Простые и сложные процентные ставки. Отсюда получаем

И расчет параметров этой сделки.

Курс финансовой математики состоит из двух разделов: разовые платежи и потоки платежей. Разовые платежи — это финансовые сделки, при которых каждая сторона, при реализации условий контракта выплачивает сумму денег только один раз (либо дает в долг, либо отдает долг). Потоки платежей — это финансовые сделки, при которых каждая сторона при реализации условий контракта производит не менее одного платежа.

В финансовой сделке участвуют две стороны — кредитор и заемщик. Каждой стороной может быть как банк, так и клиент. Основная финансовая сделка — предоставление некоторой суммы денег в долг. Деньги не равносильны относительно времени. Современные деньги, как правило, ценнее будущих. Ценность денег во времени отражается в величине начисляемых процентных денег и схеме их начисления и выплаты.

Математическим аппаратом для решения таких задач является понятие "процентов" и и .

Проценты — основные понятия

Процент — одна сотая от заранее оговоренной базы (то есть база соответствует 100%).

Примеры:

Ответ: больше на

	первоначальная сумма долга
(дни)	фиксированный промежуток времени, к которому приурочена процентная (учетная) ставка (как правило, один год — 365, иногда 360 дней)
	процентная (учетная) ставка за период
	срок долга в днях
	срок долга в долях от периода
	сумма долга в конце срока

Процентная ставка

Процентная ставка — относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени. Отношение дохода (процентных денег — абсолютная величина дохода от представления денег в долг) к сумме долга.

Период начисления — это временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, его не следует путать со сроком начиления. Обычно в качестве такого периода принимаю год, полугодие, квартал, месяц, но чаще всего дело имеют с годовыми ставками.

Капитализация процентов — присоединение процентов к основной сумме долга.

Наращение — процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов.

Дисконтирование — обратно наращению, при котором сумма денег, относящаяся к будущему уменьшается на величину соответствующую дисконту (скидке).

Величина называется множителем наращения, а величина — множителем дисконтирования при соответствующих схемах.

Интерпретация процентной ставки

При схеме "простых процентов " исходной базой для начисления процентов в течение всего срока долга на каждом периоде применения процентной ставки является первоначальная сумма долга .

При схеме "сложных процентов " (для целых ) исходной базой для начисления процентов в течение всего срока на каждом периоде применения процентной ставки является наращенная за предыдущий период сумма долга.

Присоединение начисленных процентных денег к сумме, которая служит базой для их вычисления, называется капитализацией процентов (или реинвестированием вклада). При применении схемы "сложных процентов" капитализация процентов происходит на каждом периоде .

Интерпретация учетной ставки

При схеме "простых процентов" (простой дисконт ) — исходной базой для начисления процентов в течение всего срока долга на каждом периоде применения учетной ставки является сумма , подлежащая выплате в конце срока вклада.

При схеме "сложных процентов" (для целых ) (сложный дисконт ) — исходной базой для начисления процентов в течение всего срока на каждом периоде применения учетной ставки является сумма долга в конце каждого периода.

Простая и сложная процентные ставки

"Прямые" формулы

	Простые проценты	Сложные проценты
— процентная ставка			наращение
— процентная ставка			дисконтирование (банковский учет)

"Обратные" формулы

	Простые проценты	Сложные проценты
— процентная ставка			дисконтирование (математический учет)
— процентная ставка			наращение

Переменная процентная ставка и реинвестирование вкладов

Пусть срок долга имеет этапов, длина которых равна , ,

— при схеме простых процентов

1 . В контракте предусмотрено начисление а) простого, б) сложного процента в таком порядке: в первом полугодии по годовой процентной ставке 0,09, потом в следующем году ставка уменьшилась на 0,01, а в следующих двух полугодиях увеличилась на 0,005 в каждом из них. Найти величину наращенного вклада в конце срока, если величина первоначального вклада равна $800.

Рыночная процентная ставка как важнейший макроэкономический показатель

Важным выступает процентная ставка. Процентная ставка — это плата за деньги, предоставляемые в . Были времена, когда законом не допускалось вознаграждение за то, что неизрасходованные, заемные деньги давали в заем. В современном мире широко пользуются кредитами, за пользование которыми устанавливается процент. Поскольку процентные ставки измеряют издержки использования денежных средств предпринимателями и вознаграждение за неиспользование денег потребительским сектором, то уровень процентных ставок играет значительную роль в экономике страны в целом.

Очень часто в экономической литературе пользуются термином "процентная ставка", хотя существует множество процентных ставок. Дифференциация процентных ставок связана с риском, на который идет заимодатель. Риск возрастает с увеличением срока кредита, так как становится выше вероятность того, что деньги могут потребоваться кредитору раньше установленной даты возврата ссуды, соответственно повышается процентная ставка. Она увеличивается, когда за кредитом обращается малоизвестный предприниматель. Мелкая фирма уплачивает более высокую процентную ставку, чем крупная. Для потребителей процентные ставки также варьируются.

Однако как бы ни отличались ставки процента, все они находятся под воздействием : если предложение денег уменьшается, то процентные ставки увеличиваются, и наоборот. Именно поэтому рассмотрение всех процентных ставок можно свести к изучению закономерностей одной процентной ставки и в дальнейшем оперировать термином "процентная ставка"

Различают номинальные и реальные процентные ставки

Реальная процентная ставка определяется с учетом уровня . Она равна номинальной процентной ставке, которая устанавливается под воздействием спроса и предложения, за вычетом уровня инфляции:

Если, например, банк предоставляет кредит и взимает при этом 15%, а уровень инфляции составляет 10%, то реальная процентная ставка равна 5% (15% — 10%).

Способы начисления процентов:

Простая процентная ставка

График роста по простым процентам

Пример

Определить проценты и сумму накопленного долга если ставка по простым процентам 20% годовых, ссуда равна 700 000 руб., срок 4 года.

• I = 700 000 * 4 * 0,2 = 560 000 руб.
• S = 700 000 + 560 000 = 1 260 000 руб.

Ситуация, когда срок ссуды меньше периода начисления

Временная база может быть равна:

• 360 дней. В в этом случае получают обыкновенные или коммерческие проценты .
• 365 или 366 дней. Используется для расчета точных процентов .

Число дней ссуды

• Точное число дней ссуды — определяется путем подсчета числа дней между датой ссуды и датой ее погашения. День выдачи и день погашения считаются за один день. Точное число дней между двумя датами можно определить по таблице порядковых номеров дней в году.
• Приближенное число дней ссуды — определяется из условия, согласно которому любой месяц принимается равным 30 дням.

На практике применяются три варианта расчета простых процентов:

• Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365)
• Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (банковский; 365/360). При числе дней ссуды, превышающем 360, данный способ приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой.
• Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360). Применяется в промежуточных рассчетах, так как не сильно точный.

Пример

Ссуда в размере 1 млн.рублей выдана 20 января до 5 октября включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? Рассчитать в трех вариантах подсчета простых процентов.

Для начала определим число дней ссуды: 20 января это 20 день в году, 5 октября — 278 день в году. 278 — 20 = 258. При приближенном подсчете — 255. 30 января — 20 января = 10. 8 месяц умножить на 30 дней = 240. итого: 240 + 10 + 5 = 255.

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365)

• S = 1 000 000 * (1 + (258/365)*0.18) = 1 127 233 руб.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360/365)

• S = 1 000 000 * (1 + (258/360)*0.18 = 1 129 000 руб.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360)

• S = 1 000 000 (1 + (255/360)*0.18 = 1 127 500 руб.

Переменные ставки

В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется следующим образом.

Общие положения
Практически все финансово-экономические расчеты, так или иначе, связаны с начислением процентов. В банковской практике применяются простые и сложные проценты.
Процентные деньги (проценты) - это сумма доходов от предоставления денег в долг в различных формах (выдача ссуды, открытие депозитных счетов, покупка облигаций, сдача оборудования в аренду и др.).
Сумма процентных денег зависит от трех факторов:
суммы основного долга (размера ссуды);
срока погашения;
процентной ставки, которая характеризует интенсивность начисления процентов.
Проценты могут выплачиваться по мере их начисления или присоединяться к сумме долга. Увеличение суммы долга за счет присоединения начисленных процентов называют наращением первоначальной суммы долга.
Отношение наращенной суммы к первоначальной сумме долга называют множителем (коэффициентом) наращения (КН):
Кн = 8 / Р,
где 8 - наращенная сумма (погашаемая);
Р - первоначальная сумма долга.
КН всегда больше единицы.
Интервал времени, за который начисляют проценты, называют периодом начисления.
При использовании простых ставок процентов сумма процентных денег в течение всего срока долга определяется исходя из его первоначальной суммы, независимо от периодов начисления и их длительности, т.е. отсутствует капитализация процентов (начисление процентов на процент).
При использовании сложных ставок начисленные за предыдущий период проценты прибавляются к сумме долга и на них в следующем периоде начисляются проценты (имеет место капитализация процентов).
Величина самих ставок (и простых, и сложных) может меняться или оставаться неизменной. Если процентная ставка изменяется, но при этом нет капитализации, т.е. проценты всегда начисляются на одну и ту же сумму, то они будут простыми. Если же будет капитализация даже при неизменных процентных ставках, то проценты - сложные.
Как простые, так и сложные проценты, могут начисляться двумя методами:
декурсивным - проценты начисляются в конце каждого интервала;
антисипативным - проценты начисляются в начале каждого интервала.
В первом случае величина процентных денег определяется исходя из величины предоставленного кредита. Декурсивная процентная ставка называется ссудным процентом. Это отношение суммы начисленного за интервал времени дохода к первоначальной сумме (сумме на начало интервала начисления процентов):
1 = Доход х 100% / Р.
При антисипативном (предварительном) методе начисления процентов сумма процентных денег определяется исходя из наращенной суммы. Процентная ставка (ё) называется учетной или антисипативной:
ё = Доход х 100% / 8.
Более распространен в мировой практике декурсивный метод.
Рассмотрим различные виды ставок и методы их начисления в соответствии со следующим планом:
простые декурсивные процентные ставки;
сложные декурсивные процентные ставки;
простые антисипативные (учетные) ставки;
сложные антисипативные (учетные) ставки;
эквивалентные процентные ставки.
Декурсивный метод начисления простых процентов
Начисление простых ставок применяется, как правило, при краткосрочном кредитовании.
Введем обозначения:
8 - наращенная сумма, р.;
Р - первоначальная сумма долга, р.;
1 - годовая процентная ставка (в долях единицы);
п - срок ссуды в годах.
В конце первого года наращенная сумма долга составит
81 = Р + Р 1 = Р (1+ 1);
в конце второго года:
82 = 81 + Р 1 = Р (1+ 1) + Р 1 = Р (1+ 2 1); в конце третьего года:
83 = 82 + Р1 = Р (1+ 2 1) + Р 1 = Р (1+3 1) и так далее. В конце срока п: 81 = Р (1+ п 1).
Это формула наращения по простой ставке процентов.
Надо иметь в виду, что процентная ставка и срок должны соответствовать друг другу, т.е. если берется годовая ставка, то срок должен быть выражен в годах (если квартальная, то и срок - в кварталах и т.д.).
Выражение в скобках представляет собой коэффициент наращения по простой ставке процентов:
Кн = (1+ п 1).
Следовательно,
81 = Р Кн.
Задача 5.1
Банк выдал ссуду в размере 5 млн р. на полгода по простой ставке процентов 12% годовых. Определить погашаемую сумму.
Решение:
8 = 5 млн. (1 + 0.5 ¦ 0.12) = 5 300 000 р.
Если срок, на который деньги берутся в долг, задан в днях, наращенная сумма будет равна 8 = Р (1 + д/К 1),
где д - продолжительность срока в днях;
К - число дней в году.
Величину К называют временной базой.
Временная база может браться равной фактической продолжительности года - 365 или 366 (тогда проценты называются точными) или приближенной, равной 360 дням (тогда это обыкновенные проценты).
Значение числа дней, на которые деньги взяты в долг, может также определяться точно или приближенно. В последнем случае продолжительность любого целого месяца принимается равной 30 дням. В обоих случаях дата выдачи де-нег в долг и дата их возвращения считается за один день.
Задача 5.2
Банк выдал ссуду в размере 200 тыс. р. с 12.03 по 25.12 (год високосный) по ставке 7% годовых. Определить размер погашаемой суммы с различными вариантами временной базы при точном и приближенном числе дней ссуды и сделать вывод о предпочтительных вариантах с точки зрения банка и заемщика.
Решение:
Точное число дней ссуды с 12.03. по 25.12:
20+30+31+30+31+31+30+31+30+25=289.
Приближенное число дней ссуды:
20+8-30+25=285;
а) Точные проценты и точное число дней ссуды:
8 =200 000 (1+289/366 ¦ 0.07) = 211 016 р.;
б) обыкновенные проценты и точное число дней ссуды:
8 =200 000 (1+289/360 ¦ 0.07) =211 200;
в) обыкновенные проценты и приближенное число дней ссуды:
8= 200 000 (1+285/360 ¦ 0.07) =211 044;
г) точные проценты и приближенное число дней ссуды:
8= 200 000 (1+285/366 ¦ 0.07) =210 863.
Таким образом, самая большая наращенная сумма будет в варианте б) - обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, а самая маленькая - в варианте г) - точные проценты с приближенным числом дней ссуды.
Следовательно, с точки зрения банка как кредитора предпочтительным является вариант б), а с точки зрения заемщика - вариант г).
Надо иметь в виду, что кредитору в любом случае более выгодны обыкновенные проценты, а заемщику - точные (при любых ставках - простых или сложных). В первом случае наращенная сумма всегда больше, а во втором случае - меньше.
Если ставки процентов на разных интервалах начисления в течение срока долга будут различными, наращенная сумма определяется по формуле
n
8 = Р (1 + X п 10,
1=1
где N - количество интервалов начисления процентов;
п - длительность 1-го интервала начисления;
^ - ставка процентов на I- м интервале начисления.
Задача 5.3
Банк принимает вклады по простой ставке процентов, которая в первый год составляет 10%, а потом каждые полгода увеличивается на 2 процентных пункта. Определить размер вклада в 50 тыс. р. с процентами через 3 года.
Решение:
8 = 50 000 (1 + 0.1 + 0.5 0.12 + 0.5 0.14 + 0.5 0.16 + 0.5 0.18) = 70 000 р.
Используя формулу для наращенной суммы, можно определить срок ссуды при прочих заданных условиях.
Срок ссуды в годах:
8 - Р N = .
Р 1
Задача 5.4
Определить срок ссуды в годах, за который долг 200 тыс. р. возрастет до 250 тыс. р. при использовании простой ставки процентов - 16% годовых.
Решение:
(250 000 - 200 000) / (200 000 0.16) = 1.56 (лет).
Из формулы для наращенной суммы можно определить ставку простых процентов, а также первоначальную сумму долга.
Решить самостоятельно
Задача 5.5
При выдаче кредита 600 тыс. р. оговорено, что заемщик вернет через два года 800 тыс. р. Определить использованную банком величину ставки процентов.
Ответ: 17%.
Задача 5.6
Ссуда, выданная по простой ставке 15% годовых, должна быть возвращена через 100 дней. Определить сумму, полученную заемщиком, и сумму процентных денег, полученных банком, если возвращаемая сумма должна составить 500 тыс. р. при временной базе 360 дней.
Ответ: 480 000р.
Операцию нахождения первоначальной суммы долга по известной погашаемой называют дисконтированием. В широком смысле термин "дисконтирование" означает определение значения Р стоимостной величины на некоторый момент времени при условии, что в будущем она будет равна заданному значе-нию 8. Подобные расчеты называют также приведением стоимостного показателя к заданному моменту времени, а значение Р, определенное дисконтированием, называют современным, или приведенным, значением стоимостной величины. Дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных расчетах фактор времени. Коэффициент дисконтирования всегда меньше единицы.
Формула дисконтирования по простой ставке процентов:
Р = 8 / (1 + ш), где 1 / (1 + ш) - коэффициент дисконтирования.
Декурсивный метод начисления сложных процентов
При долгосрочных финансово-кредитных операциях проценты после очередного периода начисления присоединяются к сумме долга, и в следующем периоде проценты начисляются на общую сумму, т.е. с капитализацией процентов. Такие проценты называются сложными, база для их начисления увеличивается с каждым очередным периодом начисления.
Наращенная сумма за п лет при использовании постоянной годовой ставки сложных процентов 1с определяется по формуле
8 = Р (1 + 1с)п.
Задача 5.7
Банк выдал ссуду 500 тыс. р. на 3 года. Определить погашаемую сумму при использовании сложной ставки 18% годовых и сумму процентных денег.
Решение:
8 = 500 000 (1 + 0.18)3 = 821 516 р.
Процентные деньги = 821 516 - 500 000 = 321 516 р.
Начисление сложных процентов при сроке ссуды более одного года дает большую сумму процентных денег, чем начисление простых процентов.
Если начисление сложных процентов осуществляется несколько раз в году (по месяцам, кварталам, полугодиям), то используется номинальная ставка процентов - годовая ставка, исходя из которой определяется величина ставки процентов, применяемой в каждом периоде начисления.
Наращенная сумма при этом определяется по формуле
8 = Р (1 + ] / т)тп, где ] - номинальная ставка сложных процентов, десятичная дробь;
т - количество периодов начисления процентов в году;
п - срок ссуды в годах;
] / т - ставка процентов в каждом периоде начисления, десятичная дробь.
Задача 5.8
Банк ежеквартально начисляет проценты на вклады по номинальной ставке 16% годовых. Определить сумму, полученную вкладчиком через 5 лет, если первоначальная сумма вклада равна 100 тыс. р.
Решение:
8 = 100 000 (1 + 0.16 / 4)4 х 5 = 219 112.2 р.
Из формулы для наращенной суммы можно определить значение суммы, выдаваемой заемщику, т.е. осуществить дисконтирование суммы 8 по сложной ставке процентов.
Решите самостоятельно
Задача 5.9
Определите современную величину суммы 500 тыс. р., которая будет выплачена через 3 года при использовании ставки сложных процентов 20% годовых.
Ответ: 289 351.8р.
Срок ссуды (из формулы наращенной суммы) определится
п = 1од (8/Р) / 1од (1+1).
Логарифмы могут браться с любыми равными основаниями.
Задача 5.10
Банк начисляет сложные проценты по ставке 12% годовых. Определите срок в годах, за который сумма вклада в 25 тыс. руб. вырастет до 40 тыс. р.
Ответ: 4.15 года.
Задача 5.11
Сумма долга удвоилась за 3 года. Определить использованную годовую ставку сложных процентов.
Ответ: 26%.
Антисипативный метод начисления простых процентов (простые учетные ставки)
При использовании учетных ставок сумма процентных денег от предоставления денег в долг определяется исходя из суммы, которая должна быть возвращена, т.е. величиной получаемого кредита считается не получаемая, а наращенная сумма. Процентные деньги, начисленные по учетной ставке, удерживаются непосредственно при выдаче ссуды, а заемщик получает сумму кредита сразу за вычетом процентных денег. Такая операция называется дисконтированием по учетной ставке, а также банковским или коммерческим учетом. Сумма процентных денег, начисленная по учетной ставке, называется дисконтом.
Сумма, получаемая заемщиком, определится по формуле
Р = 8 (1 - п й),
где й - простая учетная ставка;
(1 - п ё) - коэффициент дисконтирования по простой учетной ставке.
Из формулы видно, что, в отличие от ссудных ставок, учетные ставки не могут принимать любые значения, коэффициент дисконтирования не может быть отрицательным, т.е. п^ё должно быть строго меньше единицы. Значения ё, близкие к предельным, на практике не встречаются. Задача 5.12
Заемщик берет ссуду на квартал с обязательством возвратить 100 тыс. р. Определить сумму, полученную заемщиком, и величину дисконта, удержанного банком, при учетной ставке 15% годовых.
Решение:
Р = 100 000 (1 - 0.25 х 0.15) = 96 250 р.
Дисконт = 8 - Р = 100 000 - 96 250 = 3 750 р.
Если срок ссуды задан в днях (д), сумма, получаемая заемщиком, определится по формуле
Р = 8 (1 - а д / К),
где К - количество дней в году (временная база).
Решите самостоятельно
Задача 5.13
Определить сумму, полученную заемщиком, и величину дисконта, полученного банком, если по договору заемщик должен через 200 дней возвратить 100 тыс. р. при учетной ставке банка 10% годовых и временной базе 360 дней.
Ответ: 94 444.44р.; 5 555.56р.
На практике учетные ставки используются при покупке (учете) векселей и других денежных обязательств. В этом случае банк или другое финансовое учреждение до наступления срока по векселю покупает его у владельца (поставщика) по цене, меньшей той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, или, как принято говорить, банк учитывает вексель с дисконтом. Владелец векселя при этом получает деньги ранее указанного в векселе срока за вы-четом дохода банка в виде дисконта. Банк, получив при наступлении срока оплаты векселя указанную в нем сумму, реализует (получает) дисконт.
Указанную операцию можно рассматривать как выдачу банком ссуды в размере суммы, указанной в векселе, по учетной ставке, используемой при его учете, на срок, равный сроку от даты учета до даты погашения векселя. Следовательно, сумма, выдаваемая владельцу учитываемого векселя, будет определяться по формуле
Р = 8 (1 - Дп-ё) = 8 (1 - ё-Дд / К), где Дп = Дд / К - срок в днях от даты учета до даты погашения векселя;
Ад - число дней от даты учета до даты погашения векселя.
Задача 5.14
При учете векселя на сумму 100 тыс. р., до срока оплаты которого осталось 80 дней, банк выплатил его владельцу 98 тыс. р. Определить, какую учетную ставку использовал банк при временной базе 360 дней.
Решение:
ё = (100 000 - 98 000) х 360 / (100 000 х 80) = 0.09 = 9%.
Решите самостоятельно
Задача 5.15
Вексель на сумму 200 тыс. р. учет в банке за 30 дней до срока его погашения по учетной ставке 15% годовых. Определить сумму, полученную владельцем векселя, и сумму дисконта, полученную банком, при временной базе 360 дней.
Ответ: 197 500р.; 2 500р.
Задача 5.16
Банк выдает ссуды по учетной ставке 15% годовых. Определить срок ссуды в годах, если заемщик хочет получить 500 тыс. р., а погашаемая сумма должна составить 550 тыс. р
. Ответ: 0.61 года.
Антисипативный метод начисления сложных процентов (сложные учетные ставки)
Введем следующие обозначения:
ёс - сложная учетная ставка;
^ - номинальная годовая учетная ставка (применяется при начислении процентов по учетной ставке несколько раз в году);
Формула дисконтирования по сложной учетной ставке:
Р = 8 (1 - йс)п.
Наращенная сумма через п лет: 8 = Р / (1 - Дс)п.
Здесь 1 / (1 - йс)п - коэффициент наращения по сложной учетной ставке.
При равенстве ссудного процента и учетной ставки наращение первоначальной суммы во втором случае (антисипативным методом) идет быстрее. Поэтому в литературе можно встретить утверждение о том, что декурсивный метод начисления процентов более выгоден заемщику, а антисипативный - кредитору. Однако это можно считать справедливым лишь для небольших процентных ставок, когда расхождение не столь значительно. Но с ростом процентной ставки разница в наращенных суммах становится огромной (и растет с ростом %), и сравнение этих двух методов теряет всякий смысл.
Из формулы следует, что учетная ставка может принимать значения только строго меньше 100%. Наращенная сумма быстро увеличивается с ростом учетной ставки, стремясь к бесконечности.
Если учетная ставка изменяется в течение срока ссуды:
n
8 = Р / П (1 - п й).
1=1
Здесь п1, п2, ... пN - продолжительность интервалов начисления в годах;
й1, ... ^ - учетные ставки в этих интервалах;
Если начисление процентов т раз в году, то
8 = Р / (1 - Г/т)™
Если провести расчеты 8 для разных видов процентных ставок (простых и сложных ссудных и учетных) при одинаковых Р и размерах процентных ставок, то наибольший рост капитала получится в случае начисления процентов по простой учетной ставке.
Задача 5.17
Первоначальная сумма долга - 25 тыс. р. Определить наращенную сумму через 3 года при применении декурсивного и антисипативного способов начисления процентов. Годовая процентная ставка - 25%.
Решение:
= 25 000 (1 + 0.25)3 = 48 828,125 р.;
= 25 000 (1 - 0.25)-3 = 59 255,747 р.
Решите самостоятельно
Задача 5.18
Определить современное значение суммы в 120 000 р., которая будет выплачена через 2 года при использовании сложной учетной ставки 20% годовых.
Ответ: 76 800 р
Задача 5.19.
Определить наращенные суммы для различных видов процентных ставок при одинаковых начальных условиях: Р = 10 000 р., процентная ставка = 10%.
Результаты расчетов свести в таблицу и сравнить скорости наращения. Вид ставки и формула расчета 8 Срокп = 1 Срокп =3 Срокп =6 Простая ссудная: 8 = Р (1 + т) 11 000 13 000 16 000 Сложная ссудная: 8 = Р (1 + 1с)п Непрерывный способ начисления %% 8 = Р е] п 11 044 Простая учетная: 8 = Р / (1 - йп) Сложная учетная: 8 = Р / (1 - й)п
Для примера в верхней строке приведены результаты расчетов наращенных сумм по простой ссудной ставке при сроках ссуды, равных одному, трем и шести годам. Пустые строки следует заполнить самостоятельно.
В формуле расчета для непрерывного начисления процентов е - основание натурального логарифма. Для п = 1: 8 = 10 000 х 2.701 х 1 = 11 044.
Эквивалентные процентные ставки Эквивалентные процентные ставки - это такие ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты. Их необходимо знать, когда существует возможность выбора условий финансовых операций и требуется инструмент для корректного сравнения различных процентных ставок.
Для нахождения эквивалентных процентных ставок используют уравнения эквивалентности. Выбирается величина, которую можно рассчитать при использовании различных видов ставок (обычно это наращенная сумма). На основании равенства двух выражений для данной величины составляется уравнение эквивалентности, из которого путем соответствующих преобразований получается соотношение, выражающее зависимость между процентными ставками различного вида. Например, для нахождения простой учетной ставки, эквивалентной простой ссудной ставке, уравнение эквивалентности будет иметь вид
Р (1 + ш) = Р/ (1 - пй) или (1 + ш) = 1 / (1 - пй), т.е. необходимо приравнять соответствующие коэффициенты наращения. Отсюда й = 1 / (1 + ш) и 1 = й / (1 - пй).
Задача 5.20
Срок уплаты по долговому обязательству - полгода, простая учетная ставка - 18%. Какова доходность данной операции, измеренная в виде простой ставки ссудных процентов?
Решение:
1 = 0.18 / (1 - 0.5 х 0.18) = 0.198 = 19.8%. Для нахождения эквивалентности между собой годовой сложной ссудной ставки и годовой сложной номинальной ссудной ставки приравняем выражения: 8 = Р (1 + 1с)п и 8 = Р (1 + Ут)™, т.е. (1 + дп = (1 + Ут)™
Отсюда 1с = (1 + Ут) т - 1.
Полученная годовая ставка сложных процентов, эквивалентная номинальной процентной ставке, называется эффективной ставкой сложных процентов. Ее необходимо знать для определения реальной доходности или сравнения процентов, когда используются разные интервалы начисления.
Задача 5.21
Рассчитать эффективную ставку сложных процентов, если номинальная ставка 24% и начисление процентов ежемесячное.
Решение:
1с = (1 + 0.24 / 12)12 - 1 = 0.268 = 26.8%.
Задача 5.22
Определить, под какую ставку процентов выгоднее поместить капитал в 10 000 тыс. р. на 5 лет:
а) под простую ссудную ставку 20% годовых;
б) под сложную ссудную ставку 12% годовых при ежеквартальном начислении процентов.
Решение:
Здесь не обязательно считать величину наращенной суммы при различных ставках. Поэтому не важна величина первоначального капитала. Достаточно, например, найти простую процентную ставку, эквивалентную данной сложной ставке, т.е. использовать формулу
1 = [(1 + ] / т)тп - 1] / п = [(1 + 0.12 / 4)20 - 1] / 5 = 0.1612 = 16.12%.
Поскольку простая процентная ставка 16.12%, которая дала бы одинаковый с данной сложной процентной ставкой (12%) результат, значительно ниже предложенной в первом варианте ставки (20%), ясно, что гораздо выгоднее первый вариант вложения (под простую ставку 20% годовых).
Посчитаем теперь наращенные суммы в обоих случаях:
а) 8 = 10 000 (1 + 5 х 0.2) = 20 000 тыс. р.;
б) 8 = 10 000 (1 + 0.12 / 4)20 = 18 061 тыс. р.
Полученный результат подтверждает ранее сделанный вывод о том, что первый вариант более выгоден, поскольку дает большую сумму наращения. При этом использование эквивалентных ставок вдвое сокращает расчеты.
Решите самостоятельно
Задача 5.23
Вексель учтен за три месяца до срока его погашения по учетной ставке 20% годовых. Определить значение эквивалентной ставки простых процентов, определяющей доходность операции учета.
Ответ: 21.1%.
Задача 5.24
Простая ставка процентов равна 20% годовых. Определить значение эквивалентной ей учетной ставки при выдаче ссуды на полгода.
Ответ: 18%.
Задача 5.25
Кредит на два года предоставлен по ставке сложных процентов 16% годовых. Определить значение эквивалентной учетной ставки при выдаче ссуды на полгода.
Ответ: 14.5%.
Задача 5.26
По депозитному сертификату сроком на пять лет начисляются простые ссудные проценты по ставке 15% годовых. Определить эквивалентную ставку сложных процентов.
Ответ: 11.84%.
Задача 5.27
Банк ежемесячно начисляет проценты на вклады по номинальной годовой ставке 12% годовых. Определить доходность вкладов по сложной годовой ставке процентов.
Ответ: 12.68%.
Можно сделать следующие выводы:
Значение эффективной ставки больше значения номинальной, а совпадают они при т = 1.
Простая учетная ставка всегда меньше эквивалентных ей других ставок (поскольку наращение по этой ставке при прочих равных условиях всегда быстрее).
Эквивалентность различных процентных ставок не зависит от величины первоначальной суммы Р (первоначальная сумма предполагается одинаковой).
Эквивалентность процентных ставок всегда зависит от продолжительности периода начисления процентов за исключением случаев эквивалентности между собой сложных процентных ставок разного вида (если период начисления один и тот же).

Сложная процентная ставка

Формулы наращения

Сложная процентная ставка наращения – это процентная ставка, при которой база начисления, в отличие от простых процентов, является п е р е м е н н о й, т.е. проценты начисляются на проценты.

Также заранее оговаривается некоторый единичный промежуток начисления процентов (год, месяц, квартал и т.д.) и ставка процента i (илиi % = 100i ). Пусть начальная сумма долга равнаP . Тогда через единичный промежуток сумма долга составитS 1 =P (1+i ), как и в случае простых процентов. Однако к концу 2-го единичного промежутка сумма долга составитS 2 =S 1 (1+i ) =P (1+i )2 (в отличие от формулыS 2 =P (1+2i ) для простых процентов. К концу 3-го периода получаемS 3 =S 2 (1+i ) =P (1+i )3 . И т.д. К концу n -го единичного промежутка получаем

S n =P (1+i )n .

Итак, через n промежутков начальная суммаP увеличится в (1+i )n раз. Множитель (1+i )n называетсямножителем наращения . Отметим, что наращение по сложным процентам представляет рост начальной суммы по закону геометрической прогрессии, первый член которой равенP , а знаменатель 1+i .

Задача 1 . Исходная сумма вкладаP = 40 000 р. Процентная ставкаi %=10% годовых. Определить наращѐнную по сложным процентам за 3 года, а затем сравнить ее с суммой наращения по схеме простых процентов.

Решение . Применяя формулу (1) имеем

S 3,слож =P (1+i )3 = 40 000 (1+0.1)3 = 53 240 р.

Вычислим наращѐнную сумму по схеме простых процентов:

S 3,пр =P (1+3i ) = 40 000 (1+0.3) = 52 000 р. < 53 240 р.

Итак, в рассматриваемом случае использование сложных процентов приводит к большей наращѐнной сумме, что выгоднее вкладчику по сравнению с наращением по схеме простых процентов.

Формула наращения сложных процентов (1), выведенная для целых

положительных n , применима и для нецелыхt					0: S t	P (1+i )t .
Задача 2 . Какой величиныS 4.6	достигнет долг, равный 8 000 р., через 4.6 года
при росте по сложной ставке процента i =20% годовых.
Решение . По условию задачиP = 8 000 р. Тогда
S 4.6 =P (1+i )t = 8 000(1+0.2)4.6
Итак, через 4.6 года долг достигнет значения 18 506 р. 48 коп.
В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула
наращѐнной суммы принимает вид
S = P (1	i )n 1 (1			) n2	...(1			) nm .

Здесь P – начальная сумма,n k – продолжительность k -го периода начисления процентов иi k – ставка простых процентов в периоде с номеромk .

Задача 3 . В договоре об обслуживании банковского вклада в течение 4-х лет зафиксирована переменная ставка сложных процентов следующим образом. В 1-й год – 6% годовых, во 2-й и 3-й год ставка одна и та же – 5% годовых, в 4-й год

– 8%. Определить величину множителя наращения за 4 года.

Решение . ПустьP – некоторая начальная сумма. По условию задачи

i 1 = 0.06,i 2 =i 3 = 0.05,i 4 = 0.08.

Обозначим i 23 = 0.05. Имеем в соответствии с формулой (2):

S = P (1 i 1 ) 1 (1 i 23 ) 2 (1 i 4 ) 1 =P (1+0.06)(1+0.05)2 (1+0.08).

В результате вычислений получаем значение множителя наращения:

S /P = (1+0.06)(1+0.05)2 (1+0.08) = 1.262142.

Сравнение силы роста простых и сложных процентов

При одной и той же ставке процента i наращение сложных процентов:

идет быстрее, чем простых процентов, если длина периода наращения больше единичного периода;

идет медленнее, чем простых процентов, если длина периода наращения меньше единичного периода.

Ранее было отмечено, что наращение для единичного периода одинаково, независимо от того, используется схема простых процентов или сложных.

Обоснуем сказанное. В самом деле при i > 0:

если t >1, то (1+i )t > 1+it ; если 0

Для доказательства этого факта рассмотрим функции f (t ) = (1+i )t иg (t ) = 1+it . Очевидно,f (0) =g (0),f (1) =g (1) и обе функции возрастают приt 0 не только по их содержательному смыслу, но и формально ввиду положительности их производныхf (t ) = (1+i )t ln (1+i ) иg (t ) =i . В то же время производная второго порядкаf (t ) = (1+i )t ln 2 (1+i ) положительна приt 0, что означает выпуклость вниз функцииf (t ) приt 0 (т.е. ускоренный рост). При этом функцияg (t ) растет линейно

(g (t ) = 0).

На графике изображены функции f (t ) = (1+i )t иg (t ) = 1+it в зависимости отt :

Пример . Пусть суммаP =800 наращивается по ставке i=8% простых и сложных процентов. Тогда наращѐнные суммы таковы

Для оценки своих перспектив кредитору и должнику зачастую важно знать, через сколько времени сумма ссуды возрастает в N раз при данной процентной ставкеi . Для этого приравняем множитель наращения величинеN , в результате чего получим:

a) для простых процентов 1 + ni =N , откудаn = (N –1) / i .

b) для сложных процентов (1 + i )n =N , откудаn = lnN / ln(1 +i ).

Решение . По условию задачиi =0.04,N =2. Имеем

a) для простых процентов n = (N –1) / i = 1 /i , откудаn = 1/0.04 = 25 лет

b) для сложных процентов n = lnN / ln(1 +i ), откудаn = ln 2/ln(1.04) 17.67 лет. Расчет по схеме сложных процентов быстрее удваивает долг.

Некоторые способы начисления процентов при дробном числе лет

В практике финансовых учреждений при дробном числе лет t проценты начисляются по-разному. Рассмотрим три основных способа начисления.

1. По формуле сложных процентов: S = P (1+i )t .

2. На основе смешанного метода, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное – простые: S = P (1+i )n (1+bi ), гдеt=n+b ,n – целое число лет,b – дробная часть года.

3. В ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезок времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т.е.

S = P(1+ i) n .

Задача 5 . Размер ссуды, представленной на 27 месяцев, равен 100 000 р. Годовая процентная ставка равна 20%. Вычислить наращѐнную сумму указанными тремя способами.

Решение . По условию задачи срок ссуды составляет 2.25 года. Имеем следующие расчеты.

По 1-му способу:S I = 100 000(1+0.2)2 . 2 5 150 715 р. 46 коп. По 2-му способу:S II = 100 000(1+0.2)2 (1+0.25 0.2) = 151 200 р. По 3-му способу:S III = 100 000(1+0.2)2 = 144 000 р.

Формулы дисконтирования в случае сложных процентов

Задача 6 . Выписать таблицу для дисконтного множителя (1+i )– n при сроке ссуды 5, 10 и 20 лет; сложная ставка наращения составляет 10% и 20%.

Решение . Результаты расчетов по формуле (3) приведены в таблице

Если осуществляется дисконтирование по схеме банковского (коммерческого) учета, то изначально оговаривается учетная ставка d , 0d <1. Она применяется не к начальной сумме, как при простой учетной ставке, а к сумме, уже дисконтированной на предыдущем промежутке времени. Размер дисконта, или учета, удерживаемого финансовым учреждением, равен

P = S(1– d) n .

Задача 7 . Вексель на сумму 20 000 р., срок платежа по которому наступает через 1.5 года, учтен по сложной процентной ставке 18% годовых. Определить сумму, полученную владельцем векселя при учете, а также соответствующий дисконт.

Решение . Здесь по условию задачиS =20 000,n =1.5,d =0.18. Тогда по формуле (4) получаем следующие результаты расчетов:

сумма, получаемая владельцем P = 20 000(1 – 0.18)1.5 14850 р. 83 коп.,

дисконт D = S – P 20 000 – 14850.83 = 5149 р. 17 коп.

Процентная ставка - относительная величина процентных платежей на заемный капитал за определенный период времени, как правило, за год.

По степени реагирования на изменение рыночного уровня процента различают фиксированные процентные ставки и плавающие.

Фиксированная процентная ставка - ставка, установленная на весь период пользования заемными средствами без права ее пересмотра.

Плавающая процентная ставка - ставка по средне- и долгосрочным кредитам, уровень которой колеблется в зависимости от конъюнктуры денежно-кредитного рынка.

Плавающая процентная ставка складывается из двух составных частей. Первая часть представляет подвижную основу, изменяющуюся в соответствии с конъюнктурой денежно-кредитного рынка. В ее роли обычно выступают межбанковские ставки предложения кредитных ресурсов: ЛИБОР, ПИБОР, ФИБОР и др. Надбавкой выступает фиксированная величина, являющаяся предметом договоренности сторон и, как правило, неизменная на весь срок действия кредитного договора. Размер фиксированной надбавки зависит от условий сделки и степени ее риска.

В денежно-кредитной сфере западных стран имеется большое разнообразие процентных ставок.

Первый уровень процентных ставок - официальные процентные ставки , устанавливаемые центральными банками отдельных стран по кредитам, предоставляемым коммерческим банкам. Эти ставки носят название учетных или ставок рефинансирования.

Рефинансирование коммерческих банков может производиться либо путем прямого кредитования, либо путем переучета коммерческих векселей. Степень значимости той или иной ставки зависит от исторически сложившегося в стране развития вексельного обращения и системы рефинансирования.

Учетная ставка Центрального банка РФ, наряду с политикой в области обязательных резервов от объема привлеченных банками ресурсов и операциями на открытом рынке является одним из основных инструментов денежно-кредитного регулирования. При помощи маневрирования учетным процентом Центральный банк РФ стремится регулировать объем денежной массы в обращении и темпы инфляционного обесценения денег. Так, понижение официальной учетной ставки приводит к удешевлению и увеличению предложения кредитных ресурсов на рынке. Такая политика имеет целью оживление инвестиций и стимулирование экономического роста. Проведение обратно направленной учетной политики ведет к сжатию денежно-кредитной массы, замедлению темпов инфляции, но одновременно это путь к сокращению объема инвестиций в экономику. Таким образом, учетная политика Центрального банка должна строиться в зависимости от состояния денежно-кредитной системы и учитывать как опасность инфляции при проводимой политике «дешевых денег», так и негативные последствия низких темпов экономического роста в периоды реестрикционной политики ЦБ РФ.

Следующий уровень процентных ставок представлен ставками предложения на межбанковском рынке кредитных ресурсов. По ставкам предложения ведущие банки осуществляют кредитование в евровалютах первоклассных банков путем размещения у последних депозитов. Примером служит ставка ЛИБОР (LIBOR) - Лондонская межбанковская ставка предложения, которая не является официально определяемой величиной, каждый крупный коммерческий банк фиксирует ее в зависимости от конъюнктуры денежно-кредитного рынка по состоянию на 11 часов утра каждого делового дня. Под ставкой ЛИБОР понимается также средняя ставка по этим банкам, рассчитываемая как средняя арифметическая.

Ставки «Прайм-рейт» - следующий уровень процентных ставок, по которым коммерческие банки предоставляют кредиты первоклассным заемщикам.

И наконец, последний уровень процентных ставок - это ставки по более рисковым ссудам предприятиям и частным лицам.

В России в настоящее время также существует целый набор процентных ставок, структура которых приближается к западной практике.

Выделяются: учетная ставка Центрального банка РФ, ставки межбанковского денежного рынка, представленные большим набором инструментов (МИБИД - объявленная ставка по предоставлению кредитов коммерческими банками, МИ АКР - фактическая ставка по предоставленным кредитам, рассчитываемая Информационным консорциумом как средние от ставок привлечения и размещения межбанковских кредитов, ИНСТАР - межбанковские базовые процентные ставки, рассчитываемые Межбанковским Финансовым Домом по результатам сделок, заключенных коммерческими банками), «базовые» процентные ставки по кредитованию первоклассных клиентов по обеспеченным ссудам и ставки с учетом надбавки за риск по кредитованию прочих заемщиков.

Помимо ставок кредитного рынка, рассмотренных выше, в систему процентных ставок входят ставки денежного и фондового рынков: ставки по казначейским, банковским и корпоративным векселям, проценты по государственным и корпоративным облигациям и др.

В банковской практике существуют различные методы и способы начисления процентов.

Так, в банковской практике применяются простые и сложные проценты.

Простые проценты используются прежде всего при краткосрочном кредитовании, когда один раз в квартал или другой срок, определенный договором, производятся начисление процентов и выплата их кредитору.

Банк должен тщательно анализировать все моменты, которые могут в конечном итоге повлиять на прибыльность банковских операций. Например, необходимо учитывать характер инфляции и в этой связи определять, что целесообразнее для банка: либо наращивать сумму долга посредством начисленных, но не востребованных процентов, либо получать ежегодную плату за кредит.

Возможны различные способы начисления процента: они определяются характером измерения количества дней пользования ссудой и продолжительностью года в днях (временной базы для расчета процентов). Так, число дней ссуды может определяться точно или приближенно, когда продолжительность любого полного месяца признается равной 30 дням. Временная база приравнивается либо к фактической продолжительности года (365 или 366 дней) или приближенно к 360 дням. Соответственно, применяют следующие варианты начисления сложных процентов : Точные проценты с фактическим числом дней ссуды; этот способ дает самые точные результаты и применяется многими центральными и крупными коммерческими банками. Он характеризуется тем, что для расчета используется точное число дней ссуды, временная база равняется фактической продолжительности года.

Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды.

Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Здесь продолжительность ссуды в днях определяется приближенно, временная база равна 360 дням. Считается, что точное число дней ссуды в большинстве случаев больше приближенного, поэтому и размер начисленных процентов с точным числом дней обычно больше, чем с приближенным.

Банковская практика в России предусматривает начисление процентов по привлеченным и размещенным средствам (за исключением долговых обязательств и операций с платежными картами) по первому способу, а именно - как точные проценты с фактическим числом дней ссуды. По векселям и депозитным сертификатам применяется способ начисления обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды.

Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, иногда называют капитализацией процентов.

Формулы наращения 1) Формула наращения по сложным процентам Пусть первоначальная сумма долга равна Р, тогда через один год сумма долга с присоединенными процентами составит Р(1+i), через 2 года - Р (1+i) = Р (1+i 2) через n лет - Р (1+i)n. Таким образом, получаем формулу наращения для сложных процентов. S = P (1+i) n где S - наращенная сумма; i - годовая ставка сложных процентов; n - срок ссуды; (1 + i)n - множитель наращения. В практических расчетах в большинстве случаях применяют дискретные проценты, т. е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т. д.). Наращение по сложным процентам представляет собой рост по закону геометрической прогрессии, первый член которой равен Р, а знаменатель (1+i). Наращенные суммы по формулам простых и сложных процентов (множители наращения, соответственно, (1 + ni) и (1 + i) n) различаются между собой даже при условии одинакового периода начисления и одинаковой процентной ставки. Покажем это на примере.

Пример 9. Исходная сумма кредита 100 000 ден. ед. Ставка 30 % годовых. Определить наращенную сумму по простым и сложным процентам за 0, 5 года, 1 год и 2 года. Решение. S 1 = 100000 · (1 + 0, 5 · 0, 3) = 115000 ден. ед. S 2 = 100000 · (1 + 1 · 0, 3) = 130000 ден. ед. S 3 = 100000 · (1 + 2 · 0, 3) = 160000 ден. ед. S 4 = 100000 · (1 + 0, 3) 1/2 = 114017 ден. ед. S 5 = 100000 · (1 + 0, 3) 1 = 130000 ден. ед. S 6 = 100000 · (1 + 0, 3) 2 = 169000 ден. ед. Результаты расчетов запишем в таблицу. Проценты Период начисления суммы 0, 5 года 1 год 2 года Простые 115000 ден. ед. 130000 ден. ед. 160000 ден. ед. Сложные 114017 ден. ед. 130000 ден. ед. 169000 ден. ед.

Обобщая полученные результаты расчетов, можно сделать следующие выводы: 1) при периоде менее года простые проценты более выгодны кредитору, банку; 2) при периоде в 1 год использование простых и сложных процентов приводит к равным результатам; 3) при периоде более года использование сложных процентов приводит к более интенсивному росту наращенной суммы, т. е. выгоднее кредитору, банку.

2) Формула наращения по сложным процентам при изменении ставки во времени. В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения имеет следующий вид S = P (1 + i 1) n 1 (1 + i 2) n 2 … (1 + ik)k где i 1, i 2. . . , ik - последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды n 1, n 2. . . , nk соответственно. Пример 10. В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 15 % годовых, плюс маржа 6 % в первые два года, 8 % - в третий год, 10% -в четвертый год. Определить величину множителя наращения за 4 года. Решение. (1 + 0, 21) 2 (1 + 0, 23) (1 + 0, 25) = 1, 83

3) Формулы удвоения суммы. В целях оценки своих перспектив кредитору и должнику интересно знать, через сколько лет сумма ссуды возрастет в N раз при данной процентной ставке. Для этого приравняем множитель наращения величине N, в результате получим: а) для простых процентов (1 + niпр) = N, тогда n = (N – 1) / iпр б) для сложных процентов (1 + iсл)n = N, тогда n = ln. N/ln(1 + icл) Эти две формулы называются формулами удвоения и принимают следующий вид: а) для простых процентов n = 1/iпр б) для сложных процентов n = ln 2/ln (1 + iсл) При небольших ставках процентов (менее 10%) вместо формулы n = ln 2/ln (1 + iсл) можно использовать более простую приближенную, если учесть, что ln 2 ˜ 0, 7, а ln (1 + i) ~ i. Тогда n ~ 0, 7/i

Пример 11. Рассчитать, за сколько лет долг увеличится вдвое при ставке простых и сложных процентов, равной 3 %. Для ставки сложных процентов расчеты выполнить по точной и приближенной формулам. Результаты сравнить. Решение. а) Для случая простых процентов n = 1/iпр = 1/0, 03 = 33, 33 лет б) при сложных процентах, вычисленных по точной формуле, n = ln 2/ln (1 + iсл) = 0, 6931 ln (1 + 0, 03) = 23, 45 в) при сложных процентах, вычисленных по приближенной формуле: n ~ 0, 7/i ~ 0, 7/0, 03 ~ 23, 33 лет Таким образом, одинаковое значение ставок простых и сложных процентов приводит к различным результатам, при малых значениях ставки сложных процентов точная и приближенная формулы дают практически одинаковые результаты.

4) Начисление годовых процентов при дробном числе лет При дробном числе лет проценты начисляются разными способами: 1) по формуле сложных процентов S = P (1 + i) n 2) на основе смешанного метода, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное - простые, S = P (1 + i) a (1 + bi) где n = а + b, а - целое число лет, b - дробная часть года; 3) в ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т. е. S = P (1 + i) a

Номинальная и эффективная ставки процентов 1) Номинальная ставка Пусть годовая ставка сложных процентов равна j, а число периодов начисления в году т. Тогда каждый раз проценты начисляют по ставке j/m. Ставка j называется номинальной. Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле S = P (1 + j/m) N где N - число периодов начисления, М= mn. Если срок ссуды измеряется дробным числом периодов начисления, то при m разовом начислении процентов в году наращенную сумму можно рассчитывать несколькими способами, приводящими к различным результатам: 1) по формуле сложных процентов S = P (1 + j/m) N/r где N/r- число периодов начисления процентов, r - период начисления процентов; 2) по смешанной формуле S = P (l + j/m) a (l + bj/m) где а - целое число периодов начисления, т. е. а = - целая часть от деления всего срока ссуды N на период начисления r, b - оставшаяся дробная часть периода начисления (b = N/r - а).

Пример 12. Размер ссуды, предоставленной на 28 месяцев, равен 20 млн. ден. ед. Номинальная ставка равна 60 % годовых; начисление процентов ежеквартальное. Вычислить наращенную сумму в трех ситуациях: на дробную часть начисляются сложные проценты; на дробную часть начисляются простые проценты; дробная часть не учитывается. Результаты расчетов сравнить. Решение. Всего 28/3 периодов начисления, т. е. 9 кварталов и 1 мес. : 1) S = 20 (1 + 0, 6/4)28/3 = 73, 713 млн. ден. ед. ; 2) S = 20 (1 + 0, 6/4)9 (1 + 0, 6/4 1/3) = 73, 875 млн. ден. ед. ; 3) S = 20 (l + 0, 6/4)9 = 70, 358 млн. ден. ед. Из полученных результатов расчета следует, что наибольшего значения наращенная сумма достигает во втором случае, т. е. при начислении на дробную часть простых процентов. Таким образом, для ссудодателя выгоднее второй вариант, так как итоговая сумма получается максимальной, а для заемщика предпочтительнее третий вариант, так как итоговая сумма минимальна.

2) Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке j/m. Если проценты капитализируются т раз в год, каждый раз со ставкой j/m, то можно записать равенство для соответствующих множителей наращения: (1 + iэ) n = (1 + j/m) mn где iэ - эффективная ставка, а j - номинальная. Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением iэ = (1 + j/m) m – 1 Обратная зависимость имеет вид j = m [(1 + iэ) 1/m – 1] Пример 13. Банк начисляет сложные проценты на вклад, исходя из годовой номинальной ставки 0, 12. Вычислить эффективную годовую процентную ставку при ежемесячной и ежеквартальной капитализации процентов. Решение. По формуле iэ = (1 + j/m) m – 1 получаем: Iэ = (1 + j/m) m – 1 = (1 + 0, 12/12) 12 – 1 = 1, 192 – 1 = 0, 192 Iэ = (1 + j/m) m – 1 = (1 + 0, 12/4) 4 – 1 = 1, 1255 – 1 = 0, 1255

Пример 14. Определить, какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 12 % годовых. Решение. Использование формулы j = m [(1 + iэ) 1/m – 1 дает: j = m [(1 + iэ) 1/m – 1] = 4 [(1 + 0, 12) 1/4 – 1] = 0, 115 3) Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов Как и в случае простых процентов, рассмотрим два вида учета - математический и банковский. Математический учет. В этом случае решается задача, обратная наращению по сложным процентам. Запишем исходную формулу для наращения: S = P (1 + i) n из нее найдем Р: P = S/(1 + i) n = Su n Где u n = 1/(1 + i) n = (1 + i) -n - учетный, или дисконтный, множитель.

Если проценты начисляются т раз в году, то P = S/(1 + j/m) mn = Su mn Где u mn = 1/(1 + j/m) mn = (1 + j/m) –mn - дисконтный множитель. Величину Р, полученную дисконтированием S, называют современной или текущей стоимостью или приведенной величиной S. Дисконтный множитель показывает, во сколько раз первоначальная сумма меньше наращенной. Банковский учет. В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле P = S (1 – dсл) n где dсл - сложная годовая учетная ставка. Дисконт определяется как D = S – P = S – S (1 - dсл) = S При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.

4) Номинальная учетная ставка процентов В тех случаях, когда дисконтирование применяют m раз в году, используют номинальную учетную ставку f. Тогда в каждом периоде, равном 1/m части года, дисконтирование осуществляется по сложной учетной ставке f/m. Процесс дисконтирования по этой сложной учетной ставке описывается формулой P = S (1 – f/m) N где N=тn - общее число периодов дисконтирования. Дисконтирование не один, а m раз в году быстрее снижает величину дисконта. 5) Эффективная учетная ставка Под эффективной учетной ставкой понимают сложную годовую учетную ставку, эквивалентную (по финансовым результатам) номинальной, применяемой при заданном числе т дисконтирований в году. В соответствии с определением эффективной учетной ставки, найдем ее связь с номинальной из равенства дисконтных множителей: (1 – f/m) mn = (1 – dcл) n из которого следует, что dсл = 1 – (1 – f/m) m Отметим, что эффективная учетная ставка всегда меньше номинальной.

6) Наращение по сложной учетной ставке Наращение является обратной задачей для расчета учетных ставок. Формулы наращения по сложным учетным ставкам можно получить из формул дисконтирования P = S (1 – dсл) n и P = S (1 – f/m) N. Получаем: S = P/(1 – dсл) n S = P/(1 - f/m) N Пример 15. Рассчитать, какую сумму следует проставить в векселе, если реально выданная сумма равна 200 000 ден. ед. , срок погашения 2 года. Сумма векселя рассчитывается, исходя из сложной годовой учетной ставки 10 %. Решение. По формуле S = P/(1 – dсл) n получаем: S = 200000/(1 – 0, 1) 2 = 246913, 58 ден. ед. Пример 16. Решить предыдущую задачу при условии, что наращение по сложной учетной ставке осуществляется не один, а 4 раза в год. Решение. Подстановка в формулу S = P/(1 - f/m) N значений т = 4 и N = 4 2 дает: S = 200000/(1 – 0, 1/4) 8 = 244902, 42 ден. ед.

Непрерывные проценты 1) Наращение и дисконтирование Наращенная сумма при дискретных процентах, как было показано, определяется по формуле S = P (1 + j/m) mn где j - номинальная ставка процентов, m - число периодов начисления процентов в году. Чем больше m, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при m ∞ имеем Используя второй замечательный предел получаем: 1 2 Используя этот предел в выражении (1), получаем, что формула наращенной суммы в случае непрерывного начисления процентов по ставке j имеет вид S = Pe in

Для того чтобы отличать ставку непрерывных процентов от ставок дискретных процентов, ее называют силой роста и обозначают б: S = Pe бn Сила роста представляет собой номинальную ставку процентов при т ∞. Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок осуществляется по формуле P = Se –бn 2)Cвязь дискретных и непрерывных процентных ставок Дискретные и непрерывные процентные ставки находятся в функциональной зависимости, благодаря которой можно осуществлять переход от расчета непрерывных процентов к дискретным и наоборот. Формулу эквивалентного перехода от одних ставок к другим можно получить, приравнивая соответствующие множители наращения: (1+ i) n = e бn Из этого равенства следует, что б = ln(1+ i) i = еб – 1