей надежности либо вкладывать свои средства (т.е. капитал) - создавать начальный резерв, либо прибегнуть к перестрахованию.
Рассмотрим первую возможность. Итак, страховщику не достает средств для выплаты 7 страховых случаев, т.е. ему нужен капитал в размере 7 страховых возмещений. Например, если страховая сумма равна 500, то капитал, при котором гарантируется заданная надежность, равен а не
Анализируем вторую возможность. Предположим, что на перестрахование передаются случаи от 111-го до 117-го включительно. Это означает, что если число случаев превысит 117, то перестраховщик оплачивает указанные случаи, а все следующие возмещает цедент. Поэтому будем использовать локальную теорему Лапласа (так как размер выплат фиксирован) и найдем вероятности:
Например,
Так получены вероятности: 0,0021; 0,0019; 0,0016; 0,0014; 0,0012; 0,0010; 0,0008. Вероятность придется искать по интегральной теореме Лапласа:
Тогда математическое ожидание выплат перестраховщика равно:
Это и есть рисковая премия в перестраховочном договоре.
Если известна относительная надбавка у перестраховщика, то можно найти нетто-премию в этом договоре. Например, тогда: (Около 2/3 одной страховой суммы.) Следовательно, цедент имеет альтернативу: либо держать резерв в 7 страховых сумм, либо безвозвратно заплатить перестраховщику 2/3 одной страховой суммы. Если цедент может инвестировать свои временно свободные средства под процент, больший, чем 0,654/7,0=9,4%, то перестрахование может быть оплачено за счет прибыли.
Если у страховщика своих средств для резерва нет (или он считает целесообразным пустить свои средства в оборот), заключается договор о перестраховании. Распределим зоны ответственности.
При страховщик выплачивает возмещение за счет собранных нетто-премий. При ответственность делится между страховщиком и перестраховщиком. Первый выплачивает фиксированное число возмещений: , а второй - все остальное: . Наконец, при риск не обеспечен, это и составляет предпринимательский риск страховщика. (Страховщик считает, что в его портфеле не может произойти более 117 случаев. Поэтому он не принимает мер на случай этой ситуации. Он не создает резерв и не вносит в перестраховочный договор условие выплаты перестраховщиком возмещения в 118-м страховом случае. Если произойдет 118-й страховой случай, перестраховщик оплатит лишь 7 случаев, возникает техническое разорение цедента).
Отметим, что левая граница ответственности перестраховщика может быть сдвинута. За перестрахование надо платить, своих средств у страховщика нет, поэтому он пытается расплатиться деньгами своих клиентов. (В принципе, страховщик всегда использует деньги клиентов для решения возникающих проблем. Здесь имеется в виду собранная в этом году единовременная суммарная нетто-премия).
Он собрал взносов на сумму: , а средние ожидаемые выплаты составляют, поэтому ожидаемая прибыль (до перестрахования) составит 5000. Страховщик делится ожидаемой прибылью с перестраховщиком для повышения своей надежности. Но это означает, что собранных средств недостаточно для оплаты возмещения, по крайней мере, 110-го случая.
Весь риск X можно разбить на три части: Y - риск страховщика, Z - риск перестраховщика, W - необеспеченный риск. Очевидно, X=Y+Z+W , тогда M(X)=M(Y)+M(Z)+M(W). При расчете дисперсий следует учесть ковариацию. Для анализа дисперсии (и процесса в целом) надо выбрать аппроксимацию. Поскольку, то применить закон Пуассона нельзя, но допустима нормальная аппроксимация.
Однако надо быть готовым к появлению неточностей, вызванных изменением закона распределения. Например, потерей «хвостов» нормального распределения, невозможностью принять отрицательные значения, погрешностями при замене дискретного распределения непрерывными, различием результатов при использовании локальной теоремы Лапласа и интегральной теоремы Лапласа и т.д. (Кстати, если ущерб фиксирован, т.е. общий ущерб в портфеле кратен числу страховых случаев, то локальная теорема предпочтительнее!). Наконец, есть и вычислительные погрешности.
Это обстоятельство иллюстрирует сложность актуарных задач. В учебном курсе демонстрируется лишь принципиальный подход. На цивилизованном страховом рынке в условиях жесткой конкуренции выигрывает тот, кто считает точнее (!).
Итак, надо найти M(X), M(Y), M(Z) (и возможно, M(W)).
Для нормального закона распределения плотность
выполняется условие:
тогда понятно, что при сужении интервала интегрирования до (0,n) интеграл от положительной функции уменьшится, поэтому математическое ожидание всего риска X будет несколько меньше, чем
Для дальнейшего нам понадобится при разных,
Обозначим этот интеграл через
Итак, установлено, что
Для вычисления интеграла типа J сделаем замену переменных, традиционную при работе с нормальным распределением:
тогда: следовательно:
Итак, необходимо только вычислить и использовать свойства экспоненты и функции Лапласа.
1. на практике:
и при большом портфеле
Итак, риск страховщика после перестрахования составил:
следовательно,
страховой компания договор ущерб
На практике необходимо указать, кто возмещает 110-й случай, поэтому
Риск перестраховщика достаточно мал, что объясняется сравнительно большим. Интересно, что суммарный риск страховщика и перестраховщика равен Это из-за отказа от 100%-й надежности. Разность 4,06 должна составить необеспеченный риск.
Подведем итоги: Несовпадение объясняется приведенными в начале раздела факторами. Отметим, что страховщик может рассчитывать на увеличение своей ожидаемой прибыли до возмещений (7370). А за перестрахование придется заплатить всего е.с.с. (391 условных единиц), что вполне приемлемо! Разница зачисляется в резерв, что позволит в будущем обойтись без перестрахования (или повысить надежность, или снизить надбавку, повысив тем самым свою конкурентоспособность).
Часть страхового взноса, используемая для покрытия страховых платежей по конкретному виду страхования за определенный временной промежуток, называется нетто-премией. Ее величина находится в непосредственной зависимости от развития риска. Параметр может соответствовать рисковой премии при планомерном развитии опасностей.
Для чего используется и на что влияет?
Часть страховой премии предназначается для компенсационных выплат, целью которых является покрытие ущерба. Ее величина определяется параметром нетто-премии, являющейся составляющим элементом брутто-премии. Формирование нетто-премии осуществляется по риску и страховой надбавке. Определение величины по риску производится при помощи актуарных расчетов, учитывающих раздел страховой математики. Для идентификации значения используются сведения о причиненном ущербе за прошлый период.
Параметр соответствует произведению частоты наступления страхового случая за выделенный период и средней величины нанесенного ущерба. При его определении в расчет включаются причиненные страхователю убытки, полученные в результате обстоятельств, отнесенных к категории страхового случая за весь выделенный временной период, подлежащий анализу. Частота ущерба рассчитывается частным числом общего количества ущерба в наблюдаемом их множестве и числом входящих в него наблюдаемых единиц. Средний размер ущерба определяется частным его общей суммы и числа случаев ущерба. Все параметры учитываются за выделенный временной промежуток, интерпретируемый как наблюдаемый.
Из каких элементов состоит?
Страховой взнос определяет среднюю величину нетто-премии, что обуславливает положительные и отрицательные отклонения параметра. Для его компенсации в размер рисковой премии включается гарантийная надбавка, применяемая для стабилизации показателя. Его структура формируется в соответствии с видом страхования и его предметом. В имущественном и личном страховом продукте, она состоит из разных составляющих элементов. Нетто-премия имущественного страхования определяется рисковой премией и стабилизационной надбавкой. Для личного страхования характерен актуарный расчет, в котором учитывается рисковая премия и накопительный взнос. В некоторых ситуациях учитывается гарантирующая надбавка.
Как производятся расчетные операции?
Нетто-премия актуальна для страховых операций, предметом которых являются имущество, здоровье и жизнь человека. Она соответствует разнице общей суммы страховой премии и агентского или брокерского вознаграждения. Премия необходима для обеспечения страховой защиты от возможного ущерба. В нее не включается та ее часть, расходование которой предназначено для покрытия прочих расходов. В страховании жизни параметр интерпретируется разницей первоначальной страховой премии и суммы выплаченных страхователю дивидендов в случае, если выгодополучателем они были использованы на оплату премиальных платежей по полису страхования жизни. Ожидаемая величина нетто-премии определяется по формуле:
НП = СС х НС / 100 , где:
- НП - нетто-премия;
- СС - страховая сумма;
- НС - нетто-ставка.
Нетто-ставка представлена процентом, отображающим вероятность убытка. Параметр рассчитывается соотношением причиненного ущерба к совокупной страховой сумме застрахованных объектов. Величина ущерба определяется частным общей суммы ущерба и числом зафиксированных подобных случаев. Все значения учитываются за наблюдаемый период.
Для повышения надежности защиты по решению страховщика, в расчете может быть учтена рисковая надбавка. Она не может быть меньше величины стандартного отклонения параметра убыточности, примененного к страховой сумме. Учет значения в расчетах увеличивает вероятность того, что собранных денег в ракурсе страховой премии будет достаточно для произведения компенсационных выплат за понесенный страхователем ущерб в результате наступления страхового случая. Расчет нового значения премии будет выглядеть суммой базовой нетто-премии и страховой надбавки.
Параметр рисковой надбавки необходимо учитывать в расчетах при выявлении определенных закономерностей факта ущерба, нанесенного застрахованному объекту в результате случайных событий в прошлом периоде. На основании статистической информации можно заранее спрогнозировать убыточность. Анализируя параметры, следует не допустить диагностических ошибок, заключающихся в обработке сведений не в полном объеме, а также недостоверностей прогноза, выраженных в невозможности повторения прошлого в будущем периоде. Во избежание недостоверностей и завышения суммы платежа, применяется среднестатистическое значение величины, определяемое по нескольким временным эпизодам.
Заключение
Таким образом, ожидаемую величину нетто-премии можно определить, зная размер страховой суммы и значение нетто-ставки. При этом нетто-ставка является процентом, отражающим вероятность убытка (ущерба). Эта вероятность рассчитывается на основе соотношения ущерба к совокупной страховой сумме застрахованных объектов. Чистая же нетто-премия определяется в ходе актуарных расчетов, для которых необходимо знание статистических данных за прошлые периоды, в том числе частоту наступления страховых случаев и средний ущерб от них.
п-летнее смешанное страхование жизни
Нетто-премия вычисляется по формуле:
Полное страхование жизни, отсроченное на т лет
При этом виде страхования нетто-премия вычисляется по формуле:
п-летнее временное страхование жизни, отсроченное на т лет
Полное страхование жизни с непрерывно возрастающим пособием
19. Расчет нетто-премий при полном страховании жизни с выплатой страхового пособия в конце последнего года жизни.
РАСЧЕТ НЕТТО-ПРЕМИЙ ДЛЯ ОСНОВНЫХ ДИСКРЕТНЫХ
ВИДОВ СТРАХОВАНИЯ
Исходя из определения дискретных видов страхования, и понятия актуарной стоимости можно получить следующие формулы для вычисления нетто-премий:
1. Полное страхование жизни с выплатой страхового пособия в конце последнего года жизни .
Нетто-премия вычисляется как
является дискретным анализом непрерывной упрощающей функции .
20. Расчет нетто-премий при п-летнем временном и смешанном страховании жизни с
выплатой страхового пособия в конце последнего года жизни.
п -летнее временное страхование жизни с выплатой пособия в конце года смерти
3. п -летнее смешанное страхование жизни с выплатой пособия в конце года смерти
4. Полное страхование жизни с выплатой страхового пособия в конце последнего года жизни, отсроченное на т лет
5. Полное страхование жизни с ежегодно возрастающем пособием и выплатой пособия в конце последнего года жизни
Обозначив , можем записать в виде
Здесь - это дискретная упрощающая функция.
21. Связь между непрерывным и дискретным видами страхования жизни.
Дискретное страхование жизни- страховая сумма выплачивается в конце года смерти. Вычисления можно проводить непосредственно по таблицам продолжительности жизни.
Вычислив нетто-премии при дискретном страховании жизни, можно вычислить и нетто-премии при соответствующих видах непрерывного страхования. Для того чтобы связать между собой непрерывные и дискретные виды страхования необходимо сделать определенные предположения о законе распределения времени жизни для дробных возрастов.
Обычно предполагают, что этот закон – равномерный. Известно, что в этом случае случайные величины и независимы, и имеет равномерное распределение на . Тогда можем получить следующие формулы, связывающие нетто-премии для соответствующих непрерывных и дискретных видов страхования:
Приведенные выше формулы позволяют вычислять разовые нетто-премии по непрерывным видам страхования через характеристики , , , которые достаточно просто вычисляются по данным, приводимым в общих таблицах продолжительности жизни.
22. .Анализ суммарного иска в модели долгосрочного страхования жизни.
Пусть в момент времени страховая компания заключила договоров страхования жизни. Обозначим через - премии, а через - величину страхового пособия, выплачиваемого по - ому договору в случайный момент времени . Расположим величины в порядке возрастания: . Тогда в момент времени капитал компании можно вычислить как
и компания не разорится, если будет выполнено условие вида:
где - современная стоимость выплаты по - ому договору страхования. Вероятность неразорения будет вычисляться по формуле:
которая аналогична соответствующей формуле для краткосрочного страхования жизни. То есть расчет вероятности неразорения при долгосрочном страховании производится так же, как и при краткосрочном страховании с величинами убытков .
Тогда плата за страховку будет иметь вид:
где - нетто-премия по - ому договору, а - соответствующая страховая надбавка, которая вычисляется аналогично краткосрочному страхованию жизни.
В простейшем случае, когда страховая надбавка делится пропорционально математическим ожиданиям, получаем:
При более сложных моделях долгосрочного страхования не всегда удается выразить:
а) вероятность неразорения в виде простой формулы вида (32);
б) нетто-премии и страховые надбавки в виде (34).
Нетто-премия
Премия, направляемая на формирование страхового фонда, из которого производятся страховые выплаты, в отечественной практике называется нетто-премия. Она получается путем сложения рисковой премии и рисковой надбавки:
Если договор предусматривает страхование одного объекта по нескольким страховым рискам, то нетто-премия, как правило, определяется раздельно по каждому из них. Например, каско-страхование автомобилей включает обязательства по выплатам в случае "ущерба" (повреждения/уничтожения) и хищения. Эти два риска имеют разную природу. Они характеризуются своими показателями вероятности наступления и величины выплаты. Поэтому рисковые премии, а следовательно, и нетто-премии по каждому такому риску должны рассчитываться отдельно.
Методика определения нетто-премии и ее составляющих зависит от вида страхования и характера обязательств страховщика. С точки зрения специфики расчетов можно выделить две существенно различающиеся области: рисковые виды страхования и страхование жизни. Особенности определения цены страхования для указанных видов рассматриваются далее в соответствующих параграфах.
Нагрузка
Правильно рассчитанная нетто-премия обеспечивает безубыточную работу страхового фонда с заданным уровнем гарантии безопасности. Однако страховой фонд формируется и управляется страховой организацией. Эта деятельность требует определенных расходов, которые финансируются в том числе из средств, уплаченных страхователями в виде взносов. Поэтому в структуру премии вводится еще одна надбавка, которая называется - часть страховой премии, предназначенная для покрытия расходов и отчислений страховой компании иных, чем страховые выплаты и затраты на урегулирование страховых случаев.
Чтобы осуществлять свою деятельность по созданию и управлению страховым фондом, страховое общество прежде всего должно обеспечить свое функционирование. Для этого необходимо приобретать или арендовать помещения, обеспечивать их электро- и водоснабжение, оплачивать работу сотрудников, приобретать оргтехнику, бланки документов, канцелярские принадлежности и т.д. То есть страховщик, как и любое другое предприятие, несет административно-хозяйственные расходы (АХР).
Но кроме обычных расходов, присущих любой фирме, у страховой компании есть специфические затраты, связанные с поиском и привлечением клиентов, оформлением договоров и т.д. Эти расходы иногда называют аквизиционными (от англ., фр. acquisition - приобретение, завоевание). Если продажа страховых услуг осуществляется через агентскую сеть или независимых брокеров, то основную часть аквизиционных расходов составляет оплата услуг данных посредников в форме комиссионного вознаграждения. Его размер фиксируется как определенный процент от полученной премии и зависит от вида страхования (страхового продукта) и канала продаж. Комиссионное вознаграждение также учитывается в нагрузке и обычно составляет ее основную часть. Наиболее "дорогими" с точки зрения аквизиционных расходов считаются продажи через страховых агентов и брокеров, которые не получают заработной платы и работают только за комиссионное вознаграждение. Здесь оно может доходить до 25-30% от взносов. Более "дешевым" каналом являются продажи через штатных сотрудников компании, получающих относительно небольшую комиссию как дополнение к своей фиксированной заработной плате.
В отечественной страховой практике административно-хозяйственные расходы и комиссионное вознаграждение объединяются понятием расходы на ведение дел.
Если страховое общество является коммерческой организацией (например, акционерной страховой компанией), то целью его работы является получение прибыли. Она может образоваться из-за превышения премий над выплатами (техническая прибыль) или вследствие удачной инвестиционной деятельности компании (финансовая прибыль) либо формироваться за счет плановых отчислений. Для этого в структуре в нагрузки иногда предусматривается определенный процент плановой прибыли (ПП).
Таким образом, нагрузка служит для покрытия расходов на ведение дел и для формирования плановой прибыли. В свою очередь, расходы на ведение дел складываются из административно-хозяйственных расходов и комиссионного вознаграждения.
Нетто-премия - часть страховой премии, предназначенной непосредственно для покрытия ущерба. Нетто-премия является главной составной частью брутто-премии..
Нетто-премия состоит из чистой нетто-премии по риску и рисковой (страховой) надбавки.
Чистая нетто-премия
Определение нетто-премии по риску традиционно относится к области актуарных расчётов и страховой математики. Чистая нетто-премия рассчитывается на основании данных об ущербах за прошлый период и представляет собой произведение частоты наступления страхового случая на средний размер ущерба по всей совокупности наступивших в прошлом страховых случаев.
Чистая премия по риску = Частота ущерба х Средний размер ущерба
Частота ущерба определяется как частное от деления числа случаев ущерба в наблюдаемом множестве на число входящих в это множество единиц наблюдения.
Средний размер ущерба представляет собой частное от деления общей суммы ущерба за наблюдаемый период на число случаев ущерба за этот же период.
Рисковая (страховая) надбавка
Рисковая надбавка предназначена для повышения надежности страховой защиты.
При выявлении закономерности появления ущерба в результате случайных событий в прошлом и определении на основе этого прошлого опыта убыточности в будущем неизбежны ошибки двух видов:
- Ошибка диагноза, которая появляется вследствие неполной информации. Это связано с тем, что статистическая выборка ограниченна и не отвечает требованиям закона больших чисел.
- Ошибка прогноза, которая состоит в том, что в будущем не будет полного совпадения с обстоятельствами предшествующего периода, на основании которого определялась чистая премия по риску. Это может быть следствием влияния неучтённых или изменившихся факторов. Доказано, что даже при очень хорошей информации об ущербах будущий ущерб превышает его величину в половине случаев.
Для того, чтобы гарантировать надёжную страховую защиту, т.е. повысить вероятность того, что собранных денег хватит на выплату ущерба в будущем по всем случаям, к чистой нетто-премии добавляют рисковую (страховую) надбавку.
Величина рисковой надбавки не может быть меньше величины стандартного отклонения показателя убыточности страховой суммы.
Использование нетто-ставки страхового тарифа для определения нетто-премии
Ожидаемую величину нетто-премии можно определить как произведение страховой суммы на нетто-ставку. Нетто-ставка представляет собой процент, который отражает вероятность убытка, рассчитанную на основе соотношения ущерба к совокупной страховой сумме застрахованных объектов.
Размер нетто-премии определяется по формуле:
Нетто-премия = Страховая сумма х Нетто-ставка/100
