Имеющие сбережения заинтересованы в их сохранности и получении дополнительного дохода. Поэтому, выбрав надежный банк, вкладчики изучают условия и подсчитывают возможную прибыль. В большинстве случаев на вклады банки предлагают начисление сложных процентов.
Что это такое, чем выгодна такая схема, и какова формула сложных процентов по вкладам? Об этом расскажем ниже.
Что такое сложный процент?
Этим термином называют эффект, при котором к основной сумме вклада прибавляются проценты прибыли. Например, на вклад в сумме 100 000 рублей банк ежемесячно начисляет проценты.
Допустим, что процентная ставка составляет 10% годовых, и за первый месяц начислено 833 рубля. В следующем месяце на вкладе образуется сумма в размере 10 833 рубля, и на нее банк будет начислять проценты.
Таким образом, за второй месяц вкладчик получит доход уже 840 рублей, и так далее. Поэтому, размещая в банке депозит с капитализацией, можно получить больше прибыли, чем по вкладу с возможным снятием процентов.
Несколько статей по теме:
Приведем простой пример расчета сложных процентов для вклада сроком на три месяца.
Предположим, что на счет была внесена сумма 100 000 рублей под 12% годовых. Если забыть о сложном проценте, то предполагаемая прибыль определяется в 2958 рублей.
Но мы помним о капитализации и проводим расчеты, учитывая ежемесячное начисление процентов. Для наглядности представим расчет в таблице:
| Месяцы | Сумма | Тариф | Дни | Проценты | Сумма с процентами |
| январь | 100 000 | 12 | 31 | 1019 | 101 019 |
| февраль | 101 019 | 12 | 28 | 930 | 101 949 |
| март | 101 949 | 12 | 31 | 1039 | 102 988 |
Таким образом, вкладчик получит 2988 рублей. Это на 40 рублей больше, чем по схеме простого процента.
Тем, кто знаком с таблицами excel не составит труда сделать подобные расчеты для своих банковских вкладов.
Можно воспользоваться и математической формулой расчета:
S – общая сумма вклада с процентами (то, что получит вкладчик по окончании срока договора);
- Р – базовая сумма, первоначальный размер депозита;
- n –количество периодов начисления процентов (месяцев, лет, кварталов, дней);
- I – годовая процентная ставка.
Например, заключая договор с банком на 12 месяцев под ставку 12% годовых, владелец вклада с капитализацией получит:
S = 100 000 * (1+12/100/12)12 = 112829 руб.
Самые выгодные условия по вкладу
Из предыдущего раздела понятно, что схема с применением сложного процента дает больше прибыли, чем простые варианты. Но вкладчикам стоит знать о том, как банки могут манипулировать цифрами.
Самая распространенная уловка – предложение открыть вклад с начислением дохода в конце срока и увеличением ставки при пролонгации. На первый взгляд, подвоха нет: банк начислит положенный доход, увеличит тариф на следующий сезон.
Но на цифрах это выглядит менее привлекательно: расчеты производятся по формуле простого процента. На депозит в размере 100 000 рублей по ставке 12% годовых банк начислит доход 12 000 рублей. Условия договора могут содержать и «подводные камни».
Например, при продлении вклада еще на год, тариф составит 12,5%. А при расторжении договора банк оставляет за собой право начислить доход по ставке 10% годовых.
Еще один распространенный в банках вариант «экономии»– по вкладу с капитализацией начислять доход ежеквартально. Заключая подобный договор, вкладчик может не понимать, в чем его потери. А расчет банка прост: проценты по депозиту начисляются в конце каждого квартала. Соответственно, и капитализация происходит четыре раза в год, а не двенадцать, как при ежемесячном начислении.
Вот пример такого подхода:
Таблица 1. Ежемесячное начисление
| Месяцы | Сумма | Тариф | Дни | Проценты | Сумма с процентами |
| январь | 100 000 | 12 | 31 | 1019 | 101 019 |
| февраль | 101 019 | 12 | 28 | 930 | 101 949 |
| март | 101 949 | 12 | 31 | 1039 | 102 988 |
| апрель | 102 988 | 12 | 30 | 1016 | 104 004 |
| май | 104 004 | 12 | 31 | 1060 | 105 064 |
| июнь | 105 064 | 12 | 30 | 1036 | 106 100 |
| июль | 106 100 | 12 | 31 | 1081 | 107 182 |
| август | 107 182 | 12 | 31 | 1092 | 108 274 |
| сентябрь | 108 274 | 12 | 30 | 1068 | 109 342 |
| октябрь | 109 342 | 12 | 31 | 1114 | 110 456 |
| ноябрь | 110 456 | 12 | 30 | 1089 | 111 546 |
| декабрь | 111 546 | 12 | 31 | 1137 | 112 682 |
Таблица 2. Ежеквартальное начисление
| Периоды | Сумма | Тариф | Дни | Проценты | Сумма с процентами |
| 1 | 100 000 | 12 | 90 | 2959 | 102 959 |
| 2 | 102 959 | 12 | 91 | 3080 | 106 039 |
| 3 | 106 039 | 12 | 92 | 3207 | 109 247 |
| 4 | 109 247 | 12 | 92 | 3304 | 112 551 |
Как видно, разница составляет 132 рубля в пользу банка.
Вкладчикам, которые хотят открыть короткий депозит, например, на несколько дней новогодних каникул, нужно знать о том, что день выдачи средств не считается в общем сроке их использования.
Простыми словами: открывая депозит 30 декабря и забирая деньги 12 января, клиент получит доход за 13 дней, а не за 14: банк не начислит проценты за 12 января.
Как правило, самые выгодные для клиента варианты – это депозиты с капитализацией, ежемесячным начислением и с пополнением. Но банки ставят по таким вкладам не самые высокие тарифы, манипулируя цифрами и ориентируя вкладчиков на длительное размещение средств.
Могут быть и другие нюансы, о которых стоит знать заранее. Поэтому, выбирая банк, нужно ориентироваться не только на величину процентов по вкладам, но и на способ начисления, условия выплаты и дополнительные возможности для вкладчика.
Банковский служащий, которого ежедневно преследуют вопросы вида: «Как открыть счет?», «Как перевести деньги?», «Когда нужно погасить долг» и т.д. Работа нервная, но мне нравится.
К банковским депозитам и кредитам все давно привыкли, но далеко не каждый задумывается о том, как применяется декларируемая банком процентная ставка в том или ином случае. Расчет процентов может вестись разными способами, существуют простые и сложные формулы; и стоит уделить этому внимание для понимания выгодности банковского предложения по займам или депозитам.
Простые и сложные проценты
О том, насколько выгоден тот или иной банковский вклад, судят не только по процентной ставке, но и по способу начисления процентов. В банковской практике используются простые и сложные проценты.
С простыми процентами все более или менее понятно: проценты начисляются один раз в конце срока вклада.
В банковских договорах процентная ставка указывается за год. Для других периодов (например, месяца) нужно перевести срок вклада в дни использовать для расчета простых процентов следующую формулу:
Fv = Sv * (1 + R * (Td / Ty)), где
Fv - итоговая сумма;
Sv - начальная сумма;
Td - срок вклада в днях;
Ty - количество дней в году.
Сложные проценты - это такой вариант, при котором происходит капитализация процентов, т.е. их причисление к сумме вклада и последующий расчет дохода не от первоначальной, а от накопленной суммы вклада. Использование сложных процентов аналогично ситуации, при которой вкладчик по окончании определенного периода снимает со счета все средства (вклад плюс накопленные проценты), а затем делает новый вклад на всю полученную сумму.
Чуть подробнее о периодах. Дело в том, что капитализация происходит не постоянно, а с некоторой периодичностью. Как правило, такие периоды равны и чаще всего банки используют месяц, квартал или год.
В итоге, для расчета сложных процентов используется следующая формула:
Fv = Sv * (1 + (R / Ny))Nd, где
Fv - итоговая сумма;
Sv - начальная сумма;
R - годовая процентная ставка;
Ny - количество периодов капитализации в году;
Nd - количество периодов капитализации за весь период вклада.
Для наглядности рассмотрим вклад в 10 000 рублей под 12 процентов годовых сроком на 1 год, но будет происходить ежемесячная капитализация процентов.
Общая сумма: 10 000 * (1 + 0,12 / 12)12 = 11 268,25 руб.
Итоговый доход: 11 268,25 — 10 000 = 1 268,25 руб.
При вкладе с простыми процентами эта сумма (то есть прибыль вкладчика) составляет лишь 1 120 руб.
Необходимо отметить, что в договоре банковского вклада формулировки «простые проценты» или «сложные проценты» не используются. В этом документе отмечается, когда происходит начисление процентов. Для банковского вклада с простыми процентами используется формулировка «проценты начисляются в конце срока». Если же используется капитализация процентов, указывается, что начисление процентов происходит ежедневно, ежемесячно, ежеквартально или ежегодно.
Какие вклады выгоднее?
Из самой сущности сложных процентов следует, что чем чаще происходит их начисление (при равной процентной ставке), тем более выгодным будет вклад. Воспользуемся приведенной ранее формулой расчета сложных процентов чтобы убедиться в этом. Исходные данные – те же: сумма 10 000 руб., ставка – 12 процентов годовых.
При ежегодном начислении: 10 000 * (1 + 0,12)1 = 11 200 руб.
В данном случае сумма совпадет с суммой, полученной при расчете простых процентов, что вполне закономерно.
При ежеквартальном начислении: 10 000 * (1 + 0,12 / 4)4 = 11 255,09 руб.
При ежемесячном начислении: 10 000 * (1 + 0,12 / 12)12 = 11 268,25 руб.
При ежедневном начислении: 10 000 * (1 + 0,12 / 365)365 = 11 274,75 руб.
Итак, при равной процентной ставке вклад с капитализацией процентов, несомненно, более выгоден.
Но нередко складываются ситуации, когда нужно решить, что предпочесть: вклады с простыми процентами и более высокой процентной ставкой и вклады с капитализацией и меньшей процентной ставкой. Здесь тот факт, что процент тоже приносят прибыль, оказывается более выгодным лишь до определенного предела. Поэтому торопиться не стоит. Нужно внимательно изучить условия каждого из предлагаемых вкладов и произвести соответствующие вычисления.
Допустим, клиент выбирает между двумя вариантами вложения денег на срок 1 год: вклад с простыми процентами и ставкой в 12 процентов годовых и вклад со сложными процентами (ежеквартальное начисление) и ставкой в 10 процентов годовых. Прибыль в первом случае уже рассчитана и составляет 1120 руб. Прибыль для второго случая:
10 000 * (1 + 0,1 / 4)4 – 10 000 = 1 038 руб.
Таким образом, в этом случае вклад с простыми процентами и более высокой процентной ставкой оказывается предпочтительней.
Источник: http://www.depcalc.ru/
Сложный процент. Формула сложного процента для вклада. Расчет сложных процентов
Формула сложного процента здесь
Сложным процентом принято называть эффект, когда проценты прибыли прибавляются к основной сумме и в дальнейшем сами участвуют в создании новой прибыли.
Формула сложного процента — это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом капитализации (начислении процентов).
Простой расчет сложных процентов
Чтобы лучше усвоить расчет сложных процентов, давайте разберём пример.
Представим, что вы положили 10 000 руб в банк под 10 процентов годовых.
Через год на вашем банковском счету будет лежать сумма SUM = 10000 + 10000*10% = 11 000 руб.
Ваша прибыль — 1000 рублей.
Вы решили оставить 11 000 руб на второй год в банке под те же 10 процентов.
Через 2 года в банке накопится 11000 + 11000*10% = 12 100 руб.
Прибыль за первый год (1000 рублей) прибавилась к основной сумме (10000р) и на второй год уже сама генерировала новую прибыль. Тогда на 3-й год прибыль за 2-й год прибавится к основной сумме и будет сама генерировать новую прибыль. И так далее.
Этот эффект и получил название сложный процент.
Когда вся прибыль прибавляется к основной сумме и в дальнейшем уже сама производит новую прибыль.
Формула сложного процента:
SUM = X * (1 + %)n
где
SUM — конечная сумма;
X — начальная сумма;
% — процентная ставка, процентов годовых /100;
n — количество периодов, лет (месяцев, кварталов).
Расчет сложных процентов: Пример 1.
Вы положили 50 000 руб в банк под 10% годовых на 5 лет. Какая сумма будет у вас через 5 лет? Рассчитаем по формуле сложного процента:
SUM = 50000 * (1 + 10/100)5 = 80 525, 5 руб.
Сложный процент может использоваться, когда вы открываете срочный вклад в банке. По условиям банковского договора процент может начисляться например ежеквартально, либо ежемесячно.
Расчет сложных процентов: Пример 2.
Рассчитаем, какая будет конечная сумма, если вы положили 10 000 руб на 12 месяцев под 10% годовых с ежемесячным начислением процентов.
SUM = 10000 * (1+10/100/12)12 = 11047,13 руб.
Прибыль составила:
ПРИБЫЛЬ = 11047,13 — 10000 = 1047,13 руб
Доходность составила (в процентах годовых):
% = 1047,13 / 10000 = 10,47 %
То есть при ежемесячном начислении процентов доходность оказывается больше, чем при начислении процентов один раз за весь период.
Если вы не снимаете прибыль, тогда начинает работать сложный процент.
Формула сложного процента для банковских вкладов
На самом деле формула сложного процента применительно к банковским вкладам несколько сложнее, чем описана выше. Процентная ставка для вклада (%) рассчитывается так:
где
p — процентная ставка (процентов годовых / 100) по вкладу,
например, если ставка 10,5%, то p = 10,5 / 100 = 0,105;
d — период (количество дней), по итогам которого происходит капитализация (начисляются проценты),
например, если капитализация ежемесячная, то d = 30 дней
если капитализация раз в 3 месяца, то d = 90 дней;
y — количество дней в календарном году (365 или 366).
То есть можно рассчитывать процентную ставку для различных периодов вклада.
Формула сложного процента для банковских вкладов выглядит так:
SUM = X * (1 + p*d/y)n
При расчете сложных процентов нужно принимать во внимание тот факт, что со временем наращивание денег превращается в лавину. В этом привлекательность сложных процентов. Представьте себе маленький снежный комок размером с кулак, который начал катиться со снежной горы. Пока комок катится, снег налипает на него со всех сторон и к подножию прилетит огромный снежный камень. Также и со сложным процентом. Поначалу прибавка, создаваемая сложным процентом, почти незаметна. Но через какое-то время она показывает себя во всей красе. Наглядно это можно увидеть на примере ниже.
Расчет сложных процентов: Пример 3.
Рассмотрим 2 варианта:
1. Простой процент. Вы инвестировали 50 000 руб на 15 лет под 20%. Дополнительных взносов нет. Всю прибыль вы снимаете.
2. Сложный процент. Вы инвестировали 50 000 руб на 15 лет под 20%. Дополнительных взносов нет. Каждый год проценты прибыли прибавляются к основной сумме.
Начальная сумма: 50 000 рублей
Процентная ставка: 20% годовых
| Простой процент | Сложный процент | |||
| Сумма | Прибыль за год |
Сумма | Прибыль за год |
|
| Через 1 год | 60 000р. | 10 000р. | 60 000р. | 10 000р. |
| Через 2 года | 70 000р. | 10 000р. | 72 000р. | 12 000р. |
| Через 3 года | 80 000р. | 10 000р. | 86 400р. | 14 400р. |
| Через 4 года | 90 000р. | 10 000р. | 103 680р. | 17 280р. |
| Через 5 лет | 100 000р. | 10 000р. | 124 416р. | 20 736р. |
| Через 6 лет | 110 000р. | 10 000р. | 149 299р. | 24 883р. |
| Через 7 лет | 120 000р. | 10 000р. | 179 159р. | 29 860р. |
| Через 8 лет | 130 000р. | 10 000р. | 214 991р. | 35 832р. |
| Через 9 лет | 140 000р. | 10 000р. | 257 989р. | 42 998р. |
| Через 10 лет | 150 000р. | 10 000р. | 309 587р. | 51 598р. |
| Через 11 лет | 160 000р. | 10 000р. | 371 504р. | 61 917р. |
| Через 12 лет | 170 000р. | 10 000р. | 445 805р. | 74 301р. |
| Через 13 лет | 180 000р. | 10 000р. | 534 966р. | 89 161р. |
| Через 14 лет | 190 000р. | 10 000р. | 641 959р. | 106 993р. |
| Через 15 лет | 200 000р. | 10 000р. | 770 351р. | 128 392р. |
| Суммарная прибыль: | 150 000р. | 720 351р. | ||
Комментарии, как говорится, излишни. Вложения с использованием сложного процента НА ПОРЯДОК выгоднее, чем с простым процентом. Чем больше проценты прибыли, чем дольше срок инвестирования, тем ярче проявляет себя сложный процент.
В случае простого процента график увеличения капитала получается линейный, поскольку вы снимаете прибыль и не даёте ей работать и приносить новую прибыль. В случае сложного процента график получается экспоненциальным, с течением времени кривая увеличения капитала становится всё круче, всё больше стремится вверх. Это происходит оттого, что из года в год прибыль накапливается и создаёт новую прибыль.
Как видите, на длительном промежутке времени очень важным становится то, под какой процент вы инвестируете деньги.
Через 15 лет при 10% годовых 50 тысяч рублей превратятся в 200 тысяч, при 15% — уже в 400 тысяч, а при 20% годовых — в 780 тысяч.
Таким образом, сложный процент является мощным орудием по увеличению капитала на длительных промежутках времени.
Из формулы расчёта сложного процента можно выразить процентную ставку и количество лет (месяцев).
Процентная ставка:
% = (SUM / X)1/n — 1
Расчет сложных процентов: Пример 4.
Какая процентная ставка должна быть, чтобы за 10 лет 50 000 рублей превратились в 100 000 рублей?
% = (100000 / 50000)1/10 — 1 = 0,0718 = 7,18 % годовых
Количество периодов (месяцев, лет):
n = log(1+%) (SUM / X)
Расчет сложных процентов: Пример 5.
Сколько потребуется лет, чтобы 50 000 руб. нарастились до 1 000 000 руб. при процентной ставке 40% ?
n = log(1+0,4) (1000000 / 50000) = 8,9 лет
Источник: http://damoney.ru/
Простые и сложные проценты. Чем отличаются?
Рассмотрим пример размещения 100 руб. на банковском депозите под 10% сроком на один год. Текущая стоимость PV составляет 100 руб.
Через год инвестор на вложенный вклад получит 10%, или 10 руб. Сумма денежных средств через год равна сумме вклада плюс накопленные проценты (100 + 10 = 110 руб.). Следовательно, будущая стоимость сегодняшних 100 руб. равна 110 руб.
Будущую стоимость (future value, FV) можно определить но формуле
где PV - текущая стоимость; г - рыночная процентная ставка. В нашем примере будущая стоимость
FV=PV(i + /) = 100 (1 + 0,1) = 110руб.
Если через год инвестор из банка не забирает ни проценты, пи сумму первоначального взноса, а размещает эти средства на депозите сроком еще на один год, то будущая стоимость размещенных средств составит
РУ= 110 (1 + 0,1) = 100 (1+ 0,1) (1 + 0,1) = 100 (1 + 0,1)2= 121 руб.
В общем виде будущую стоимость текущих денежных средств можно представить как
где г - годовая процентная ставка; (1 + г) - коэффициент наращения; п - число лет наращения.
В рассмотренном примере условиями размещения денежных средств предусмотрено, что инвестор вкладывает средства на несколько лет под определенный процент. При этом сумма накопленных процентов не изымается, а остается па счете инвестора, и на нес начисляются проценты.
Однако условия вклада могут быть и иные. Инвестор каждый год забирает накопленные проценты, а проценты за следующий год начисляются только на первоначальную сумму. В зависимости от способа начисления процентов на вложенный капитал различают простые и сложные проценты.
Простые проценты
По отдельным видам финансовых вложений доход начисляется по методу простых процентов. К таким формам инвестиций относятся депозитные сертификаты и облигации, по которым проценты начисляются на номинальную стоимость данных финансовых инструментов. Например, если инвестор приобрел облигацию номинальной стоимостью 1000 руб. со сроком погашения через 1,5 года под 10% годовых, то по окончании срока его доход составит 1000-0,1 х 1,5 = 150 руб.
Таким образом, если годовая ставка составляет 10%, то при методе простых процентов доход инвестора через год составит 10%: через 1,5 года - 15; через 2 года - 20; через 3 года - 30% и т.д.
При начислении простых процентов будущая стоимость определяется по формуле
Рассмотрим пример, когда на вложенные инвестиции доход начисляется по методу простых процентов. Вкладчик размещает 1 млн руб. на депозите сроком на пять лет под 10% годовых. После завершения срока сумма средств, которыми будет располагать инвестор, составит 1(1+ 0,1-5) = 1,5 млн руб., из которых
1 млн руб.- это сумма первоначального взноса и 500 000 руб. представляют накопленные проценты.
Сложные проценты
При проведении финансовых вычислений в большинстве случаев пользуются не простыми, а сложными процентами, начисляемыми не только на первоначальную сумму, но и на сумму процентов, накопившихся за истекший период. В этом случае процентный доход не изымается, а остается на счете и прибавляется к величине первоначального взноса.
В основе метода сложных процентов лежит та же методика начисления ежегодных простых процентов, которые начисляются на первоначальный вклад и накопленную сумму. Будущую стоимость по методу сложных процентов рассчитывают по формуле
Рассмотрим, как изменится сумма вклада в рассмотренном выше примере, если при начислении использовать метод сложных процентов. При размещении на банковском депозите суммы в размере 1 млн руб. сроком на пять лет под 10% годовых конечная сумма при исчислении методом сложных процентов составит
FV= 1 000 000 (1 + 0,1)5= 1 610 510 руб.
Полученная сумма на 110 510 руб. больше, чем сумма, полученная при начислении простых процентов.
Метод сложных процентов всегда интриговал людей. Джон Кейнс назвал этот процесс магией сложных процентов. Действительно, на длительных отрезках времени первоначальные суммы, вложенные под сложный процент, увеличиваются очень существенно. Это хорошо очевидно из табл. 4.1, в которой приведены данные по приросту инвестиций в размере 100 долл. при простом и сложном проценте на 200-летнем отрезке времени.
1. Английский астроном Френсис Бейли в 1810 г. подсчитал, что если в год рождения Христа положить 1 пенс под 5% годовых, то за эти годы он превратился бы в такое количество золота, которого хватило бы для заполнения 357 млн земных шаров.
2. Остров Манхэттен (США) был приобретен в 1626 г. Питером Минуитом у местных индейцев за сумму, равную примерно 25 долл. США. В настоящее время совокупная стоимость острова исчисляется миллиардами долларов. Однако если бы Питер вложил свои 25 долл. в банк под 7% годовых, то в настоящее время он бы получил 3,6 трлн долл. США, что существенно больше нынешней стоимости острова со всеми сооружениями на нем. Вот к чему приводит принятие однажды неправильного решения.
Таблица 4.1. Стоимость инвестиций в размере 100 долл. на конец года при 10% ставке
Таблица показывает, что в первый год разница в доходе между простым и сложным процентом равна нулю. Затем эта разница начинает незначительно возрастать. Она весьма велика для 50-летнего и громадна для 200-летнего периода.
Для удобства расчета будущей стоимости применяют специальные таблицы, показывающие будущую стоимость денежной единицы через п лет при соответствующей годовой процентной ставке (приложение 1). Фрагмент этой таблицы представлен ниже (табл. 4.2)
Таблица 4.2. Будущая стоимость денежной единицы
|
Годовая процентная ставка |
||||||||
Пользуясь табл. 4.2, определим, сколько денежных средств будет на счете инвестора, положившего 1000 руб. на банковский депозит под 10% сроком на 15 лет. Мы движемся по столбцу «годы» до строки 15 лет, а затем перемещаемся по этой строке вправо до столбца 10%. На пересечении строки и столбца показано, во что превратится 1 руб. через 15 лет, положенный на депозит под 10% годовых. Эта цифра равна 4,177. Следовательно, для нашего примера будущая стоимость вклада
РУ= 1000-4,177 = 4177 руб.
При простом проценте увеличение стоимости идет равномерно. Первоначальная сумма инвестиций каждый год увеличивается на одинаковую величину, что иллюстрирует прямая линия. При сложном проценте наблюдается ускоренный рост накоплений. Кривая роста тем круче, чем выше ставка процента и длиннее срок инвестирования.
Правило 72 (удвоение сбережений)
Инвестор приобрел пакет акций компании «Уралкалий» за 10 млн руб., а через четыре года продал его за 20 млн руб., увеличив свой капитал в два раза. Интересно узнать, какую среднегодовую доходность он получил от своих инвестиций, рассчитанную по методу сложных процентов?
«Правило 72» позволяет нам быстро без помощи калькулятора определить доходность этих инвестиций. «Правило 72» гласит: если число 72 разделить на число лет, за которое было достигнуто удвоение инвестиций, то получим процентную ставку, показывающую среднегодовую доходность наших инвестиций. В рассматриваемом примере
Доходность = 72/Число лет = 72/4 = 18%.
Если известна процентная ставка, под которую можно разместить денежные средства на финансовом рынке, то, пользуясь «правилом 72», легко определить, сколько лет должно пройти, чтобы инвестиции удвоились. Например, банк предлагает депозит под 7% годовых. Чтобы рассчитать период удвоения, необходимо 72 поделить на процентную ставку, что в нашем примере составит
Число лет = 72/7 = 10,3 года.
Следует отметить, что «правило 72» дает приближенное значение числа лет и процентов, необходимых для удвоения инвестиций. Например, для удвоения вложений за четыре года необходима годовая доходность в размере 19%, а не 18%, как получилось при использовании «правила 72». Для того чтобы вложения, размещенные под 7% годовых, удвоились, необходимо 10,2 года, а по «правилу 72» получилось 10,3 года. Как видите, разница несущественна, и этот подход вполне может применяться для приблизительной оценки инвестиционных решений.
Источник: https://studme.org/
Процентная ставка
Финансовая математика - предмет изучения
Предметом изучения курса финансовой математики является выбор условий финансовой сделки между субъектами финансового рынка и расчет параметров этой сделки.
Курс финансовой математики состоит из двух разделов: разовые платежи и потоки платежей. Разовые платежи - это финансовые сделки, при которых каждая сторона, при реализации условий контракта выплачивает сумму денег только один раз (либо дает в долг, либо отдает долг). Потоки платежей - это финансовые сделки, при которых каждая сторона при реализации условий контракта производит не менее одного платежа.
В финансовой сделке участвуют две стороны - кредитор и заемщик. Каждой стороной может быть как банк, так и клиент. Основная финансовая сделка - предоставление некоторой суммы денег в долг. Деньги не равносильны относительно времени. Современные деньги, как правило, ценнее будущих. Ценность денег во времени отражается в величине начисляемых процентных денег и схеме их начисления и выплаты.
Математическим аппаратом для решения таких задач является понятие «процентов» и арифметической и геометрической прогрессии.
Проценты - основные понятия
Процент - одна сотая от заранее оговоренной базы (то есть база соответствует 100%).
Примеры:
— 2 составляет 4% от 50; (база 50)
— 80 меньше 100 на 20%; (база 80)
— 100 больше 80 на 25% (база 80)
— Новая цена товара в 6 раз больше первоначально. На сколько % увеличилась цена товара? Ответ: на 500%.
— Цена товара возрасла на 1000%. Во сколько раз увеличилась цена товара? Ответ: в 11 раз.
В течение торговой сессии курс акций компании повысился на, а курс акций компании снизился на 5%, в результате чего эти два курса сравнялись. на сколько процентов курс акций компании был выше курса акций компании до начала сессии?
Ответ: больше на
| первоначальная сумма долга | |
| (дни) | фиксированный промежуток времени, к которому приурочена процентная (учетная) ставка (как правило, один год - 365, иногда 360 дней) |
| процентная (учетная) ставка за период | |
| срок долга в днях | |
| срок долга в долях от периода | |
| сумма долга в конце срока |
Процентная ставка. Дисконтирование
Процентная ставка - относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени. Отношение дохода (процентных денег - абсолютная величина дохода от представления денег в долг) к сумме долга.
Период начисления - это временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, его не следует путать со сроком начиления. Обычно в качестве такого периода принимаю год, полугодие, квартал, месяц, но чаще всего дело имеют с годовыми ставками.
Капитализация процентов - присоединение процентов к основной сумме долга.
Наращение - процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов.
Дисконтирование - обратно наращению, при котором сумма денег, относящаяся к будущему уменьшается на величину соответствующую дисконту (скидке).
Величина называется множителем наращения, а величина - множителем дисконтирования при соответствующих схемах.
Интерпретация процентной ставки
При схеме «простых процентов » исходной базой для начисления процентов в течение всего срока долга на каждом периоде применения процентной ставки является первоначальная сумма долга .
При схеме «сложных процентов » (для целых ) исходной базой для начисления процентов в течение всего срока на каждом периоде применения процентной ставки является наращенная за предыдущий период сумма долга.
Присоединение начисленных процентных денег к сумме, которая служит базой для их вычисления, называется капитализацией процентов (или реинвестированием вклада). При применении схемы «сложных процентов» капитализация процентов происходит на каждом периоде .
Интерпретация учетной ставки
При схеме «простых процентов» (простой дисконт ) - исходной базой для начисления процентов в течение всего срока долга на каждом периоде применения учетной ставки является сумма , подлежащая выплате в конце срока вклада.
При схеме «сложных процентов» (для целых ) (сложный дисконт ) - исходной базой для начисления процентов в течение всего срока на каждом периоде применения учетной ставки является сумма долга в конце каждого периода.
Простая и сложная процентные ставки. Где используются?
«Прямые» формулы
| Простые проценты | Сложные проценты | ||
| - процентная ставка |  |
 |
наращение |
| - процентная ставка |  |
 |
дисконтирование (банковский учет) |
«Обратные» формулы
| Простые проценты | Сложные проценты | ||
| - процентная ставка | дисконтирование (математический учет) | ||
| - процентная ставка | наращение |
Переменная процентная ставка и реинвестирование вкладов
Пусть срок долга имеет этапов, длина которых равна , ,
При схеме простых процентов
1 . В контракте предусмотрено начисление а) простого, б) сложного процента в таком порядке: в первом полугодии по годовой процентной ставке 0,09, потом в следующем году ставка уменьшилась на 0,01, а в следующих двух полугодиях увеличилась на 0,005 в каждом из них. Найти величину наращенного вклада в конце срока, если величина первоначального вклада равна $800.
Рыночная процентная ставка как важнейший макроэкономический показатель
Важным макроэкономическим показателем выступает процентная ставка. Процентная ставка - это плата за деньги, предоставляемые в кредит . Были времена, когда законом не допускалось вознаграждение за то, что неизрасходованные, заемные деньги давали в заем. В современном мире широко пользуются кредитами, за пользование которыми устанавливается процент. Поскольку процентные ставки измеряют издержки использования денежных средств предпринимателями и вознаграждение за неиспользование денег потребительским сектором, то уровень процентных ставок играет значительную роль в экономике страны в целом.
Очень часто в экономической литературе пользуются термином «процентная ставка», хотя существует множество процентных ставок. Дифференциация процентных ставок связана с риском, на который идет заимодатель. Риск возрастает с увеличением срока кредита, так как становится выше вероятность того, что деньги могут потребоваться кредитору раньше установленной даты возврата ссуды, соответственно повышается процентная ставка. Она увеличивается, когда за кредитом обращается малоизвестный предприниматель. Мелкая фирма уплачивает более высокую процентную ставку, чем крупная. Для потребителей процентные ставки также варьируются.
Однако как бы ни отличались ставки процента, все они находятся под воздействием рыночного механизма : если предложение денег уменьшается, то процентные ставки увеличиваются, и наоборот. Именно поэтому рассмотрение всех процентных ставок можно свести к изучению закономерностей одной процентной ставки и в дальнейшем оперировать термином «процентная ставка»
Различают номинальные и реальные процентные ставки
Реальная процентная ставка определяется с учетом уровня инфляции . Она равна номинальной процентной ставке, которая устанавливается под воздействием спроса и предложения, за вычетом уровня инфляции:
Если, например, банк предоставляет кредит и взимает при этом 15%, а уровень инфляции составляет 10%, то реальная процентная ставка равна 5% (15% - 10%).
Способы начисления процентов:
Простая процентная ставка
График роста по простым процентам
Пример
Определить проценты и сумму накопленного долга если ставка по простым процентам 20% годовых, ссуда равна 700 000 руб., срок 4 года.
- I = 700 000 * 4 * 0,2 = 560 000 руб.
- S = 700 000 + 560 000 = 1 260 000 руб.
Ситуация, когда срок ссуды меньше периода начисления
Временная база может быть равна:
- 360 дней. В в этом случае получают обыкновенные или коммерческие проценты .
- 365 или 366 дней. Используется для расчета точных процентов .
Число дней ссуды
- Точное число дней ссуды - определяется путем подсчета числа дней между датой ссуды и датой ее погашения. День выдачи и день погашения считаются за один день. Точное число дней между двумя датами можно определить по таблице порядковых номеров дней в году.
- Приближенное число дней ссуды - определяется из условия, согласно которому любой месяц принимается равным 30 дням.
На практике применяются три варианта расчета простых процентов:
- Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365)
- Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (банковский; 365/360). При числе дней ссуды, превышающем 360, данный способ приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой.
- Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360). Применяется в промежуточных рассчетах, так как не сильно точный.
Пример
Ссуда в размере 1 млн.рублей выдана 20 января до 5 октября включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? Рассчитать в трех вариантах подсчета простых процентов.
Для начала определим число дней ссуды: 20 января это 20 день в году, 5 октября - 278 день в году. 278 - 20 = 258. При приближенном подсчете - 255. 30 января - 20 января = 10. 8 месяц умножить на 30 дней = 240. итого: 240 + 10 + 5 = 255.
1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365)
- S = 1 000 000 * (1 + (258/365)*0.18) = 1 127 233 руб.
2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360/365)
- S = 1 000 000 * (1 + (258/360)*0.18 = 1 129 000 руб.
3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360)
- S = 1 000 000 (1 + (255/360)*0.18 = 1 127 500 руб.
Переменные ставки
В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется следующим образом:
Источник: http://www.grandars.ru/
Простые и сложные ставки ссудных процентов
Простые ставки ссудных (декурсивных) процентов применяются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления совпадает с периодом начисления (и составляет, как правило, срок менее одного года), или когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются проценты. Естественно, простые ставки ссудных процентов могут применяться и в любых других случаях по догоиоренности участвующих в операции сторон.
Введем следующие обозначения:
\ (%) - простая годовая ставка ссудного процента;
/-относительная величина годовой ставки процентов;,
Iсумма процентных денег, выплачиваемых за год;
1 - общая сумма процентных денег за весь период начисления;
р - величина первоначальной денежной суммы;
5наращенная сумма;
Ки - коэффициент наращения;
п - продолжительность периода начисления в годах;
д - продолжительность периода начисления в днях;
К - продолжительность года в днях.
Величина К является временной базой для расчета процентов.
В зависимости от способа определения продолжительности финансовой операции рассчитывается либо точный, либо обыкновенный (коммерческий) процент.
Дата выдачи и дата погашения ссуды всегда считаются за один день. При этом возможны два варианта:
1) используется точное число дней ссуды, определяемое
по специальной таблице, где показаны порядковые но-
мера каждого дня года; из номера, соответствующего
дню окончания займа, вычитают номер первого дня;
2) беретЬя приблизительное число дней ссуды, когда про-
должительность полного месяца принимается равной
30 дням; этот метод используется, когда не требуется
большая точность, например, при частичном погаше-
нии займа.
Точный процент получают в случае, когда за временную
базу берут фактическое число дней в году (365 или 366) н точ-
ное число дней ссуды.
Определение современной величины Р наращенной сум-
мы 51 называется дисконтированием, а определение величи-
ны наращенной суммы 5 - компаудироваиием
5 = Р(1 +/ «) - компаудировамие по простой ссудной
^ ставке;
Р - дисконтирование по простой ссудной
(1 + / * п) ставке.
Если продолжительность ссуды менее одного года,можно
использовать следующие формулы:
8, „.V
S = P^^І¦-);-P= 5
К ([ + /.-)
к,.
Преобразуя формулы (т.е. заменяя входящие в них вы-
ражения на эквивалентные и выражая одни величины через
другие), получаем еще несколько формул для определения
неизвестных величин в различных случаях:
8-Р. Б-Р. Я-Р „
и =.;5=к ¦! = -:(= К.
Р-1 Р-1 Рп Р-8
Иногда на разных интервалах начисления применяются
разные процентные ставки. Если на последовательных интер-
валах начисления!г ^ используются ставки процентов ^
КОРПОРАТИВНЫЕ ФИНАНСЫ
/, i2,…/N, то доход кредитора в конце интервала составит:
/1 = Р-п1 /,
в конце второго интервала: /2, и т.д.
При тУ интервалах начисленная наращенная сумма соста-
Если после очередного интервала начисления доход (т.е. начисленные за данный интервал проценты) не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты в настоящее время являются весьма распространен-ным видом применяемых в различных финансовых операциях процентных ставок.
Если срок ссуды п в годах не является целым числом, множитель наращения определяют по выражению:
Кн - (l + /)"» (І + / ¦ nh), тогда S = Р ¦ (l + /)’“ ¦(] + /¦ nh),
где n=-na + nb;
па - целое число лет;
ni - оставшаяся дробная часть года.
Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов у - годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемой на каждом интервале начисления.
При т равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке j эта величина считается равной j/m.
Если срок ссуды составляет п лет, то получаем выражение для определения наращенной суммы:
вит
S
Здесь пт - об шее число интервалов начисления за весь срок ссуды.
Если общее число интервалов начисления не является целым числом (пт - целое число интервалов начисления, /-часть интервала начисления), то выражение принимает вид:
Для целого числа периодов начисления используется формула сложных процентов, а для оставшейся части - формула простых процентов.
В Казахстане в настоящее время наиболее распространенным является начисление процентов по полугодиям, поквартальное и ежемесячное (иногда интервалом начисления может являться и день). Такие проценты, начисляемые с определенной периодичностью, называются дискретными.
Пример I.
Ссуда в размере 5 млн тенге выдана на полгода по простой ставке ссудных процентов 20% годовых. Определить наращенную сумму.
Решение;
8~5 (1 + 0,5 ¦ 0,2) = 5,5 (млнтенге).
Пример 2.
Кредит в размере 10 млн тенге выдан 2 марта до 11 декабря под 18% годовых, год високосный. Определить размер наращенной суммы для различных вариантов (обыкновенного и точного) расчета процентов.
Решение:
1) В случае точных процентов берем 5 = 284:
10 (11 284/366 0,18) = 11,4 (млнтенге);
2) для обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды:
.9= 10(1 + 284/360 ¦ 0,18) = 11,42 (млн тенге);
КОРПОРАТИВНЫЕ ФИНАНСЫ
3) для обыкновенных процентов с приближенным числом
дней ссуды (8 = 280):
5″ = 10 (] +280/360 0,18) = 11,94 (млн тенге).
Пример 3.
Кредит в размере 20 млн тенге выдается на 3,5 года. Став-
ка процентов за первый год - 15%, а за каждое последующее
полугодие она увеличивается на 1 %. Определить множитель
наращения и наращенную сумму.
Решение:
Кн - 1 + 0,15 + 0,5 (0,16 + 0,17 + 0,18 + 0,19 + 0,2) = 1,6.
5 = 20 ¦ 1,6 - 32 млн тенге.
Пример 4.
Определить период начисления, за который первона-
чальный капитал в размере 20 млн тенге вырастет до 65 млн
тенге, если используется простая ставка процентов 20% го-
довых.
Решение:
У1 ~ (65 - 20)/(20 ¦ 0,2) = 11,25 года.
Пример 5.
Определить простую ставку процентов, при которой пер-
воначальный капитал в размере 24 млн тенге достигнет 26
млн тенге через 100 дней. К= 365.
Решение:.5
(= (26 - 24)"(24 * 100) ¦ 365 = 0,31, или 31%..
Пример 6,
Кредит выдается под простую ставку 18% годовых на
250 дней. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком и сумму
| процентных денег, если величина кредита составляет 40 млн
тенге. Год не високосный. ¦
Решение:
I Р ~ 40 / (1 + 250/365 0,18) = 35,62 (млн тенге).
о| 1 = 40 - 35,62 = 4,38 (млн тенге).
Пример 7.
Первоначальная вложенная сумма равна 200 тыс. тенге.
Определить наращенную сумму через пять лет при исполь-
зовании простой и сложной ставок ссудных процентов в раз-
мере 12% годовых. Решить этот пример также для случаев,
когда проценты начисляются по полугодиям, поквартально.
Решение:
По формуле для простых процентных ставок имеем:
5 = 200 (I + 5-0,12) = 320 (тыс. тенге).
По формуле для сложных процентов: ¦
5 = 200 (1 4 0,12)5 = 200-1,76 = 352,5 (тыс. тенге). 1
По формуле для начисления по полугодиям:
5200 (1 +0,06)’° = 200 1,79 = 358 (тыс. тенге).
Из той же формулы для поквартального начисления:
5 = 200 (1 + 0,03)’°-200* 1,806 = 361,2 (тыс. тенге).
Пример 8.
Первоначальная сумма долга равна 300 тыс. тенге. Опре-
делить наращенную сумму через 2,5 года начисления слож-
ных процентов по ставке 20,0% годовых.
Решение:
? = 300 (I Ь 0,2)2′ (1 + 0,5 0,2) - 475,2 (тыс. тенге)
Пример 9.
Определим современную (текущую, настоящую, приве-
денную) величину суммы 500 тыс. тенге, выплачиваемой че-
рез три года, при использовании ставки сложных процентов
20% годовых.
Решение:
Р - = 289.35(тыс. тенге).
(1 (0.2)’
Дарья Никитина
Время на чтение: 11 минут
А А
Сложным процентом
принято называть эффект, когда проценты прибыли прибавляются к основной сумме и в дальнейшем сами участвуют в создании новой прибыли.
Формула сложного процента
— это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом капитализации (начислении процентов).
В этой статье:
Простой расчет сложных процентов
Чтобы лучше усвоить расчет сложных процентов, давайте разберём пример.
Представим, что вы положили 10 000 руб в банк под 10 процентов годовых.
Через год на вашем банковском счету будет лежать сумма SUM = 10000 + 10000*10% = 11 000 руб.
Ваша прибыль — 1000 рублей.
Вы решили оставить 11 000 руб на второй год в банке под те же 10 процентов.
Через 2 года в банке накопится 11000 + 11000*10% = 12 100 руб.
Прибыль за первый год (1000 рублей) прибавилась к основной сумме (10000р) и на второй год уже сама генерировала новую прибыль. Тогда на 3-й год прибыль за 2-й год прибавится к основной сумме и будет сама генерировать новую прибыль. И так далее.
Этот эффект и получил название сложный процент.
Когда вся прибыль прибавляется к основной сумме и в дальнейшем уже сама производит новую прибыль.
Формула сложного процента:
SUM = X * (1 + %) n
где
SUM — конечная сумма;
X — начальная сумма;
% — процентная ставка, процентов годовых /100;
n — количество периодов, лет (месяцев, кварталов).
Расчет сложных процентов: Пример 1.
Вы положили 50 000 руб в банк под 10% годовых на 5 лет. Какая сумма будет у вас через 5 лет? Рассчитаем по формуле сложного процента:
SUM = 50000 * (1 + 10/100) 5 = 80 525, 5 руб.
Сложный процент может использоваться, когда вы открываете срочный вклад в банке. По условиям банковского договора процент может начисляться например ежеквартально, либо ежемесячно.
Расчет сложных процентов: Пример 2.
Рассчитаем, какая будет конечная сумма, если вы положили 10 000 руб на 12 месяцев под 10% годовых с ежемесячным начислением процентов.
SUM = 10000 * (1+10/100/12) 12 = 11047,13 руб.
Прибыль составила:
ПРИБЫЛЬ = 11047,13 — 10000 = 1047,13 руб
Доходность составила (в процентах годовых):
% = 1047,13 / 10000 = 10,47 %
То есть при ежемесячном начислении процентов доходность оказывается больше, чем при начислении процентов один раз за весь период.
Если вы не снимаете прибыль, тогда начинает работать сложный процент.
Формула сложного процента для банковских вкладов
На самом деле формула сложного процента применительно к банковским вкладам несколько сложнее, чем описана выше. Процентная ставка для вклада (%) рассчитывается так:
% = p * d / y
где
p
— процентная ставка (процентов годовых / 100) по вкладу,
например, если ставка 10,5%, то p = 10,5 / 100 = 0,105
;
d
— период (количество дней), по итогам которого происходит капитализация (начисляются проценты),
например, если капитализация ежемесячная, то d = 30
дней
если капитализация раз в 3 месяца, то d = 90
дней;
y
— количество дней в календарном году (365 или 366).
То есть можно рассчитывать процентную ставку для различных периодов вклада.
Формула сложного процента для банковских вкладов выглядит так:
SUM = X * (1 + p*d/y) n
При расчете сложных процентов нужно принимать во внимание тот факт, что со временем наращивание денег превращается в лавину. В этом привлекательность сложных процентов. Представьте себе маленький снежный комок размером с кулак, который начал катиться со снежной горы. Пока комок катится, снег налипает на него со всех сторон и к подножию прилетит огромный снежный камень. Также и со сложным процентом. Поначалу прибавка, создаваемая сложным процентом, почти незаметна. Но через какое-то время она показывает себя во всей красе. Наглядно это можно увидеть на примере ниже.
Расчет сложных процентов: Пример 3.
Рассмотрим 2 варианта:
1. Простой процент. Вы инвестировали 50 000 руб на 15 лет под 20%. Дополнительных взносов нет. Всю прибыль вы снимаете.
2. Сложный процент. Вы инвестировали 50 000 руб на 15 лет под 20%. Дополнительных взносов нет. Каждый год проценты прибыли прибавляются к основной сумме.
|
Начальная сумма: 50 000 рублей |
||||
|
Процентная ставка: 20% годовых |
||||
| Простой процент | Сложный процент | |||
| Сумма | Прибыль за год |
Сумма | Прибыль за год |
|
| Через 1 год | 60 000р. | 10 000р. | 60 000р. | 10 000р. |
| Через 2 года | 70 000р. | 10 000р. | 72 000р. | 12 000р. |
| Через 3 года | 80 000р. | 10 000р. | 86 400р. | 14 400р. |
| Через 4 года | 90 000р. | 10 000р. | 103 680р. | 17 280р. |
| Через 5 лет | 100 000р. | 10 000р. | 124 416р. | 20 736р. |
| Через 6 лет | 110 000р. | 10 000р. | 149 299р. | 24 883р. |
| Через 7 лет | 120 000р. | 10 000р. | 179 159р. | 29 860р. |
| Через 8 лет | 130 000р. | 10 000р. | 214 991р. | 35 832р. |
| Через 9 лет | 140 000р. | 10 000р. | 257 989р. | 42 998р. |
| Через 10 лет | 150 000р. | 10 000р. | 309 587р. | 51 598р. |
| Через 11 лет | 160 000р. | 10 000р. | 371 504р. | 61 917р. |
| Через 12 лет | 170 000р. | 10 000р. | 445 805р. | 74 301р. |
| Через 13 лет | 180 000р. | 10 000р. | 534 966р. | 89 161р. |
| Через 14 лет | 190 000р. | 10 000р. | 641 959р. | 106 993р. |
| Через 15 лет | 200 000р. | 10 000р. | 770 351р. | 128 392р. |
| Суммарная прибыль: | 150 000р. | 720 351р. |
О том, насколько выгоден тот или иной банковский вклад, судят не только по процентной ставке, но и по способу начисления процентов. В банковской практике используются простые и сложные проценты.
С простыми процентами все более или менее понятно: проценты начисляются один раз в конце срока вклада.
В банковских договорах процентная ставка указывается за год. Для других периодов (например, месяца) нужно перевести срок вклада в дни использовать для расчета простых процентов следующую формулу:
Fv = Sv * (1 + R * (Td / Ty)), где
- Fv — итоговая сумма;
- Sv — начальная сумма;
- Td — срок вклада в днях;
- Ty — количество дней в году.
Сложные проценты — это такой вариант, при котором происходит капитализация процентов , т.е. их причисление к сумме вклада и последующий расчет дохода не от первоначальной, а от накопленной суммы вклада. Использование сложных процентов аналогично ситуации, при которой вкладчик по окончании определенного периода снимает со счета все средства (вклад плюс накопленные проценты), а затем делает новый вклад на всю полученную сумму.
Чуть подробнее о периодах. Дело в том, что капитализация происходит не постоянно, а с некоторой периодичностью. Как правило, такие периоды равны и чаще всего банки используют месяц, квартал или год.
В итоге, для расчета сложных процентов используется следующая формула:
Fv = Sv * (1 + (R / Ny))Nd, где
- Fv — итоговая сумма;
- Sv — начальная сумма;
- R — годовая процентная ставка;
- Ny — количество периодов капитализации в году;
- Nd — количество периодов капитализации за весь период вклада.
Для наглядности рассмотрим вклад в 10 000 рублей под 12 процентов годовых сроком на 1 год, но будет происходить ежемесячная капитализация процентов.
Общая сумма: 10 000 * (1 + 0,12 / 12)12 = 11 268,25 руб.
Итоговый доход: 11 268,25 - 10 000 = 1 268,25 руб.
При вкладе с простыми процентами эта сумма (то есть прибыль вкладчика) составляет лишь 1 120 руб.
Необходимо отметить, что в договоре банковского вклада формулировки «простые проценты» или «сложные проценты» не используются. В этом документе отмечается, когда происходит начисление процентов. Для банковского вклада с простыми процентами используется формулировка «проценты начисляются в конце срока». Если же используется капитализация процентов, указывается, что начисление процентов происходит ежедневно, ежемесячно, ежеквартально или ежегодно.
Какие вклады выгоднее?
Из самой сущности сложных процентов
следует, что чем чаще происходит их начисление (при равной процентной ставке), тем более выгодным будет вклад. Воспользуемся приведенной ранее формулой расчета сложных процентов чтобы убедиться в этом. Исходные данные - те же: сумма 10 000 руб., ставка - 12 процентов годовых.
При ежегодном начислении: 10 000 * (1 + 0,12)1 = 11 200 руб.
В данном случае сумма совпадет с суммой, полученной при расчете простых процентов, что вполне закономерно.
При ежеквартальном начислении: 10 000 * (1 + 0,12 / 4)4 = 11 255,09 руб.
При ежемесячном начислении: 10 000 * (1 + 0,12 / 12)12 = 11 268,25 руб.
При ежедневном начислении: 10 000 * (1 + 0,12 / 365)365 = 11 274,75 руб.
Итак, при равной процентной ставке вклад с капитализацией процентов, несомненно, более выгоден.
Но нередко складываются ситуации, когда нужно решить, что предпочесть: вклады с простыми процентами и более высокой процентной ставкой и вклады с капитализацией и меньшей процентной ставкой. Здесь тот факт, что процент тоже приносят прибыль, оказывается более выгодным лишь до определенного предела. Поэтому торопиться не стоит. Нужно внимательно изучить условия каждого из предлагаемых вкладов и произвести соответствующие вычисления.
Допустим, клиент выбирает между двумя вариантами вложения денег на срок 1 год: вклад с простыми процентами и ставкой в 12 процентов годовых и вклад со сложными процентами (ежеквартальное начисление) и ставкой в 10 процентов годовых. Прибыль в первом случае уже рассчитана и составляет 1120 руб. Прибыль для второго случая:
10 000 * (1 + 0,1 / 4)4 - 10 000 = 1 038 руб.
Таким образом, в этом случае вклад с простыми процентами и более высокой процентной ставкой оказывается предпочтительней.
Простые и сложные проценты: типы начисления процентов у банковских вкладов
2.5. Способы начисления процентов
Существуют два способа определения и начисления процентов.
Декурсивный способ начисления процентов: проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется, исходя из величины начального капитала.
Антисипативный способ начисления процентов (предварительный) : проценты начисляются в начале каждого интервала начисления . Сумма процентных денег определяется, исходя из наращенной суммы.
2.6. Основные схемы начисления процентов
А. В зависимости от базы начисления процентов , известны две основные схемы дискретного начисления процентов: схема простых и схема сложных процентов.
Схема простых процентов (simple interest ) предполагает постоянную базу для начисления процентов - одну и ту же первоначальную денежную сумму в течение всего периода начисления.
Инвестированный капитал ежегодно увеличивается на одну и ту же величину.
Схема сложных процентов (compound interest ) предполагает переменную базу для начисления процентов. Очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала (как для простых процентов), а с общей суммы, включающей также и ранее начисленные за предыдущие интервалы и не востребованные инвестором проценты.
В этом случае происходит капитализация процентов, т.е. присоединение начисленных процентов к их базе. Следовательно, база, с которой начисляются проценты, все время возрастает. Сложные проценты иначе называют "проценты на проценты ".
Б. Процентные ставки в зависимости от постоянства значения в течение действия контрактамогут быть фиксированными и плавающими .
В. В зависимости от постоянства интервала времени начисления процентов (год, полугодие, квартал и т.п.) проценты могут быть дискретными и непрерывными ( за бесконечно малые промежутки времени).
3. НАЧИСЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ГОДОВЫХ ПРОЦЕНТОВ
Обозначения :
Величина первоначальной денежной суммы - долга, инвестиции,
Наращенная сумма в конце срока,
% - простая годовая ставка ссудного процента (ставка наращения),
Проценты за весь срок ссуды (ден. ед.),
Продолжительность периода начисления в годах (срок ссуды),
Число месяцев ссуды,
Число дней ссуды,
Сумма процентных денег, выплачиваемых за год,
Временнáя база для расчета процентов.
Схема простых процентов :
1) начисление процентов в конце интервала начисления (декурсивный способ начисления процентов);
2) простые процентные ставки применяются к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления, поэтому база для начисления процентов постоянная ;
3) простые ссудные проценты применяются в краткосрочных финансовых операциях (до года).
По схеме простых процентов за каждый год начисляется одинаковая сумма процентных денег .
В конце первого года наращенная сумма равна
в конце второго года –
в конце -ого года сумма составит
Таким образом, приращение капитала (проценты за весь срок ссуды лет) составляют
и, как видно, пропорционально сроку ссуды и ставке процента .
Наращенная сумма к концу срока составит
.
(2)
Капитализация процентов выражается формулой
Процентная ставка (в процентах) есть отношение суммы годовых процентных денег к первоначальной сумме:
. (4)
Заметим, что последовательность наращенных сумм, ... , образует арифметическую прогрессию с первым членом и разностью.
Множитель наращения простых процентов равен отношению наращенной суммы к первоначальной сумме:
(5)
Он показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы. Другими словами, величина характеризует будущую стоимость одной денежной единицы через лет при ставке процента.
1 2 . . . .
Рис. 1 - График функции наращенной суммы по простым процентам
Пример 4. Ссуда в размере рублей выдана на три года по простой ставке процентов годовых.
Найти сумму процентных денег, выплачиваемых за каждый год.
Записать последовательность сумм, начисленных к концу первого, второго, третьего года.
Найти наращенную сумму за три года.
Каковы проценты за весь срок ссуды?
Найти множитель наращения за три года.
Решение
По условию задачи, =1000, =0,2, =3.
1. За каждый год выплачивается сумма процентных денег
2. В конце первого года наращенная сумма будет равна
в конце второго года –
в конце третьего года - сумма
3. Величину наращенной суммы за три года вычислим по формуле (2):
4. Проценты за весь срок ссуды найдем по формуле (1):
5. Множитель наращения по простым процентам равен
Он показывает, во сколько раз увеличилась первоначальная сумма долга 1000 руб. к концу срока ссуды.
Наращение простыми процентами ежегодно по ставке годовых дает тот же результат, что и наращение простыми процентами по ставке за период длительностью (лет).
4. РАСЧЕТ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ ДЛЯ КРАТКОСРОЧНЫХ ССУД
Если банк начисляет в год , то за один месяц – , а за месяцев ссуды – . Наращенная сумма по простым процентам за месяцев составит
. (6)
Если банк начисляет в год , то за один день - (число дней в году или). Тогда за дней ссуды наращенная сумма составит
(7)
Определяя продолжительность финансовой операции в днях, принято день выдачи и день погашения суды считать за один день. Для определения в таблице порядковых номеров дней в году (Приложение, Таблица 1) из порядкового номера дня окончания займа вычитается номер первого дня.
Для нахождения начислений на вклад за лет, месяцев и дней можно вычислять проценты отдельно за лет, месяцев и дней, а затем просуммировать полученные результаты:
На практике используется три способа подсчета . При этом употребляются термины:
Точный процент - точное число дней в году (или 366) дней;
Обыкновенный процент – приближенное число дней в году дней;
Точное число дней для начисления процентов (количество дней минус 1, так как первый и последний день считаются за один день);
Приближенное число дней для начисления процентов (считается, что в каждом месяце по 30 дней, затем вычитается 1 день).
1 способ. Точный процент с точным числом дней ссуды (США, Великобритания). За временнýю базу берется точное число дней в году (или) и точное число дней ссуды .
2 способ. Обыкновенный процент с точным числом дней ссуды (Франция, Бельгия). Временнáя база равна приближенному числу дней в году дней, - точному числу дней ссуды .
3 способ. Обыкновенный процент с приближенным числом дней ссуды - коммерческий процент (Германия, Дания, Швеция). Временнáя база дней, равно приближенному числу дней ссуды (при допущении, что продолжительность любого месяца равна 30 дней.
|
Временная база |
Число дней ссуды |
|
|
Точное число дней |
Приближенное число дней |
|
|
(или 366) дней |
Точный процент |
|
|
Обыкновенный процент |
Коммерческий процент |
|
Пример 5.
Кредит в размере тыс. руб. выдан марта по июня под % годовых. Найти наращенную сумму при расчете процентов по способу:
точный процент с точным числом дней ссуды,
обыкновенный процент с точным числом дней ссуды;
обыкновенный процент с приближенным числом дней ссуды.
Решение
По условию, =500000 руб., = 0,6.
1) При английской практике (точный процент с точным числом дней):
точное количество дней для начисления процентов составит:
= (количество дней кредита в марте) + (в апреле) + (в мае) + + (в июне) - (день первый и день последний считаются за один день) = дней.
Количество дней можно найти и другим способом. В таблице «Порядковые номера дней года» (см. Приложение) дата 25 марта имеет номер 84, а 12 июня – номер 163, тогда.
Временная база для начисления процентов = 365 дней.
Наращенную сумму вычислим по формуле точного простого процента: руб.
2) При французской практике количество дней для начисления процентов составит дней, как и при английской практике. База для начисления процентов = дней. Значит, наращенная сумма при обыкновенном простом проценте равна руб.
3) При германской практике количество дней для начисления процентов составит: = (количество дней кредита в марте) + (в апреле и мае считается по 30 дней) + (в июне) - (день первый и последний считаются за один день) = дней. База для начисления процентов = = дней. Значит, наращенная сумма составит (коммерческий процент)
5. ПЕРЕМЕННЫЕ СТАВКИ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ
Если в интервалах продолжительностью, ... , установлены различные ставки начисления простых процентов, ... , (переменные ставки ), то за весь срок договора наращенная сумма равна:
(11)
Формулой (11) можно пользоваться и в тех случаях, когда интервалы выражены в различных единицах времени. Необходимо помнить, что размерность каждого интервала должна быть согласована с размерностью процентной ставки : если выражен в годах, то - годовая процентная ставка, если выражен в месяцах, то - процентная ставка за один месяц и т.д.
Пример 6. Вклад на сумму тыс. руб. был положен в банк на условиях: в первый год простая процентная ставка равна годовых, а каждые последующие полгода ставка повышается на. Найти наращенную сумму за два года.
Решение
Введем обозначения: , (год), (лет), (лет), . Наращенная сумма за два года составит:
Контрольные вопросы
Сущность, цели и задачи финансового менеджмента (2)
Реферат >> Финансы64 1. Сущность, цели и задачи финансового менеджмента 1.1.Сущность финансового менеджмента Финансовый менеджмент - это наука и искусство принимать инвестиционные решения и решения по выбору...
Основные определения финансового менеджмента
Шпаргалка >> Финансы... решения и решения по выбору источников финансирования. 2. Цель и задачи финансового менеджмента . ... во времени: простой % и сложный %. Простой процент - метод... управленческих решений . Главная факторная цепочка формирующая прибыль может быть предоставлена схемой ...
Сущность финансового менеджмента (2)
Реферат >> МенеджментУправления. 2) Управленческие решения в сфере финансового менеджмента должны быть динамичны. 3) Присутствие разнообразных вариантов управленческих решений . 4) ... стоимость: Простые проценты PV=PV/(1+rm) m Сложные проценты PV=PV/(1+r) Схема дисконтирования. ...
Какие задачи ставит и решает финансовая математика?
Что означает принцип неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени?
Как учитывается время в финансовых расчетах?
Что представляют собой операции наращения, дисконтирования и приведения?
Проценты, дискретные и непрерывные проценты.
Период и способы начисления процентов.
Капитализация процентов.
Процентная ставка, наращение, годовая процентная ставка.
Какие методы начисления простых процентов вы знаете?
Формулы наращения по простым процентам.
Различные методики начисления простых процентов.
Изменение процентной ставки и величины вклада.
Определение процентной ставки и длины периода.
процентов Содержание Начисление сложных годовых процентов Сравнение наращения по простым и сложным процентам Наращение...
