Показатели изменения уровней временного ряда. Общие составляющие уровней временного ряда

Реальные данные часто содержат все три компоненты. В большинстве случаев временной ряд можно представить как сумму или произведение трендовой , циклической и случайной компонент. В случае суммы имеет место аддитивная модель временного ряда:

(1)

в случае произведения – мультипликативная модель:

. (2)

Основная задача эконометрического исследования отдельного временного ряда – выявление количественного выражения каждой из компонент и использование полученной информации для прогноза будущих значений ряда или построение модели взаимосвязи двух или более временных рядов.

Сначала рассмотрим основные подходы к анализу отдельного временного ряда. Такой ряд может содержать, помимо случайной составляющей, либо только тенденцию, либо только сезонную (циклическую) компоненту, либо все компоненты вместе. Для того, чтобы выявить наличие той или иной неслучайной компоненты, исследуется корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда, или автокорреляция уровней ряда. Основная идея такого анализа заключается в том, что при наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих.

Количественно автокорреляцию можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и т.е. при лаге 1.

Он вычисляется по следующей формуле:

(3)

где в качестве средних величин берутся значения:

(4)

В первом случае усредняются значения ряда, начиная со второго до последнего, во втором случае - значения ряда с первого до предпоследнего.

Формулу (3) можно представить как формулу выборочного коэффициента корреляции:

(5)

где в качестве переменной берется ряд а в качестве переменной ряд

Если значение коэффициента (3) близко к единице, это указывает на очень тесную зависимость между соседними уровнями временного ряда и о наличии во временном ряде сильной линейной тенденции.

Аналогично определяются коэффициенты автокорреляции более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и и определяется по формуле:

(6)

где в качестве одной средней величины берут среднюю уровней ряда с третьего до последнего, а в качестве другой - среднюю с первого уровня до

(7)

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Для обеспечения статистической достоверности максимальный лаг, как считают некоторые известные эконометристы, не должен превышать четверти общего объема выборки.

Коэффициент автокорреляции строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции, и поэтому он характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. По нему можно судить о наличии линейной или близкой к линейной тенденции. Однако для некоторых временных рядов с сильной нелинейной тенденцией (например, параболической или экспоненциальной), коэффициент автокорреляции уровней ряда может приближаться к нулю.

Кроме того, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных имеют положительную автокорреляцию уровней, однако при этом не исключается убывающая тенденция.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней различных порядков, начиная с первого, называется автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага называется коррелограммой. Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы помогает выявить структуру ряда. Здесь уместно привести следующие качественные рассуждения.

Если наиболее высоким является коэффициент автокорреляции первого порядка, очевидно, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка τ , ряд содержит циклические колебания с периодичностью в τ моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, то либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний и имеет только случайную составляющую, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для исследования которой нужно провести дополнительный анализ.

Пример . Пусть имеются данные об объёмах потребления электроэнергии жителями района за 16 кварталов, млн. квт.-ч:

t
y t	6,0	4,4	5,0	9,0	7,2	4,8	6,0	10,0	8,0	5,6	6,4	11,0	9,0	6,6	7,0	10,8

Нанесем эти значения на график:

Определим автокорреляционную функцию данного временного ряда. Рассчитаем коэффициент автокорреляции первого порядка. Для этого определим средние значения:

С учетом этих значений можно построить вспомогательную таблицу:

t	y t
	6,0		-1,0667			1,137778
	4,4	-2,9867	-2,6667	3,185778	8,920178	7,111111
	5,0	-2,3867	-2,0667	6,364444	5,696178	4,271111
	9,0	1,6133	1,9333	-3,33422	2,602844	3,737778
	7,2	-0,1867	0,1333	-0,36089	0,034844	0,017778
	4,8	-2,5867	-2,2667	-0,34489	6,690844	5,137778
	6,0	-1,3867	-1,0667	3,143111	1,922844	1,137778
	10,0	2,6133	2,9333	-2,78756	6,829511	8,604444
	8,0	0,6133	0,9333	1,799111	0,376178	0,871111
	5,6	-1,7867	-1,4667	-1,66756	3,192178	2,151111
	6,4	-0,9867	-0,6667	1,447111	0,973511	0,444444
	11,0	3,6133	3,9333	-2,40889	13,05618	15,47111
	9,0	1,6133	1,9333	6,345778	2,602844	3,737778
	6,6	-0,7867	-0,4667	-1,52089	0,618844	0,217778
	7,0	-0,3867	-0,0667	0,180444	0,149511	0,004444
	10,8	3,4133		-0,22756	11,65084
Итог			9,813333	65,3173	54,0533

С помощью итоговых сумм подсчитаем величину коэффициента автокорреляции первого порядка:

.

Это значение свидетельствует о слабой зависимости текущих уровней ряда от непосредственно им предшествующих. Однако из графика очевидно наличие возрастающей тенденции уровней ряда, на которую накладываются циклические колебания.

Продолжая аналогичные расчеты для второго, третьего и т.д. порядков, получим автокорреляционную функцию, значения которой сведем в таблицу и построим по ней коррелограмму:

Лаг
	0,16515	0,56687	0,11355	0,98302	0,11871	0,72204	0,00336	0,97384

Из коррелограммы видно, что наиболее высокий коэффициент корреляции наблюдается при значении лага, равном четырем, следовательно, ряд имеет циклические колебания периодичностью в четыре квартала. Это подтверждается и графическим анализом структуры ряда.

В случае, если при анализе структуры временного ряда обнаружена только тенденция и отсутствуют циклические колебания (случайная составляющая присутствует всегда), следует приступать к моделированию тенденции. Если же во временном ряде имеют место и циклические колебания, прежде всего следует исключить именно циклическую составляющую, и лишь затем приступать к моделированию тенденции. Выявление тенденции состоит в построении аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда . Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда .

Зависимость от времени может принимать разные формы, поэтому для её формализации используют различные виды функций:

Линейный тренд: ;

Гипербола: ;

Экспоненциальный тренд: (или );

Степенной тренд: ;

Параболический тренд второго и более высоких порядков:

Параметры каждого из трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время , а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда y t (или уровни за вычетом циклической составляющей, если таковая была обнаружена). Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.

Существует несколько способов определения типа тенденции. Чаще всего используют качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени, расчет некоторых основных показателей динамики. В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни y t и y t -1 тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.

Выбор наилучшего уравнения в случае, если ряд содержит нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации и выбора уравнения тренда с максимальным значением этого коэффициента. Реализация этого метода относительно проста при компьютерной обработке данных.

При анализе временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания, наиболее простым подходом является расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временнóго ряда в форме (1) или (2).

Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель (1), в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель (2), которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение модели (1) или (2) сводится к расчету значений Т , S или Е для каждого уровня ряда. Процесс построения модели включает в себя следующие шаги:

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2. Расчет значений сезонной компоненты S .

3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (Т+Е ) в аддитивной или (Т·Е ) в мультипликативной модели.

4. Аналитическое выравнивание уровней (Т+Е ) или (Т·Е ) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.

5. Расчет полученных по модели значений (Т+S ) или (Т·S )

6. Расчет абсолютных и относительных ошибок.

Пример . Построение аддитивной модели временного ряда . Рассмотрим данные об объёме потребления электроэнергии жителями района из ранее приведенного примера. Из анализа автокорреляционной функции было показано, что данный временнóй ряд содержит сезонные колебания периодичностью в 4 квартала. Объёмы потребления электроэнергии в осенне – зимний период (I и IV кварталы) выше, чем весной и летом (II и III кварталы). По графику этого ряда можно установить наличие приблизительно равной амплитуды колебаний. Это говорит о возможном наличии аддитивной модели. Рассчитаем её компоненты.

Шаг 1 . Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней.

Поскольку циклические колебания имеют периодичность в 4 квартала, просуммируем уровни ряда последовательно за каждые 4 квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объёмы потребления электроэнергии (колонка 3 в таблице 1).

Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (колонка 4 таблицы 1). Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

Поскольку скользящие средние получены осреднением четырех соседних уровней ряда, т.е. четного числа значений, они соответствуют серединам подынтервалов, состоящих из четверок чисел, т.е. должны располагаться между третьим и четвертым значениями четверок исходного ряда. Для того, чтобы скользящие средние располагались на одних временных отметках с исходным рядом, пары соседних скользящих средних ещё раз усредняются и получаются центрированные скользящие средние (колонка 5 таблицы 1). При этом теряются первые две и последние две отметки временного ряда, что связано с осреднением по четырем точкам.

Таблица 1

№ квартала	Потребление электроэнергии y t	Итого за четыре квартала			Оценка сезонной компоненты
	6,0
	4,4
	5,0	24,4	6,10	6,25	-1,250
	9,0	25,6	6,40	6,45	2,550
	7,2	26,0	6,50	6,625	0,575
	4,8	27,0	6,75	6,875	-2,075
	6,0	28,0	7,00	7,1	-1,100
	10,0	28,8	7,20	7,3	2,700
	8,0	29,6	7,40	7,45	0,550
	5,6	30,0	7,50	7,625	-2,025
	6,4	31,0	7,75	7,875	-1,475
	11,0	32,0	8,00	8,125	2,875
	9,0	33,0	8,25	8,325	0,675
	6,6	33,6	8,40	8,375	-1,775
	7,0	33,4	8,35
	10,8

Шаг 2 . Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда (колонка 2 таблицы 1) и центрированными скользящими средними (колонка 5). Эти значения помещаем в колонку 6 таблицы 1 и используем для расчета значений сезонной компоненты (таблица 2), которые представляют собой средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты S i . В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период (в данном случае – за год) взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем точкам (здесь – по четырем кварталам) должна быть равна нулю.

Таблица 2

Для данной модели сумма средних оценок сезонной компоненты равна:

0,6-1,958-1,275+2,708=0,075.

Эта сумма оказалась не равной нулю, поэтому каждую оценку уменьшим на величину поправки, равной одной четверти полученного значения:

Δ=0,075/4=0,01875.

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты (они записаны в последней строке таблицы 2):

(8)

Эти значения при суммировании уже равны нулю:

0,581-1,977-1,294+2,69=0.

Шаг 3 . Исключаем влияние сезонной компоненты, вычитая её значения из каждого уровня исходного временного ряда. Получаем величины:

T+E=Y-S (9)

Эти значения рассчитываются в каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту (колонка 4 следующей таблицы):

Таблица 3

t				T	T+S		E 2
	6,0	0,581	5,419	5,902	6,483	-0,483	0,2332
	4,4	-1,977	6,377	6,088	4,111	0,289	0,0833
	5,0	-1,294	6,294	6,275	4,981	0,019	0,0004
	9,0	2,69	6,310	6,461	9,151	-0,151	0,0228
	7,2	0,581	6,619	6,648	7,229	-0,029	0,0008
	4,8	-1,977	6,777	6,834	4,857	-0,057	0,0032
	6,0	-1,294	7,294	7,020	5,726	0,274	0,0749
	10,0	2,69	7,310	7,207	9,897	0,103	0,0107
	8,0	0,581	7,419	7,393	7,974	0,026	0,0007
	5,6	-1,977	7,577	7,580	5,603	-0,003	0,0000
	6,4	-1,294	7,694	7,766	6,472	-0,072	0,0052
	11,0	2,69	8,310	7,952	10,642	0,358	0,1278
	9,0	0,581	8,419	8,139	8,720	0,280	0,0785
	6,6	-1,977	8,577	8,325	6,348	0,252	0,0634
	7,0	-1,294	8,294	8,512	7,218	-0,218	0,0474
	10,8	2,69	8,110	8,698	11,388	-0,588	0,3458

Шаг 4 . Определим трендовую компоненту данной модели. Для этого проведем выравнивание ряда (Т+Е ) с помощью линейного тренда:

, найдем уровни Т для каждого момента времени (колонка 5 таблицы 3).

Шаг 5 . Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням Т значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов, т.е. к значениям в колонке 5 таблицы 3 прибавим значения в колонке 3. Результаты операции представлены в колонке 6 таблицы 3.

Шаг 6 . В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки производим по формуле:

(10)

Это абсолютная ошибка. Численные значения абсолютных ошибок приведены в колонке 7 таблицы 3.

По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построения модели или для выбора наилучшей модели можно применять сумму квадратов полученных абсолютных ошибок. Для данной аддитивной модели сумма квадратов абсолютных ошибок равна 1,10. По отношению к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня, равной 71,59, эта величина составляет чуть более 1,5%. Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 98,5% общей вариации уровней временного ряда потребления электроэнергии за последние 16 кварталов.

Пример . Построение мультипликативной модели временного ряда . Пусть имеются поквартальные данные о прибыли компании за последние четыре года:

Таблица 4

График временного ряда свидетельствует о наличии сезонных колебаний периодичностью 4 квартала и общей убывающей тенденции уровней ряда:

Прибыль компании в весенне-летний период выше, чем в осенне-зимний период. Поскольку амплитуда сезонных колебаний уменьшается, можно предположить существование мультипликативной модели. Определим её компоненты.

Шаг 1 . Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой аддитивной модели. Результаты расчетов оценок сезонной компоненты представлены в таблице:

Таблица 5

№ квартала	Прибыль компании	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за четыре квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
			81,500	81,250	1,108
			81,000	80,000	0,800
			79,000	77,750	0,900
			76,500	75,750	1,215
			75,000	74,000	1,081
			73,000	71,500	0,811
			70,000	68,500	0,905
			67,000	65,750	1,217
			64,500	63,250	1,075
			62,000	59,500	0,807
			57,000	54,750	0,950
			52,500	50,250	1,194
			48,000

Шаг 2 . Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние (колонка 6 таблицы). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S . Для этого найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты S i . Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна равняться числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла (год) равно четырем кварталам. Результаты расчетов сведем в таблицу:

Таблица 6

Здесь сумма средних оценок сезонных компонент по всем четырем кварталам

не равна четырем. Чтобы эта сумма равнялась четырем, умножим каждое слагаемое на поправочный коэффициент

0,803 79,70 79,48 63,82 1,003 0,179 0,03 0,913 76,67 76,70 70,03 1,000 -0,030 0,00 1,202 76,54 73,93 88,86 1,035 3,139 9,85 1,082 73,94 71,15 76,99 1,039 3,013 9,08 0,803 72,23 68,38 54,91 1,056 3,093 9,57 0,913 67,91 65,60 59,90 1,035 2,105 4,43 1,202 66,56 62,83 75,52 1,059 4,482 20,08 1,082 62,85 60,05 64,98 1,047 3,024 9,14 0,803 59,78 57,28 45,99 1,044 2,007 4,03 0,913 56,96 54,50 49,76 1,045 2,240 5,02 1,202 49,92 51,73 62,18 0,965 -2,176 4,73 1,082 46,21 48,95 52,97 0,944 -2,966 8,79 0,803 37,36 46,18 37,08 0,809 -7,080 50,12

Шаг 3 . Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. Тем самым мы получим величины

, (12)

Шаг 4 . Определим трендовую компоненту в мультипликативной модели. Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, используя уровни (Т+Е ). Уравнение тренда имеет вид:

Подставляя в это уравнение значения , найдем уровни Т для каждого момента времени (колонка 5 таблицы).

Шаг 5 . Найдем уровни ряда по мультипликативной модели, умножив уровни Т на значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (колонка 6 таблицы).

Шаг 6 . Расчет ошибок в мультипликативной модели произведем по формуле:

. (13)

Численные значения ошибок приведены в колонке 7 таблицы. Для того, чтобы сравнить мультипликативную модель и другие модели временного ряда, можно по аналогии с аддитивной моделью использовать сумму квадратов абсолютных ошибок. Абсолютные ошибки в мультипликативной модели определяются как:

. (14)

В данной модели сумма квадратов абсолютных ошибок составляет 207,4. Общая сумма квадратов отклонений фактических уровней этого ряда от среднего значения равна 5023. Таким образом, доля объясненной дисперсии уровней ряда составляет 95,9%.

Прогнозирование по аддитивной или мультипликативной модели временного ряда сводится к расчету будущего значения временного ряда по уравнению модели без случайной составляющей в виде

для аддитивной или

для мультипликативной модели.

1.7 Аддитивная и мультипликативная модели временного ряда

Существует несколько подходов к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания.

Простейший подход- расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда. Общий вид аддитивной модели следующий:

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой, сезонной и случайной компонент. Общий вид мультипликативной модели выглядит так:

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой, сезонной и случайной компонент. Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений трендовой, циклической и случайной компонент для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2. Расчет значений сезонной компоненты.

3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной или мультипликативной модели.

4. Аналитическое выравнивание уровней и расчет значений тренда с использованием полученного уравнения тренда.

5. Расчет полученных по модели значений или

6. Расчет абсолютных и относительных ошибок.

Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

После удаления тенденции (тренда) из временного ряда мы получим стационарный временной ряд. Его можно рассматривать как выборку Т последовательных наблюдений через равные промежутки времени из существенно более продолжительной (генеральной последовательности случайных величин. При этом статистические выводы делаются относительно вероятностной структуры генеральной последовательности. Такую последовательность удобно считать простирающейся неограниченно в будущее и, возможно, в прошлое. Последовательность случайных величин у 1 , у 2 , . . . или. . ., у -1 , у 0 , у 1 , . . . называется случайным процессом с дискретным параметром времени.

Несмотря на полную произвольность вероятностных моделей последовательностей случайных величин, полезно отличать случайные процессы от множества случайных величин этого процесса, учитывая понятие времени. Грубо говоря, в случайном процессе наблюдения, разделённые небольшими промежутками времени, близки по значениям в отличие от наблюдений, далеко отстоящих друг от друга во времени. Более того, модель значительно упрощается после расширения конечной последовательности наблюдений до бесконечной.

Одним из таких упрощений является свойство стационарности . Будем считать, что поведение множества случайных величин с вероятностной точки зрения не зависит от времени.

Случайный процесс y(t) с непрерывным параметром времени можно определить для 0 ≤ t < ∞ или -∞ < t < ∞ и рассматривать с привлечением вероятностной меры на пространстве функций y(t). Выборка из такого процесса состоит из наблюдений в конечном числе точек времени, или из непрерывных наблюдений в интервале времени.

Наблюдение процесса, часто называемое реализацией , есть точка в соответствующем бесконечномерном пространстве, где определена вероятностная мера. Вероятность определяется на некоторых множествах, называемых измеримыми. Этот класс множеств включает вместе с любым множеством его дополнение, а также объединение и пересечение счётного числа множеств этого класса; вероятностная мера на этом классе множеств определяется таким образом, что вероятность объединения непересекающихся множеств равна сумме вероятностей отдельных множеств.

Практически мы интересуемся вероятностями, которые связаны с конечным числом случайных величин. Эти вероятности включают в себя функцию совместного распределения.

1.9 Применение быстрого преобразования Фурье к стационарному временному ряду

Одно из назначений преобразования Фурье- выделять частоты циклических составляющих временного ряда, содержащего случайную компоненту.

Пусть число данных N представимо в виде N = N 1 N 2 . Тогда можно записать

t = t 1 + (t 2 -1)N 1 , t 1 = 1, . . ., N 1 , t 2 = 1, . . ., N 2 ;

j = j 1 + j 2 N 2 , j 1 = 0, . . ., N 2 – 1 , j 2 = 0, . . ., N 1 - 1;

Отметим, что a N – j = a j и b N – j = - b j . Искомые коэффициенты являются соответственно действительной и мнимой частями суммы:

Для их отыскания вычислим сначала величины

Для каждой пары (j 1 , t 1) , j 1 = 0, . . ., N 2 – 1 и t 1 = 0, . . ., N 1 . Поскольку

и ,

то существует около N 1 N 2 /2 = N/2 таких пар. После этого находятся действительная и мнимая части суммы (1.9.1):

для j = 0,1, . . ., . Число операций умножения приближённо равно N 2 N в первых суммах и 2N 1 N во вторых суммах, так что число операций умножения в целом составляет примерно N (N 2 + 2N 1). В то же время число произведений в определении коэффициентов a j и b j , j=0,1, . . ., примерно равно N 2 . ,

Для каждого момента (периода) времени t = 1: N значение компоненты e t для аддитивной модели определяется как

, - сумма циклической и трендовой компонент, а для мультипликативной модели: - произведение циклической и трендовой компонент.

Ошибки измерений нам неизвестны, а известны лишь эмпирические остатки.

Рассматривая последовательность остатков как временной ряд, можно построить график их зависимости от времени. В соответствии с предпосылками метода наименьших квадратов остатки e t должныбыть случайными. Однако при моделировании временных рядов часто встречаются ситуация, когда остатки содержат тенденцию или циклические колебания. Это свидетельствует о том, что каждое следующее значение остатков зависит от предшествующих. В этом случае говорят о наличии автокорреляции остатков.

Автокорреляция остатков может быть вызвана следующими причинами, имеющими различную природу. Во-первых , иногда она связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака. Во-вторых , в ряде случаев причину автокорреляции остатков следует искать в формулировке модели. Модель может не включать фактор, существенное воздействие на результат, влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени t. Кроме того, в качестве таких существенных факторов могут выступать лаговые значения переменных, включённых в модель.

Либо модель не учитывает несколько второстепенных факторов, совместное влияние которых на результат существенно в виду совпадения тенденций их изменения или фаз циклических колебаний.

Существует два наиболее распространённых метода определения автокорреляции остатков. Первый метод – это построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод – использование критерия Дарбина – Уотсона.

Дж. Дарбин и Г. Уотсон построили таблицы, дающие нижние и верхние пределы порогов значимости. Эти таблицы достаточны для большинства конкретных ситуаций. Рассмотрим логические основания критерия.

Выражение

(1.10.1)

представляет собой «отношение фон Неймана», применённое к остаткам оценки. Этот критерий имеет эффективность аналогичную таковой для критерия r 1 , первого коэффициента автокорреляции остатков. Из предыдущей главы известно, что этот критерий будет особенно мощным, если ошибки следуют авторегрессинному процессу первого порядка. Таким образом, он, по-видимому, хорошо приспособлен для экономических моделей.

Понятие сезонных колебаний и сезонной составляющей

Методы распознавания типа тренда и оценки его параметров

Основные типы трендов

Виды и построение временных рядов

ТЕМА 6. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ТРЕНДОВ

План лекции:

Эконометрическую модель можно построить, используя 2 типа исходных данных:

1. данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент (периоды времени). Модели, построенные по этим данным, называются пространственными.

2. данные, характеризующие один объект за ряд последовательных периодов времени. Модели, построенные по этим данным, называются моделями временных рядов

В литературе встречаются также понятия ряда динамики или динамические ряды. Данные термины несколько отличаются по сущности от понятия временной ряд , поскольку не каждый ряд уровней за последовательные периоды времени на самом деле содержат динамику какого - либо показателя.

Термин динамика правильнее относить к изменениям, направленному развитию, наличию тенденций рассматриваемых показателей. Следовательно, временной ряд – это более общее понятии, включающее, как динамические, так и статистические последовательности уровней какого-либо показателя.

Временной ряд – это последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень состояния и изменения изучаемого явления.

Классификация временных рядов.

Каждый временной ряд включает 2 обязательных элемента:

2. конкретное значение показателей (уровень ряда)

Временной ряд различаю по следующим признакам:

1. повремени:

а) моментный ряд, характеризующий изучаемое явление в конкретный момент времени

б) интервальный, т.е., уровень ряда, характеризующий признак за определенный период времени

2. по форме представления:

а) абсолютных величин

б) относительных величин

в) средних величин

3. по расстоянию между датами или интервалами времени:

а) полные ряды, когда даты следуют друг за другом с равными интервалами-

б) неполные.

а) частных показателей, характеризующих явления односторонне, изолированных

б) ряды агрегированных показателей, т.е. характеризующих явления комплексно.

Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов. Условно их можно подразделить на 3 группы:

1) факторы, формирующие тенденцию ряда

2) факторы, формирующие цикличность колебаний ряда

3) случайные факторы

При статистическом изучении динамики, необходимо четко разделять 2 основных ее элемента:

1) тенденцию

2) колеблемость,

чтобы с помощью специальных показателей дать каждому из них, количественную характеристику

Колеблемость – это отклонение уровней отдельных периодов времени от тенденции динамики.

Тренд – это устойчивая тенденция во временном ряду, более или менее свободная от случайных колебаний.

Тенденции изменения показателей сложных общественных явлений только приближенно можно выразить тем или иным уравнением, линией тренда.

Во временных рядах обычно различают тенденции трех видов.

Тенденция среднего уровня выражается обычно с помощью ма­тематического уравнения линии, вокруг которой варьируют фактические уровни исследуемого явления. Уравнение имеет следующий вид: ƒ.

Смысл этой функции заключается в том, что значения тренда в отдельные моменты времени выступают математически­ми ожиданиями ряда динамики.

Тенденция дисперсии характеризует тенденцию изменения отклонений между эмпирическими уровнями и детерминированной компонентой ряда.

Тенденция автокорреляции характеризует связь между отдельными уровнями ряда динамики.

Общие составляющие компоненты временного ряда y или :

: Регулярная (основная) ком­понента, характе­ризующая общую тенденцию ряда (тренд)

v:Сезонная компо­нента (внутригодичные колеба­ния) в общем ви­де - циклическая составляющая

e: Случайная ком­понента (случай­ные отклонения).

Как видим, все компоненты, которые формируют уровень временного ряда, подразделяются на три группы. Основной со­ставляющей является тренд. Значения сезонной и случайной компонент остаются после выделения из него трендовой состав­ляющей.

Если все составляющие компоненты найдены верно, то ма­тематическое ожидание случайной компоненты равно нулю и ее колебания около среднего значения постоянны.

При различных сочетаниях в изучаемом явлении этих элементов, временной ряд может иметь различные формы:

1) большинство временных рядов имеет тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Данные факторы, взятые в отдельности могут оказывать разнонаправленные воздействия, однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию.

2) изучаемые показатели могут быть подвержены циклическим колебаниям, они могут носить сезонный характер.

3) Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклические компоненты, а каждый их следующий уровень образуется, как сумма среднего уровня ряда и некоторые случайные компоненты.

В реальных условиях временной ряд содержит чаще всего 3 компонента и каждый уровень ряда формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний, и случайной компоненты.

Уровни временного ряда можно представить как сумму или произведение всех его составляющих компонент (трендовой, сезонной и случайной). Модель, в которой все компоненты ряда представлены как сумма этих составляющих, называют ад­дитивной. Если факторы влияния представлены как произведе­ние составляющих, то модель называют мультипликативной.

Основной задачей эконометрики при исследовании временного рядя является количественное выражение каждой из вышеперечисленных компонент для дальнейшего использования полученной информации. (для прогнозирования будущих значений ряда или построения модели двух или более временных рядов).

О качестве моделей регрессии можно судить также по значениям коэффициента корреляции (индекса корреляции) и коэффициента детерминации для однофакторной модели и по значениям коэффициента множественной корреляции и совокупного коэффициента детерминации для моделей множественной регрессии.

Чем ближе абсолютные величины указанных коэффициентов к 1, тем теснее связь между изучаемым признаком и выбранными факторами и, следовательно, с тем большей уверенностью можно судить об адекватности построенной модели, включающей в себя наиболее влияющие факторы.

Для оценки точности регрессионных моделей обычно используются те же статистические критерии точности, что и для трендовых моделей, в частности, средняя относительная ошибка аппроксимации. Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели. Если расчетное значение этого критерия со степенями свободы vi = ra-lHV2 = ra-m-l, где п - количество наблюдений и т - число включенных в модель факторов, больше табличного значения критерия Фишера при заданном уровне значимости, то модель признается значимой.

Привести формулы для получения точечной (интервальной) оценки прогнозного значения изучаемого показателя.

Что называется временным рядом, уровнем временного ряда?

Временно́й ряд (или ряд динамики) - собранный в разные моменты времени статистический материал о значении каких-либо параметров (в простейшем случае одного) исследуемого процесса. Каждая единица статистического материала называется измерением или отсчётом, также допустимо называть его уровнем на указанный с ним момент времени. Во временном ряде для каждого отсчёта должно быть указано время измерения или номер измерения по порядку. Временной ряд существенно отличается от простой выборки данных, так как при анализе учитывается взаимосвязь измерений со временем, а не только статистическое разнообразие и статистические характеристики выборки

Временным рядом называется ряд наблюдаемых значений изучаемого показателя, расположенных в хронологическом порядке или в порядке возрастания времени.

Отдельно взятый временной ряд можно представить как выборочную совокупность из бесконечного ряда значений показателей во времени.

Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

факторы, формирующие тенденцию ряда;

факторы, формирующие циклические колебания ряда;

случайные факторы

Уровнями временного ряда называются наблюдения

из которых состоит данный ряд.

Временной ряд называется моментным рядом , если уровень временного ряда фиксирует значение изучаемого показателя на определённый момент времени.

Временной ряд называется интервальным рядом , если уровень временного ряда характеризует значение показателя за определённый период времени.

Временной ряд называется производным рядом , если уровни ряда представлены в виде производных величин (средних или относительных показателей).

Исследование данных, представленных в виде временных рядов, преследует две основные цели:

1) характеристика структуры временного ряда;

2) прогнозирование будущих уровней временного ряда на основании прошлых и настоящих уровней.

Достижение поставленных целей возможно с помощью идентификации модели временного ряда.

Идентификацией модели временного ряда называется процесс выявления основных компонент, которые содержит изучаемый временной ряд.

Временные ряды могут содержать два вида компонент – систематическую и случайную составляющие.

Систематическая составляющая временного ряда является результатом воздействия постоянно действующих факторов.

Выделяют три основных систематических компоненты временного ряда:

2) сезонность;

3) цикличность.

Трендом называется систематическая линейная или нелинейная компонента, изменяющаяся во времени.

Сезонностью называются периодические колебания уровней временного ряда внутри года.

Цикличностью называются периодические колебания, выходящие за рамки одного года. Промежуток времени между двумя соседними вершинами или впадинами в масштабах года определяют как длину цикла.

Какова цель построения и анализа временных рядов.

Практическое изучение временного ряда предполагает выявление свойств ряда и получение выводов о вероятностном механизме, порождающем этот ряд. Основные цели при изучении временного ряда следующие:

– описание характерных особенностей ряда в сжатой форме;

– построение модели временного ряда;

– предсказание будущих значений на основе прошлых наблюдений;

– управление процессом, порождающим временной ряд, путем выборки сигналов, предупреждающих о грядущих неблагоприятных событиях.

Достижение поставленных целей возможно далеко не всегда как из-за недостатка исходных данных (недостаточная длительность наблюдения), так из-за изменчивости со временем статистической структуры ряда.

Перечисленные цели диктуют в значительной мере, последовательность этапов анализа временных рядов:

Графическое представление и описание поведения ряда;

Выделение и исключение закономерных, неслучайных составляющих ряда, зависящих от времени;

Исследование случайной составляющей временного ряда, оставшейся после удаления закономерной составляющей;

Построение (подбор) математической модели для описания случайной составляющей и проверка ее адекватности;

Прогнозирование будущих значений ряда.

При анализе временных рядов используются различные методы, наиболее распространенными из которых являются:

Корреляционный анализ, используемый для выявления характерных особенностей ряда (периодичностей, тенденций и т. д.);

спектральный анализ, позволяющий находить периодические составляющие временного ряда;

Методы сглаживания и фильтрации, предназначенные для преобразования временных рядов с целью удаления высокочастотных и сезонных колебаний;

Методы прогнозирования.

Анализ временных рядов - это анализ, основанный на исходном предложении, согласно которому случившееся в прошлом служит достаточно надежным указанием на то, что произойдет в будущем. Это также можно назвать проектированием тенденций.

Существует две основные цели анализа временных рядов : определение природы ряда и прогнозирование , т.е. предсказание будущих значений временного ряда по настоящим и прошлым значениям. Обе цели требуют, чтобы модель ряда была определена и более или менее формально описана. Как только модель определена, с ее помощью можно интерпретировать рассматриваемые данные - например, использовать ее для анализа наличия сезонного изменения цен на товары. Затем можно экстраполировать ряд на основе найденной модели, т.е. предсказать его будущие значения.

Указать общий вид и область применения модели аддитивной модели временного ряда.

Модели , где временной ряд представлен в виде суммы перечисленных компонентов называются аддитивными , если в виде произведения – мультипликативными моделями . Аддитивная модель имеет вид: Y = T + S + E.

Общий вид аддитивной модели следующий:

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент.

Аддитивная модель применима в тех случаях, когда анализируемый временной ряд имеет приблизительно одинаковые изменения на протяжении всей длительности ряда.

Наиболее фундаментальной является классическая мультипликативная модель временного ряда, широко используемая при анализе ежемесячных, ежеквартальных и ежегодных данных и потому чаще всего применяемая в экономических исследованиях.

Определить параметры аддитивной модели: тренд, сезонная компонента, ошибка модели.

Компоненты временного ряда

Уровни временного ряда являются суммой двух составляющих:

систематической (детерминированной, регулярной)

случайной (нерегулярной, непредсказуемой), не зависящей от времени

Регулярная составляющая, в общем случае, может складываться из тренда, циклической компоненты и сезонной компоненты. Однако, регулярная составляющая не обязательно должна включать все три компоненты.

Случайная (нерегулярная) компонента. Экономисты разделяют факторы, под действием которых формируется нерегулярная компонента, на 2 вида:

факторы резкого, внезапного действия;

текущие факторы.

Первый тип факторов (например, стихийные бедствия, эпидемии и др.), как правило , вызывает более значительные отклонения по сравнению со случайными колебаниями - иногда такие отклонения называют катастрофическими колебаниями.

Факторы второго типа вызывают случайные колебания, являющиеся результатом действия большого числа побочных причин. Влияние каждого из текущих факторов незначительно, но ощущается их суммарное воздействие.

Цель сезонной декомпозиции и корректировки временного ряда состоит в том, чтобы разложить ряд на составляющие: тренд, сезонную компоненту и нерегулярную составляющую.

В общем случае временной ряд можно представить из четырех различных компонент:

сезонной компоненты (обозначается St, где t обозначает момент времени)

тренда (Tt)

циклической компоненты (Ct)

случайной, нерегулярной компоненты (Et)

Разница между циклической и сезонной компонентой состоит в том, что последняя имеет регулярную (сезонную) периодичность, тогда как циклические факторы обычно имеют более длительный эффект, который, к тому же, меняется от цикла к циклу. Тренд и циклическую компоненту обычно объединяют в одну тренд-циклическую компоненту (TtCt) (для простоты обозначений далее TtCt->Tt). Конкретные функциональные взаимосвязи между этими компонентами могут иметь самый разный вид. Однако можно выделить два основных способа, с помощью которых они могут взаимодейс твовать - аддитивно и мультипликативно:

Аддитивная модель: Уt = TCt + St + Et

Мультипликативная модель: Уt = Tt*Ct*St*Et

Модель смешанного типа: Уt = Tt*Ct*St+Et

Выбор одной из трех моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты. Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T , S и E для каждого уровня ряда. Процесс построения модели включает в себя следующие шаги:

Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней .

Расчет значений сезонной компоненты S .

Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (Y - S=T + E) в аддитивной или (Y: S=T * E) в мультипликативной модели.

Аналитическое выравнивание уровней (T + E) или (T * E) и расчет значений T с использованием полученного уравнения тренда.

Расчет полученных по модели значений (T + E) или (T * E).

Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Если из временного ряда удалить тренд (Tt) и периодические составляющие (Ct и St), то останется нерегулярная компонента (Et), так называемая, ошибка. Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок (Et) для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

Скользящее среднее

Прежде, чем рассчитывать сезонную компоненту (S), исходный временной ряд необходимо выровнять. Для этого применяются методы механического выравнивания, к которым относятся:

метод скользящих средних;

метод экспоненциального сглаживания;

метод медианного сглаживания и др.

Вычисляя скользящее среднее для временного ряда, интервал сглаживания (ширина окна) берется равным периоду сезонности. Если период сезонности - четное число, можно выбрать одну из двух возможностей:

в случае взвешенного скользящего среднего, брать скользящее среднее с одинаковыми весами или же с неравными весами так, что первое и последнее наблюдения в окне имеют усредненные веса.

в случае простого скользящего среднего, необходимо провести процедуру центрирования, которая заключается в повторном скольжении с шагом, равным двум. Число уровней сглаженного ряда будет меньше на величину шага скользящей средней.

После определения скользящих средних вся сезонная (т.е. внутри сезона) изменчивость будет исключена и поэтому разность (в случае аддитивной модели) или отношение (для мультипликативной модели) между наблюдаемым (Yi) и сглаженным рядом (Ŷt) будет выделять сезонную составляющую плюс нерегулярную компоненту.

Таким образом, результатом процедуры сглаживания будет временной ряд выровненных значений Ŷt, не содержащий сезонной компоненты. То есть: ряд скользящих средних вычитается из наблюдаемого ряда (Yi-Ŷt) (в аддитивной модели) или же значения наблюдаемого ряда делятся на значения скользящих средних (Yi:Ŷt) (в мультипликативной модели).

Сезонная составляющая

На следующем шаге вычисляется сезонная составляющая, как среднее (для аддитивных моделей) или урезанное среднее (для мультипликативных моделей) всех значений ряда, соответствующих данной точке сезонного интервала по аналогичным временным периодам, с последующей сезонной корректировкой ряда.

Если временной ряд представлен аддитивной моделью, то в качестве сезонной компоненты (составляющей) используется показатель абсолютного отклонения – SΔi (S->SΔi). Сумма всех сезонных компонент, т.е. показателей абсолютных отклонений SΔi должна быть равна нулю.

Если временной ряд представлен мультипликативной моделью, то в качестве сезонной компоненты используется индекс сезонности – Isi (S->Isi). Среднее всех сезонных компонент, т. е. индексов сезонности Isi, должно быть равно единице.

Обычно сумма индексов се­зонности хотя и незначительно, но отличается от 4 (для четырех кварталов сумма индексов должна быть равна 4, для года - 12, а их средняя рав­на 1,00), то для устранения этих расхождений определяется попра­вочный коэффициент как отношение теоретической суммы ин­дексов (4,0) к фактической величине их суммы.

Показатель абсолютного отклонения в i-том сезоне рассчитывается как среднее арифметическое из отклонений фактического и выровненного уровней временного ряда:

Индекс сезонности в i-том сезоне рассчитывается как среднее арифметическое из отношений фактического уровня временного ряда к выровненному:

Если, при построении аддитивной модели временного ряда, сумма всех абсолютных отклонений не равна нулю, то рассчитываются скорректированные значения сезонных компонент по формуле:

где L – общее количество сезонных компонент (уровни временного ряда могут быть представлены в виде квартальных показателей, либо детализированы по месяцам за весь временной отрезок). При этом, для определения среднего значения отклонений для соответствующего периода, все отклонения необходимо сгруппировать (соответственно, по аналогичным кварталам или месяцам каждого года) и только потом определить среднюю величину отклонений, на которую и будет произведена корректировка. В мультипликативной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В случае с поквартальным представлением уровней временного ряда, число периодов одного цикла равно 4.

Уровни исходного временного ряда корректируются на величину сезонной компоненты следующим образом:

1) для аддитивной модели: из исходных уровней вычитаются скорректированные показатели абсолютных отклонений

SΔi (S->SΔi) (Уt=TtCt+St+Et отсюда: Y - SΔскорр.=T+E)

2) для мультипликативной модели: уровни исходного временного ряда делятся на скорректированные индексы сезонности

Isi (S->Isi) (Уt=Tt*Ct*St*Et отсюда: Y: Isскорр.=T*E)

(Смотри на примере: Сезонная корректировка временного ряда)

На следующем этапе построения модели временного ряда осуществляется расчёт трендовой компоненты с помощью метода аналитического выравнивания функциями времени y=f(t) или кривыми роста. Данный метод выравнивания применяют не к исходному временному ряду, а к временному ряду с исключённой сезонной компонентой. Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию (T) и случайную компоненту (E).

Тренд-циклическая компонента

Циклическая компонента отличается от сезонной компоненты тем, что продолжительность цикла больше, чем один сезонный период (год) и разные циклы могут иметь разную продолжительность. Периодическая компонента рассматривается как долговременное колебательное изменение уровней - долгопериодическая функция. Примерами долговременной циклической компоненты могут служить демографические, инвестиционные и другие циклы; соответствующая реакция экономики страны, находящейся в определенной фазе своего развития: I – фаза кризиса; II – фаза депрессии; III – фаза оживления; IV – фаза подъема и стабилизации. Теория циклического развития создает основу для преодоления экстраполяционных подходов в построении прогнозов, для достоверного учета нелинейности экономической динамики. Ориентация на цикличный характер развития способствует верному выявлению и отражению в прогнозах предстоящих критических или поворотных точек в трендовом движении.

Развитие цивилизаций Случайная или нерегулярная компонента

На последнем шаге выделяется случайная или нерегулярная компонента (погрешность, шум, ошибка) путем вычитания из ряда с сезонной поправкой (аддитивная модель) или делением этого ряда (мультипликативная модель) на тренд-циклическую компоненту.

Привести схему построения аддитивной модели временного ряда.

Алгоритм построения аддитивной модели

Построение аддитивной моделей сводится к расчету значений T, S и E для каждого уровня ряда.

3 Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (T + E).

4 Аналитическое выравнивание уровней (T + E) с использованием полученного уравнения тренда.

5 Расчет полученных по модели значений (T + E).

Указать формулу расчета прогнозного значения по аддитивной модели временного ряда.

Прогнозирование по аддитивной модели. Прогнозное значение Ft уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент

Прогнозные значения по модели с аддитивной компонентой рассчитываются как

F = Т + S+/-E (тыс. шт. за квартал),

где трендовое значение Т, сезонная компонента S , Е - ошибка прогноза

Привести схему построения мультипликативной модели временного ряда .

Алгоритм построения мультипликативной модели

Построение мультипликативной моделей сводится к расчету значений T, S и E для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1 Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2 Расчет значений сезонной компоненты S.

3 Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (T x E).

4Аналитическое выравнивание уровней (T x E) с использованием полученного уравнения тренда.

5 Расчет полученных по модели значений (T x E).

6 Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок E для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

Указать формулу расчета прогнозного значения по мультипликативной модели временного ряда.

Прогнозирование по мультипликативной модели. Прогнозное значение Ft уровня временного ряда в мультипликативной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для мультипликативной модели фактическое значение рассчитывается по формуле:

Расчет фактического значения в мультипликативной модели

Т - трендовое значение S - сезонная вариация Е - ошибка прогноза

Описать схему построения модели прогнозирования на основе временных рядов при отсутствии сезонных колебаний.

Какие формулы расчета точечной и интервальной оценки прогнозного значения применяются в модели временного ряда при отсутствии сезонных колебаний?

В чем заключаются ошибки 1-го и 2-го рода временного ряда

Тема 9. Статистическое изучение динамики

Понятие и классификация временных рядов

Процесс развития социально-экономических явлений во времени принято называть динамикой. Для отображения динамики строят временные ряды (ряды динамики). Временной ряд представляет собой совокупность значений статистического показателя, расположенных в хронологическом порядке. Составными элементами ряда динамики являются:

1) отдельные значения показателя, которые называются уровнями ряда (y );

2) периоды или моменты (даты) времени (t )/

Существуют различные виды временных рядов. Их можно классифицировать по различным основаниям:

1)по способу выражения уровней ряда:

– ряды абсолютных величин;

– ряды относительных величин;

– ряды средних величин.

2) по способу представления хронологии:

– моментные ряды;

– интервальные ряды.

В моментных временных рядах уровни ряда выражают состояние явления на определенный момент времени (начало месяца, квартала, года и т.д.). Например, численность поголовья крупного рогатого скота в РФ на 1 января каждого года. В интервальных временных рядах уровни ряда выражают состояние явления за определенные интервалы (периоды) времени (за месяц, за квартал, за год). Например, ежегодный пассажирооборот железнодорожным транспортом.

Отдельные уровни интервального временного ряда можно суммировать. Отдельные уровни моментного временного ряда содержат элементы повторного счета, поэтому их суммирование бессмысленно.

3) по расстоянию между уровнями:

– временные ряды с равноотстоящими уровнями во времени;

– временные ряды с неравно отстоящими уровнями во времени;

4) по наличию основной тенденции в ряду:

– стационарные временные ряды;

– нестационарные временные ряды.

Стационарным называется временной ряд, если математическое ожидание значения признака и дисперсия постоянны, не зависят от времени. Нестационарные временные ряды имеют некоторую тенденцию развития.

5) по числу показателей:

– изолированные временные ряды;

– многомерные временные ряды (комплексные).

Если ведется анализ во времени одного показателя, то ряд динамики изолированный. В многомерном ряду представлена динамика нескольких показателей, характеризующих одно явление.

Сопоставимость уровней и смыкание рядов динамики

Важнейшим условием правильного построения временного ряда является сопоставимость всех входящих в него уровней. Проблема сопоставимости данных остро стоит в рядах динамики, потому что они охватывают значительные периоды времени, за которые могли произойти изменения и привести к несопоставимости статистических данных. Прежде чем анализировать динамический ряд необходимо убедиться в сопоставимости уровней ряда и при отсутствии последней добиваться ее, пользуясь дополнительными расчетами.

Основные условия сопоставимости уровней ряда динамки :

1) одинаковые единицы измерения показателей;

2) единая методика расчета показателей;

3) одинаковые территориальные границы;

4) одинаковая полнота охвата различных частей явления;

5) учет изменения цен.

Это условие необходимо соблюдать в процессе сбора и обработки данных, либо путем их перерасчета. Приведение уровней ряда к сопоставимому виду осуществляется методом смыкания рядов динамики . Под смыканием понимают объединение в один ряд (более длинный) двух или нескольких рядов динамики, уровни которых исчислены по разной методологии или разным территориальным границам. Для осуществления смыкания необходимо, чтобы для одного из периодов (переходного) имелись данные, исчисленные по разной методологии (или в разных границах).

Имеются данные о производстве продукции предприятия, методика получения которых в течение рассматриваемого периода претерпела некоторые изменения (табл. 9.1).

Таблица 9.1 – Динамика объема производства продукции, млн. руб.

Показатели
По старой методике	19,1	19,7	20,0	21,2
По новой методике				22,8	23,6	24,5	26,2	28,1
Сомкнутый (сопоставимый) ряд	21,0	21,7	22,0	22,8	23,6	24,5	26,2	28,1

Для анализа динамики объемов производства продукции за 2006-2013 гг. необходимо сомкнуть (объединить) исследуемые два ряда в один. Для этого следует пересчитать данные 2006-2008 гг. по новой методике. На основе данных за 2009 г. найдем коэффициент перевода (k ) как соотношение между ними:

k = 22,8 / 21,2 = 1,1,

Умножая на полученный коэффициент данные за 2006-2008 гг., приводим их в сопоставимый вид с последующими уровнями, таким образом, получаем сомкнутый (сопоставимый) ряд.

Показатели изменения уровней временного ряда

Анализ временных рядов включает расчет различных показателей, характеризующих изменение уровней ряда. Показатели, используемые для анализа временных рядов, можно разделить на абсолютные, относительные и обобщающие (средние) (рис. 9.1).

Рис. 9.1. Основные показатели изменения уровней временного ряда

Абсолютные и относительные показатели могут быть рассчитаны на цепной или базисной основе. При расчете цепных показателей каждый уровень ряда сравнивается с непосредственно ему предшествующим. При расчете базисных показателей каждый уровень ряда сравнивается с одним и тем же уровнем, принятым за базу сравнения. Обычно в качестве базы сравнения принимается первый уровень временного ряда.

Рассмотрим формулы для расчета основных показателей изменения уровней временного ряда.

Абсолютный прирост (Δy ) определяется как разность двух сравниваемых уровней.

Абсолютный прирост цепной :

Δy ц = y i – y i – 1 ,

Абсолютный прирост базисный :

Δy б = y i – y 0 ;

где y i – i -й уровень ряда;

y 0 – базисный уровень ряда.

Темп роста (Т р) определяется как отношение двух сравниваемых уровней временного ряда и выражается в процентах.

Темп роста цепной :

Темп роста базисный:

Темп роста может быть выражен в виде коэффициента (К р). В этом случае он показывает, во сколько раз данный уровень ряда больше (или меньше) предшествующего (или базисного) уровня.

Темп прироста (Т пр) показывает, на какую долю (или процент) данный уровень ряда больше (или меньше) предыдущего или базисного.

Темп прироста цепной :

.

Темп прироста базисный:

.

Темп прироста можно вычислить также путем вычитания из темпов роста 100%, то есть Т пр = Т р –100.

Абсолютное значение одного процента прироста () показывает, сколько абсолютных единиц приходится на 1% прироста:

.

Средние величины временного ряда – это обобщающие характеристики развития явления за изучаемый период.

Средний уровень временного ряда () рассчитывается по средней хронологической. Средней хронологической называется средняя, исчисленная из значений, изменяющихся во времени. Методы расчета среднего уровня интервального и моментного рядов динамики различны.

Средний уровень интервального ряда с равноотстоящими уровнями находится по формуле средней арифметической простой:

где n – число уровней ряда.

Средний уровень моментного ряда с равноотстоящими уровнями определяют по формуле средней хронологической простой:

,

Средний абсолютный прирост:

.

Средний темп роста:

Средний темп прироста:

.

Для комплексного анализа временного ряда необходимо использовать всю систему показателей.

Пример

Проанализировать динамику производства легковых автомобилей в городе N (табл. 9.2).

Таблица 9.2 - Динамика производства легковых автомобилей в городе N

Год	Тыс. шт.	Абсолютные приросты, тыс. шт.	Темпы роста, %	Темпы прироста	Абсолютное значение 1% прироста, тыс. шт.
цепные	базисные	цепные	базисные	цепные	базисные
	835,1 867,4 986,2 836,0 955,5 969,0 1000,0	- 32,3 118,8 -152,2 119,5 13,5 31,0	- 32,3 151,1 0,9 120,4 133,9 164,9	- 103,87 113,70 84,77 114,29 101,41 103,20	- 103,87 118,09 100,10 114,42 116,03 119,75	- 3,87 13,70 -28,90 14,29 1,41 3,20	- 3,87 18,09 0,10 14,42 16,03 19,75	- 8,35 8,67 5,27 8,36 9,56 9,69
Итого	6449,2	164,9	-	-	-	-	-	-

Например, для 2009 г.

Это значит, что за период 2007-2013 гг. в среднем каждый год объем производства легковых автомобилей увеличивался на 2,3%.