Традиционные методы экономической статистики

6. Методы финансовых вычислений

Финансовые вычисления, базируются на понятии временной стоимости денег, являются одним из краеугольных элементов финансового анализа и используются в различных его разделах.

a. Временная ценность денег.

Переход к рыночной экономике на предприятиях как реального, так и финансового секторов сопровождается появлением некоторых новых видов деятельности, имеющих для благополучия предприятия принципиальный характер. К их числу относится задача эффективного вложения денежных средств. Можно выделить, как минимум шесть основных моментов:

ь Были упразднены многие ограничения, в частности, нормирование оборотных средств, что автоматически исключило один из основных регуляторов величины финансовых ресурсов на предприятии.

ь Кардинальным образом изменился порядок исчисления финансовых результатов и распределения прибыли. С введением новых форм собственности стало невозможным изъятие прибыли в бюджет волевым методом, как это делалось в отношении государственных предприятий, благодаря чему у предприятий появились свободные денежные средства.

ь Произошла существенная переоценка роли финансовых ресурсов.

ь Появились принципиально новые виды финансовых ресурсов, в частности, возросла роль денежных эквивалентов, в управлении которыми временной аспект имеет решающее значение.

ь Произошли принципиальные изменения в вариантах инвестиционной политики.

ь В условиях свойственной переходному периоду финансовой нестабильности, проявляющейся в устойчиво высоких темпах инфляции и снижении объемов производства, стало невыгодным хранить свои деньги даже в государственном банке. Многие предприятия на своем опыте познали простую истину: в условиях инфляции денежные ресурсы, должны обращаться, и по возможности быстрее.

Таким образом, деньги приобретают еще одну характеристику- временную ценность. Этот параметр можно рассматривать в двух аспектах:

ь Связан с обесценением денежной наличности в течением времени;

ь Связан с обращением капитала.

b. Операции наращивания и дисконтирования.

Логика построения основных алгоритмов достаточно проста и основана на следующей идее. Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы PV с условием, что через некоторое время t будет возвращена большая сумма FV. Как известно, результативность подобной сделки может быть охарактеризована двояко: либо с помощью абсолютного показателя- прироста (FV-PV), либо путем расчета некоторого относительного показателя. Абсолютные показатели чаще всего не подходят для подобной оценки ввиду их несопоставимости а пространственно-временном аспекте. Поэтому пользуются специальных коэффициентом- ставкой.

Процесс, в котором заданы исходная сумма и ставка (процентная или учетная), в финансовых вычислениях называется процессом наращивания, искомая величина - наращенной суммой, а используемая в операции ставка - ставкой наращивания. Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению сумма и ставка, называется процессом дисконтирования, искомая величина - приведенной суммой, а используемая в операции ставка - ставкой дисконтирования. В первом случае идет движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором - о движении от будущего к настоящему.

c. Процентные ставки и методы их начисления.

Ссудозаемные операции, составляющие основу коммерческих вычислений, имеют давнюю историю. Именно в этих операциях и проявляется прежде всего необходимость учета временной ценности денег. Несмотря на то, что в основе расчетов при анализе эффективности ссудозаемных операция заложены простейшие на первый взгляд схемы начисления процентов, эти расчеты многообразны ввиду вариабельности условий финансовых контрактов в отношении частоты и способов начисления, а так же вариантов предоставления и погашения ссуд.

Понятие простого и сложного процента.

Предоставляя свои денежные средства в долг, их владелец получает определенный доход в виде процентов, начисляемых по некоторому алгоритму в течение определенного промежутка времени. Поскольку стандартным временным интервалом в финансовых операциях является 1 год, наиболее распространен вариант, когда процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки, подразумевающей однократное начисление процентов по истечении года после получения ссуды. Известны две основные схемы дискретного начисления:

ь Схема простых процентов;

ь Схема сложных процентов.

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление.

По схеме сложного процента очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей также и ранее начисленные и невостребованные инвестором проценты. В этом случае происходит капитализация процентов по мере их начисления, т.е. база, с которой начисляются проценты, все время возрастает.

Таким образом, в случае ежегодного начисления процентов для лица, предоставляющего кредит:

ь Более выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года;

ь Более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год;

ь Обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности периода 1 год и однократном начислении процентов.

Внутригодовые процентные начисления.

В практике финансовых операций нередко оговаривается не только величина годового процента, но и количество периодов начисления процентов. В этом случае расчет ведется по формуле сложных процентов по подынтервалам и по ставке, равной пропорциональной доле исходной годовой ставки. Одно из характерных свойств наращивания по простым процентам заключается в том, что наращенная сумма не изменяется с увеличением частоты начислений простых процентов.

Начисление процентов за дробное число лет.

Достаточно обыденными являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться одним их двух методов:

ь По схеме сложных процентов:

F n =P*(1+r) w+f ;

ь По смешанной схеме:

F n = P*(1+r) w *(1+f*r),

Где w- целое число лет;

f- дробная часть года.

Встречаются финансовые контракты, в которых начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. В этом случае также возможно использование двух схем:

ь Схема сложных процентов:

ь Смешанная схема:

где w- целое число подпериодов в n годах;

f- дробная часть подпериода;

m- количество начислений в году;

r- годовая ставка.

Непрерывное начисление процентов.

Все рассмотренные ранее начисляемые проценты называются дискретными, поскольку их начисление осуществляется за фиксированный промежуток времени. Уменьшая этот промежуток и увеличивая частоту начисления процентов, в пределе можно перейти к так называемым непрерывным процентам.

Чтобы отличить непрерывную ставку от обычной (дискретной), вводят специальное обозначение непрерывной ставки - д и называют ее силой роста. Таким образом, формула для нахождения наращенной суммы за n лет при непрерывном начислении процентов принимает вид:

Эффективная годовая процентная ставка.

Различными видами финансовых контрактов могут предусматриваться различные схемы начисления процентов. Как правило, в этих контрактах оговаривается номинальная процентная ставка, обычно годовая. Эта ставка, во-первых, не отражает реальной эффективности сделки и, во-вторых, не может быть использована для сопоставлений. Для того чтобы обеспечить сравнительный анализ эффективности таких контрактов, необходимо выбрать некий показатель, который был бы универсальным для любой схемы начисления. Таким показателем является эффективная годовая ставка. Эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений, причем с ростом числа начислений сложных процентов она увеличивается. Кроме того, для каждой номинальной ставки можно найти соответствующую ей эффективную ставку.

Анализ реализации продукции и финансовых результатов ОАО "Планета"

Основную часть убытка в 2003 г. ОАО «Планета» получило от реализации своей продукции. В целом по предприятию прибыль от реализации продукции зависит от 4-х факторов: объема реализации продукции (VРП), её структуры (УДi)...

Анализ себестоимости продукции предприятия (на примере ОАО "ЕПК-Самара")

Существуют следующие методы группировки затрат - по экономическим элементам и по калькуляционным статьям. Затраты, образующие себестоимость продукции...

Анализ финансовых показателей деятельности предприятия на примере МКП "Бытовик"

Анализ финансовых показателей деятельности предприятия является необходимым элементом в системе функций управления предприятием, поскольку без него не могут реализоваться и многие другие функции...

Анализ хозяйственной деятельности предприятия общественного питания

Под финансовым результатом от обычных видов деятельности понимается прибыль (убыток) от операций, являющихся предметом основной деятельности организации...

Коммерческий Банк - основное звено рыночного хозяйства, его характеристика как многоцелевой системы. Основные показатели деятельности

Оценка финансовой устойчивости предприятия

Чтобы успешно управлять финансами, достигать желаемых результатов необходимо знать: Внутренние проблемы соответственного предприятия (производимые продукты, технологические возможности, издержки производства, рентабельность и т.п...

Планирование основных технико-экономических и финансовых показателей ООО "Афанасьева"

Финансовые результаты деятельности предприятия оцениваются с помощью абсолютных и относительных показателей. К абсолютным показателям относятся прибыль (убыток) от реализации продукции (работ, услуг), прибыль (убыток) от прочей реализации...

Прогноз экономического развития предприятия ООО "У Каравая"

прогнозирование экономическое управление развитие Моделирование предполагает конструирование модели на основе предварительного изучения объекта или процесса, выделения его существенных характеристик или признаков...

Прогнозирование и планирование

Моделирование предполагает конструирование модели на основе предварительного изучения объекта или процесса, выделения его существенных характеристик или признаков...

Пути улучшения финансовых результатов деятельности предприятия ООО "ЦАПП"

Финансовые результаты - это итоги хозяйственной деятельности компании и ее подразделений, выраженные в виде финансовых показателей, таких, как прибыль (убытки) и рентабельность. Различные стороны производства, бытовой...

Способы и методы снижения рисков

Термин «хеджирование» в переводе с английского языка означает «ограждение» и широко используется в банковской, биржевой и коммерческой деятельности для обозначения различных методов страхования...

Стратегия восстановления платежеспособности

Все хозяйствующие субъекты независимо от форм собственности вступают в определенный период в отношения с государственными органами и банками, предприятиями поставщиками и потребителями и т.д...

Экономика здравоохранения и сфера медицинских услуг

Здравоохранение может действовать в рамках различных систем финансирования. В качестве основных источников финансовых ресурсов для здравоохранения выступают бюджетные средства, средства медицинского страхования...

Экономический анализ издержек обращения торгового предприятия

Показатели финансовых результатов характеризуют эффективность хозяйствования предприятия в абсолютном выражении. Важнейшими среди них являются показатели прибыли. Горизонтальный анализ абсолютных показателей, приведенных в таблице 7...

Экономический анализ предприятия на примере ЗАО "Мираж"

Министерство высшего образования РФ

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники

Контрольная работа № 1

по дисциплине «Финансовые вычисления»

Учебное пособие: Красина Ф.А.

Вариант № 1

Выполнил студент

Специальность 80100

Максаева Татьяна Петровна

г.Томск 2014

Задача 1 .

Предприниматель поместил в банк в сумме 500 тыс. руб. по 10 % годовых с ежеквартальной выплатой простых процентов. Какую сумму он будет получать каждый квартал? Как изменится сумма к получению при выплате простых процентов каждый месяц?

Решение:= 4= 10% = 0,10

По формуле FV = PV(1+nr), имеем:

FV = 500(1 + 0,10/4) = 500*1,025 = 512,5 тыс. руб.

Клиент каждый квартал будет получать сумму F - P = 512,5 - 500 = 12,5 тыс. руб.

При выплате простых процентов каждый месяц m = 12 сумма к получению за квартал составит: FV = 500(1 + 3*0,10/12) = 500*1,025 = 512,5 тыс. руб.

Следовательно, при выплате простых процентов сумма одинакова при выплате процентов ежемесячно или ежеквартально.

10 апреля предприниматель получил ссуду в банке под простую учетную ставку 20 % годовых и должен возвратить 18 ноября того же года 750 тыс. руб. Определить точным и приближенным способами сумму, полученную клиентом.

Решение:= 750= 0,20

Для решения воспользуемся формулой наращения по простой учетной ставке:

Pn = F(1 - d * t/T)

используя обыкновенный процент с точным числом дней:= 322 - 100 = 222 дня, получаем: P = 750(1 - 0,20 * 222/360) = 657,5 тыс.руб.

) используя обыкновенный процент с приближенном числе дней:= 7 * 30 + 8 = 218 дней, получаем: P = 750(1 - 0,20 * 218/360) = 659,17 тыс.руб.

) используя точный процент с точным числом дней:= 322 - 100 = 222 дня, получаем: P = 750(1 - 0,20 * 222/365) = 658,77 тыс.руб.

3. Предприниматель получил ссуду в банке в размере 20 млн руб. сроком на 5 лет <#"justify">4. Вексель на сумму 800 тыс. руб. учитывается за 2 года до срока погашения. Какую сумму получит предъявитель векселя при учете по сложной учетной ставке 20 % годовых?

Используем формулу наращения по сложной учетной ставке: P = F(1 - d)n= 800(1 - 0,2)2 = 800 * 0,64 = 512 тыс. руб.

Предъявитель вексель получит сумму 512 тыс.руб.

Банк учитывает вексель за 300 дней до срока погашения по сложной учетной ставке 10 % годовых при временной базе 360 дней. Какая простая годовая процентная ставка должна быть применена при выдаче кредита, если используется временная база 365 дней и банк хочет получить такой же доход?

Для определения эквивалентности простой годовой ставки находим формулу, приравнивая соответствующие множители наращения.

P = F(1 - d*t/T) получим P = F(1 - 0,1 - 300/360) = 0,83F

Для нахождения искомой ставки воспользуемся формулой:

d = т.е. 16,9%

Следовательно, должна быть применена простая годовая процентная ставка 16,9%.

6. Три платежа: 10 000 долл., срок погашения 15 мая; 20 000 долл., срок погашения 15 июня; 15 000 долл., срок погашения 15 августа заменяются одним платежом со сроком погашения 1 августа на основе простой процентной ставки. Определить сумму нового платежа.

000 долл., срок погашения в течении -15дней (с 15августа на 1 августа)=10000(1-78/360)+20000(1-48/360)+15000(1+15/360)=

7833,33+17333,33+15625=40791,66

На вклад начисляются сложные проценты: а) каждые полгода; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Вычислить годовую номинальную процентную ставку, при которой происходит реальное наращение капитала, если ежеквартальный темп инфляции составляет 12 %.

Сначала найдем индекс инфляции за год.

Обозначим среднемесячный индекс инфляции, тогда = (1 + 12/3) = 1,04. Тогда индекс инфляции за год составит:

= ()12 = (1,04)12 = 1,60103.

Пусть r - процентная ставка при ежегодном начислении сложных процентов, тогда значение ставки, лишь нейтрализующие действие инфляции, находится из равенства:

Тогда искомая процентная ставка за полгода должна быть больше,

чем r = - 1 = 1,60103 - 1 = 0,60103, т.е. 60,103%.

а) При начислении процентной ставки раз в полгода, для определения номинальной ставки, лишь нейтрализующей действие инфляции, следует решить уравнение: (1 + r2/2)2 = откуда:

r2 = 2() = 2() = 0,530638036992, т.е. 53,06%.

б) При ежеквартальном начислении сложных процентов для определения номинальной ставки, лишь нейтрализующей действие инфляции, следует решить уравнение:

(1 + r4/4)4 = , откуда: = 4(- 1) = 4(- 1) = 0,499, т.е. 49,9%

в) при ежемесячном начислении сложных процентов для определения номинальной ставки, лишь нейтрализующей действие инфляции, следует решить уравнение:

(1 + r12/12)12 = , откуда: = 12(- 1) = 12(- 1) = 0,479998, т.е. 47,9998%.

В банк на депозит внесено 5000долл, срок депозита - полгода, простая ссудная ставка равна 5% годовых. Ставка налога на начисленные проценты равна 3%. Определить наращенную сумму с учетом налога на проценты и реальную доходность финансовой операции.

5000; n = 0,5; t= 0,03; r=0,05

Наращенная сумма с учетом налога на проценты составит 5121 долл.,

Страховая компания заключила договор с предприятием на 5 лет <#"27" src="doc_zip19.jpg" />

процент ставка доход

FVpst = А * FM3(10%,5) = 800 ? ((1 + 0,10)5 + (1 + 0,10)4 + (1 + 0,10) 3+(1 + 0,10)2 + (1 + 0,10))=5368 тыс. руб.

б) найдем сумму получаемую компанией по данному контракту по формуле: но с учетом того что платеж имеет размер 800/2 = 400 тыс.руб., а процентная ставка на полгода 10/2 = 5%.

FVpst = 400 * FM3(5%,6) =400 ? ((1 + 0,05)6 + (1 + 0,05)5 + (1 + 0,05)4+(1 + 0,05)3 + (1 + 0,05)2 + (1 + 0,05))=2856 тыс. руб.

в) найдем сумму получаемую компанией по данному контракту по формуле: но с учетом того что платеж имеет размер 800/4 = 200 тыс.руб., а процентная ставка на квартал 10/4 = 2.5%.

FVpst = 200 * FM3(2.5%,4) =200 ? ((1 + 0,025)4 + (1 + 0,025)3 + (1 + 0,025)2+(1 + 0,025)) =850.8 руб.

Раз в полгода делается взнос в банк по схеме постнумерандо в размере 500долл. Банк ежемесячно начисляет сложные проценты по ставке 8% годовых. Какая сумма будет на счете через 5 лет?

При А=500 r=0.67% n=10

500*10,37=5183,35 долл.

Через 5 лет на счету накопится 5183350 долл.

Репетиторство

Нужна помощь по изучению какой-либы темы?

Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.
Отправь заявку с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.

ми для анализа различных видов финансовых рент (в том числе с переменными размерами платежей), можно познакомиться в специальной литературе и, в частности, в книге Е.М.Четыркина, указанной в разделе «Литература». Такие методы имеют важное значение в практике финансовых расчетов и позволяют определить как обобщающие характеристики рент (наращенную сумму, текущую стоимость), так и отдельные их параметры.

Материал пособия имеет общий характер и может быть применен в расчетах часто встречающихся на практике финансовых операций: расчете кредитных и коммерческих операций, эффективности предпринимательской деятельности.

ОСНОВЫ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Программа дисциплины

Наименование		Аудиторные
Разделов и тем		занятия (лекции
		и практические)
Раздел I. Начисление простых процентов
Тема 2. Простые проценты и процентные ставки,
практика начисления простых процентов. Дискон-
тирование и учет по простым ставкам. Примеры.
Раздел II. Начисление сложных процентов
Тема 3. Сложные проценты. Ставка сложных про-
центов. Формула наращения по сложным процен-
там. Виды сложных ставок.
Тема 4. Непрерывные проценты. Сила роста. На-
ращение и дисконтирование.
Тема 5. Эквивалентность процентных ставок.

ОСНОВЫ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Тема 1. Введение. Содержание курса

Время как фактор стоимости в финансовых и коммерческих расчетах и его учет с помощью процентных ставок. Цели, задачи, литература.

Тема 2. Простые проценты

Простые проценты и процентные ставки (ставка процента и учетная ставка). Формула наращения по простым процентам. Практика начисления простых процентов. Простые переменные ставки. Реинвестирование по простым процентам. Дисконтирование и учет по простым ставкам. Сопоставление ставки наращения и учетной ставки. Примеры, задачи.

Приложения:

Конвертация валюты и начисление простых процентов. Расчет доходности операций с двойной конвертацией. Определение критических точек. Движение денежных средств на расчетном счете и банковская практика расчета процентов. Определение суммы, выдаваемой при закрытии счета.

Методы расчетов при погашении краткосрочной задолженности частичными платежами (актуарный метод и метод торговца).

Сопоставление процентных ставок при различных условиях контрактов. Объявленная ставка и реальная доходность кредитора в потребительском кредите.

Раздел II. Начисление сложных процентов

Тема 3. Сложные проценты

Ставка сложных процентов. Формула наращения по сложным процентам. Сравнение наращенных величин при применении ставок простых и сложных процентов для различных периодов времени. Формула наращения по сложным процентам, когда ставка меняется во времени. Формула удвоения суммы. Три метода начисления процентов при дробном числе лет. Номинальная и эффективная ставки процентов. Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов и сложной учетной ставке. Номинальная и эффективная учетные ставки процентов. Примеры, задачи.

Приложения: Конвертация валюты и начисление сложных процентов. Расчет доходности. Определение критических точек. Расчеты простых и сложных процентов в условиях инфляции (брутто-ставки и ставки реального наращения). Учет налогов. Расчет средней ставки (доходности) за период в случае переменных ставок простых и сложных процентов. Расчет средней ставки при одновременном участии в нескольких операциях с разными условиями. Расчет срока ссуды и процентных ставок. Примеры.

Тема 4 . Непрерывные проценты

Сила роста. Наращение и дисконтирование. Рассмотрение частного случая, когда сила роста меняется скачком. Вывод формулы для произвольного закона изменения силы роста. Связь дискретных и непрерывных процентных ставок.

Тема 5. Эквивалентность процентных ставок Формулы, устанавливающие эквивалентность между различными видами ставок.

Конверсия платежей, изменение условий контрактов. Примеры, задачи. Форвардная процентная ставка, теории временной структуры процентных ставок. Кривая доходности.

ОСНОВЫ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Раздел I. Начисление простых процентов

1.1 Простые проценты

Время как фактор в финансовых и коммерческих расчетах

В практических финансовых и коммерческих операциях суммы денег обязательно связываются с некоторыми конкретными моментами или интервалами времени. Для этого

в контрактах фиксируются соответствующие сроки, даты, периодичность поступлений денежных средств или их выплат.

Фактор времени играет не меньшую роль, чем размеры денежных сумм. Необходимость учета фактора времени определяется принципом неравноценности денег , относящихся к разным моментам времени. Дело в том, что даже в условиях отсутствия инфляции и риска 1 млн. руб., полученных через год, не равноценен этой же сумме, поступившей сегодня. Неравноценность определяется тем, что теоретически любая сумма денег может быть инвестирована и принести доход. Поступившие доходы в свою очередь могут быть реинвестированы и т.д. Следовательно, сегодняшние деньги в этом смысле ценнее будущих, а будущие поступления менее ценны, чем современные.

Очевидным следствием принципа «неравноценности» является неправомерность суммирования денежных величин, относящихся к разным моментам времени. Подобного рода суммирование допустимо лишь там, где фактор времени не имеет значения - например, в бухучете для получения итогов по периодам и в финансовом контроле.

В финансовых вычислениях фактор времени обязательно учитывается в качестве одного из важнейших элементов. Его учет осуществляется с помощью начисления процентов.

Проценты и процентные ставки

Под процентными деньгами или, кратко,процентами в финансовых расчетах понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой форме: в виде выдачи денежной ссуды, продажи в кредит, помещении денег на сберегательный счет, учет векселя, покупка сберегательного сертификата или облигаций и т.д.

В какой бы форме не выступали проценты, это всегда конкретное проявление такой экономической категории, как ссудный процент.

При заключении финансового или кредитного соглашения стороны (кредитор и заемщик) договариваются о размере процентной ставки - отношения суммы процентных денег, выплачиваемых за фиксированный отрезок времени к величине ссуды. Интервал времени, к которому относится процентная ставка, называютпериодом начисления . Ставка измеряется в процентах, в виде десятичной или натуральной дроби. В последнем случае она фиксируется в контрактах с точностью до 1/16 или даже 1/32.

Начисление процентов, как правило, производится дискретно, т.е. в отдельные (обычно равноотстоящие) моменты времени (дискретные проценты ), причем, в качестве периодов начисления принимают год, полугодие, квартал, месяц. Иногда практикуют ежедневное начисление, а в ряде случаев удобно применятьнепрерывные проценты .

Проценты либо выплачиваются кредитору по мере их начисления, либо присоединяются к сумме долга. Процесс увеличения денег в связи с присоединением процентов к сумме долга называют наращением илиростом первоначальной суммы.

В количественном финансовом анализе процентная ставка применяется не только как инструмент наращения суммы долга, но и в более широком смысле - как измеритель

ОСНОВЫ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

степени доходности (эффективности) финансовой операции или коммерческо-хозяйствен- ной деятельности.

В практике существуют различные способы начисления процентов, зависящие от условий контрактов. Соответственно применяют различные виды процентных ставок. Одно из основных отличий связано с выбором исходной базы (суммы) для начисления процентов. Ставки процентов могут применяться к одной и той же начальной сумме на протяжении всего срока ссуды или к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. В первом случае они называются простыми , а во втором -сложными процентными ставками .

Процентные ставки, указываемые в контрактах, могут быть постоянными илипеременными (« плавающими ») . Плавающие ставки часто применяются во внешнеэкономических операциях. В этом случае значение ставки равно сумме некоторой изменяющейся во времени базовой величины и надбавки к ней (маржи ). Примером базовой ставки может служить лондонская межбанковская ставка ЛИБОР (LIBOR - London interbank offered rate) или московская межбанковская ставка МИБОР. Размер маржи определяется целым рядом условий (сроком операции и т.д.). Судя по мировой практике, он обычно находится в пределах 0,5-5%. В контракте может использоваться и переменный во времени размер маржи.

Теперь мы рассмотрим методы анализа сделок, в которых предусматриваются разовые платежи при выдаче и погашении кредита или депозита. Задачи такого анализа сводятся к расчету наращенной суммы, суммы процентов и размера дисконта, современной величины (текущей стоимости) платежа, который будет произведен в будущем.

Формула наращения по простым процентам

Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита, других видов инвестированных средств) понимается первоначальная ее сумма вместе с начисленными на нее процентами к концу срока.

Пусть P первоначальная сумма денег,i - ставка простых процентов. Начисленные проценты за один период равныPi , а заn периодов -Pni .

Процесс изменения суммы долга с начисленными простыми процентами описывается арифметической прогрессией, членами которой являются величины

P, P+Pi=P(1+i), P(1+i)+Pi=P(1+2i) и т.д. до P(1+ni).

Первый член этой прогрессии равен P , разностьPi , а последний член определяемый как

ОСНОВЫ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Процесс роста суммы долга по простым процентам легко представить графически (см. Рис. 1 ). При начислении простых процентов по ставке i за базу берется первоначальная сумма долга. Наращенная сумма S растет линейно от времени.

Определим проценты и сумму накопленного долга, если ссуда равна 100000 руб., срок долга 1,5 года при ставке простых процентов, равной 15% годовых.

I=100000 1,5 0,15=22500 руб. - проценты за 1,5 года

S=100000+22500=122500 руб. - наращенная сумма.

Рис. 1. Наращение по простой процентной ставке

Практика начисления простых процентов

Начисление простых процентов обычно используется в двух случаях: (1) при заключении краткосрочных контрактов (предоставлении краткосрочных кредитов и т.п.), срок которых не превышает года (n ≤ 1); (2) когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются.

Ставка процентов обычно устанавливается в расчете за год, поэтому при продолжительности ссуды менее года необходимо выяснить какая часть процента уплачивается кредитору. Для этого величину n выражают в виде дроби

n=t/K, где

n - срок ссуды (измеренный в долях года),K - число дней в году (временная база),t - срок операции (ссуды) в днях.

Здесь возможно несколько вариантов расчета процентов, различающихся выбором временной базы K и способом измерения срока пользования ссудой.

Часто за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней в каждом). В этом случае говорят, что вычисляют обыкновенный иликоммерческий процент . В отличие от неготочный процент получают, когда за базу берут действительное число дней в году: 365 или 366.

Определение числа дней пользования ссудой также может быть точным илиприближенным . В первом случае вычисляют фактическое число дней между двумя датами,

ОСНОВЫ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

во втором - продолжительность ссуды определяется числом месяцев и дней ссуды, приближенно считая все месяцы равными, содержащими по 30 дней. В обоих случаях дата выдачи и дата погашения долга считается за один день. Подсчет точного числа дней между двумя датами можно осуществить на компьютере, взяв разность этих дат, или с помощью специальной таблицы, в которой представлены порядковые номера дат в году.

Комбинируя различные варианты временной базы и методов подсчета дней ссуды, получаем три варианта расчета процентов, применяемые в практике:

(1) точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365) - британский;

(2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (365/360) - французский;

(3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360) - германский. Вариант расчета с точными процентами и приближенным измерением времени

ссуды не применяется.

Простые переменные ставки

Как известно, процентные ставки не остаются неизменными во времени, поэтому в кредитных соглашениях иногда предусматриваются дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки. В этом случае формула расчета наращенной суммы принимает следующий вид

S = P(1+n1 i1 +n2 i2 +...) = P(1+Σ nt it ),

P - первоначальная сумма (ссуда),

i t - ставка простых процентов в периоде с номеромt ,

n t - продолжительность периодаt - периода начисления по ставкеi t .

Пусть в договоре, рассчитанном на год, принята ставка простых процентов на первый квартал в размере 10% годовых, а на каждый последующий на 1% меньше, чем в предыдущий. Определим множитель наращения за весь срок договора.

1+Σ nt it = 1+0,25 0,10+0,25 0,09+025 0,08+0,25 0,07 = 1,085

Реинвестирование по простым процентам

Сумма депозита, полученная в конце обозначенного периода вместе с начисленными на нее процентами, может быть вновь инвестирована, хотя, скорее всего, и под другую процентную ставку, и этот процесс реинвестирования иногда повторяется неоднократно в пределах расчетного срокаN . Тогда в случае многократного инвестирования в краткосрочные депозиты и применения простой процентной ставки наращенная сумма для всего срокаN вычисляется находится по формуле

S = P(1+n1 i1 )(1+n2 i2 ) = PΠ (1	Nt it ) ,

t= 1

n 1 , n 2 ,..., n m - продолжительности последовательных периодов реинвестирования,

N = ∑ nt ,

t= 1

i 1 , i 2 ,..., i m - ставки, по которым производится реинвестирование. 12

ОСНОВЫ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Дисконтирование и учет по простым ставкам

В практике часто приходится решать задачу обратную наращению процентов, когда по заданной сумме S , соответствующей концу финансовой операции, требуется найти исходную суммуP . РасчетP поS называетсядисконтированием суммыS . ВеличинуP , найденную дисконтированием, называютсовременной величиной (текущей стоимостью ) суммыS . Проценты в виде разности D=S-P называютсядисконтом илискидкой . Процесс начисления и удержания процентов вперед (в виде дисконта) называютучетом . Дисконт как скидка с конечной суммы долга может определяться через процентную ставку или в виде абсолютной величины.

Таким образом, в практике используются два принципа расчета процентов: (1) путем наращения суммы ссуды и (2) устанавливая скидку с конечной суммы долга.

В большинстве случаев фактор времени учитывается в финансовых контрактах именно с помощью дисконтирования. Величина P эквивалентна суммеS в том смысле, что через определенный период времени и при заданной ставке процентов она в результате наращения станет равнойS . Поэтому операцию дисконтирования называют также приведением. Но понятие приведения шире, чем дисконтирование.Приведение - это определение любой стоимостной величины на некоторый момент времени. Если некоторая сумма приводится к более ранней дате, чем текущая, то применяется дисконтирование, если же речь идет о более поздней дате, то - наращение.

Известны два вида дисконтирования: математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет.

Математическое дисконтирование. Этот вид дисконтирования представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды. Если в прямой задаче

то в обратной

Банковский или коммерческий учет . Операция учета (учета векселей) заключается в том, что банк до наступления срока платежа по векселю или другому платежному обязательству покупает его у владельца (являющегося кредитором) по цене ниже той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, т.е. приобретает (учитывает) его с дисконтом.

Для расчета процентов при учете векселей применяется учетная ставка , которую мы обозначим символомd .

По определению, простая годовая учетная ставка находится как

Множитель (1-nd) называется дисконтным множителем. Срокn измеряет период времени от момента учета векселя до даты его погашения в годах. Дисконтирование по учетной ставке производится чаще всего при условии, что год равен 360 дням.

Наращение по учетной ставке. Учетная ставка может использоваться для наращения, т.е. для расчетаS поP . В этом случае из формулы (10) следует, что

S = P
	1 −nd

Сравнение ставки наращения и учетной ставки. Операции наращения и дискон-

тирования по своей сути противоположны, но ставка наращения и учетная ставка могут использоваться для решения обеих задач. В этом случае, в зависимости от применяемой ставки, можно различать прямую и обратную задачи.

Прямая и обратная задачи

	Прямая задача	Обратная задача
наращения I	наращение: S=P(1+ni)	Дисконтирование:
учетная d	дисконтирование:	Наращение:

Совмещение начисления процентов по ставке наращения и дисконтирования по учетной ставке. В том случае, когда учету подлежит долговое обязательство, предусматривающее начисление простых процентов на первоначальную сумму долга, необходимо решить две задачи: (1) определить конечную сумму долга на момент его погашения;

Решение двух этих задач можно записать в виде одной формулы, содержащей наращение по ставке простых процентов, фигурирующей в долговом обязательстве, и дисконтирование по учетной ставке:

P2 =P1 (1+n1 i)(1-n2 d),

P 1 - первоначальная сумма ссуды,

P 2 - сумма, получаемая при учете обязательства,

n 1 - общийсрокплатежногообязательства, втечениекоторогоначисляютсяпроценты,n 2 - срок от момента учета до погашения долга.

ОСНОВЫ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Платежное обязательство уплатить через 100 дней 2 млн. руб. с процентами, начисляемыми по ставке простых процентов i= 20% годовых, было учтено за 40 дней до срока погашения по учетной ставкеd =15%. Требуется определить сумму, получаемую при учете.

Отметим, что при наращении здесь использовалась временная база 365 дней, а при дисконтировании - 360.

Определение продолжительности ссуды. Иногда задача ставится таким образом,

что требуется найти временной интервал, за который исходная сумма при заданной ставке процентов вырастет до нужной величины, или срок, обеспечивающий определенный дисконт с заданной величины. Другими словами, речь идет о решении формул (1) и (10) относительно n .

При использовании простой ставки наращения i из (1) получаем

		S − P
а при учетной ставке d из (10) имеем
	S − P

Формулы (12) и (13) дают срок, измеряемый в годах, но простые ставки в основном используются в краткосрочных операциях, когда срок исчисляется днями. В этом случае

срок финансовой операции в днях выражается как
t=nK,
где K - временная база.

Определение уровня процентной ставки. Уровень процентной ставки может служить мерой доходности операции, критерием сопоставления альтернатив и выбора наиболее выгодных условий. Из тех же формул (1) и (10) получаем ставку наращения i и учетную ставку d

		S − P				S − P
	S − P				S − P

где использовалось соотношение (14). Напомним, что срок n в двух формулах имеет разный смысл: в первом случае это весь срок операции, а во втором - оставшийся срок до погашения.

Определить доходность операции для кредитора, если им предоставлена ссуда в размере 2 млн. руб. на 100 дней и контракт предусматривает сумму погашения долга 2,5 млн. руб. Доходность выразить в виде простой ставки процентов i

S − P

25, − 2

0,72, т.е. 72%.

Иногда размер дисконта в контрактах фиксируется за весь срок ссуды в виде доли (или процента) от суммы погасительного платежа. Таким образом, уровень процентной ставки здесь задается в неявном виде. Но нетрудно вывести формулы, с помощью которых значения этих ставок можно вычислить.

Пусть S - размер погасительного платежа,d n - доля этого платежа, определяющая величину дисконта за весь срок ссудыn . Требуется определить каким уровням годовых ставокi иd эквивалентны такие условия.

Итак, S - сумма возврата в конце срока ссуды, P=S(1-d n ) - реально выдаваемая ссуда в момент заключения договора.

S − P

S − S(1 − dn )

S(1 − dn ) n

− d n ) n

S − P

S − S(1 − dn )

Кредитор и заемщик договорились, что из суммы кредита, выданного на 200 дней, сразу удерживается дисконт в размере 25% указанной суммы. Требуется определить цену кредита в виде простой годовой учетной ставки d и годовой ставки простых процентовi . Считать временную базуK равной 365 дням.

									0,45625,
											0,60833,
		(1− d n )n						− 0,25)200 / 365

В работе даются теоретические обоснования и рекомендации по практическому применению методов финансово-экономического анализа при осуществлении кредитных, инвестиционных и ряда других коммерческих операций. Кроме того, в ней содержатся начальные сведения по валютным и актуарным (страховым) вычислениям. Излагаемые методы финансовых вычислений иллюстрируются примерами с подробными решениями. Пособие предназначено для предпринимателей, менеджеров, работников финансово-кредитных учреждений, преподавателей экономических дисциплин и студентов, обучающихся в экономических учебных заведениях.

СУЩНОСТЬ ПРОЦЕНТНЫХ ПЛАТЕЖЕЙ.
Владелец капитала, предоставляя его на определенное время в долг, рассчитывает на получение дохода от этой сделки. Размер ожидаемого дохода зависит от трех факторов: от величины капитала, предоставляемого в кредит, от срока, на который предоставлен кредит, и от величины ссудного процента или, иначе, процентной ставки.

Процентная ставка характеризует доходность кредитной сделки. Она показывает, какая доля от суммы выданного кредита будет возвращена владельцу капитала в виде дохода. Поэтому процентная ставка рассчитывается как отношение дохода, полученного за определенный период (чаще всего за год), к величине капитала, предоставляемого в кредит.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 3
Глава I. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ
1.1. Сущность процентных платежей 4
1.2. Вычисление наращенных сумм на основе простых процентных ставок 6
1.3. Вычисление наращенных сумм на основе простых учетных ставок 11
1.4. Процентные вычисления с использованием постоянного делителя (дивизора) 12
1.5. Вычисления с использованием основной пропорциональной зависимости 14
1.6. Расчеты в залоговых операциях 18
1.7. Потребительский кредит 20
1.8. Дисконтирование и его сущность 26
1.9. Математическое дисконтирование. Определение уровня процентной ставки и продолжительности ссуды 28
1.10. Банковское дисконтирование (банковский учет) 30
1.11. Определение сроков ссуды, величин простых процентных и учетных ставок 34
Глава II. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ
2.1. Вычисление наращенной суммы на основе сложных декурсивных процентов 37
2.2. Вычисление наращенной суммы на основе сложных антисипативных процентов 44
2.3. Дисконтирование по сложной процентной ставке 46
2.4. Дисконтирование по сложной учетной ставке 49
2.5. Сравнение множителей наращения и дисконтирования 52
2.6. Действия с непрерывными процентами 53
2.7. Расчет наращенных сумм в условиях инфляции 59
Глава III. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК. ИЗМЕНЕНИЕ УСЛОВИЙ КОММЕРЧЕСКИХ СДЕЛОК
3.1. Эквивалентность процентных ставок 63
3.2. Средние величины в финансовых расчетах 71
3.3. Консолидация платежей 77
3.4. Общий случай изменения условий коммерческих сделок 83
Глава IV. РЕНТНЫЕ ПЛАТЕЖИ И ИХ АНАЛИЗ
4.1. Финансовые ренты. Основные понятия 86
4.2. Наращенная сумма обычной ренты 88
4.3. Современная величина обычной ренты 94
4.4. Определение параметров финансовых рент 101
4.5. Определение параметров других видов рентных платежей 109
Глава V. КОНВЕРСИЯ ФИНАНСОВЫХ РЕНТ
5.1. Простые конверсии 118
5.2. Изменение условий ренты 119
5.3. Консолидация рент 124
Глава VI. ПЕРЕМЕННЫЕ ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ
6.1. Потоки с разовыми изменениями платежей 128
6.2. Переменные ренты с постоянным абсолютным и относительным изменением ее членов 129
Глава VII. ПОГАШЕНИЕ СРЕДНЕСРОЧНЫХ И ДОЛГОСРОЧНЫХ КРЕДИТОВ
7.1. Среднесрочные и долгосрочные кредиты. Основные понятия 135
7.2. Погашение долга равными срочными уплатами 136
7.3. Погашение займа равными выплатами основного долга 143
7.4. Погашение займа переменными выплатами основного долга 145
7.5. Конверсия займов 148
7.6. Консолидация займов 150
7.7. Формирование фонда погашения 151
7.8. Льготные кредиты 158
7.9. Погашение ипотечной ссуды 163
Глава VIII. АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ
8.1. Доходность как показатель эффективности финансовой операции 169
8.2. Расчет ставки полной доходности при ссудных и учетных операциях с удержанием комиссионных 171
8.3. Выбор оптимальных условий в коммерческих контрактах 174
8.4. Предельные значения параметров коммерческих контрактов 181
8.5. Доходность торговых операций с векселями 184
8.6. Операции с депозитными сертификатами 187
Глава IX. АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИЙ В ОБЛИГАЦИИ И АКЦИИ
9.1. Основные характеристики облигаций и методы их расчета 192
9.2. Дополнительные характеристики облигаций 202
9.3. Анализ портфеля облигаций 208
9.4. Принципы оценки инвестиций в ценные бумаги 211
9.5. Анализ влияния факторов на оценочные показатели облигации 216
9.6. Погашение и измерение стоимости облигационного займа 218
9.7. Акции и их оценка 221
Глава X. ФОРФЕЙТИНГ - ИНСТРУМЕНТ ОПТИМИЗАЦИИ ФИНАНСОВЫХ РЕСУРСОВ
10.1. Сущность форфейтинговой операции 235
10.2. Анализ позиции продавца 236
10.3. Анализ позиций покупателя и банка 245
Глава XI. АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ РЕАЛЬНЫХ ИНВЕСТИЦИЙ
11.1. Принципы принятия инвестиционных решений и оценка денежных потоков 249
11.2. Метод расчета чистого приведенного эффекта (дохода) 253
11.3. Определение срока окупаемости инвестиций 260
11.4. Определение внутренней нормы доходности инвестиционных проектов 264
11.5. Расчет индекса рентабельности и коэффициента эффективности инвестиций 267
11.6. Анализ альтернативных проектов 268
11.7. Анализ эффективности инвестиционных проектов в условиях инфляции 273
11.8. Риск и планирование инвестиционных проектов 276
11.9. Оптимальное размещение инвестиций 287
11.10. Лизинг как форма финансирования инвестиционных проектов 290
11.11. Определение стримости инвестиционных ресурсов 294
Глава XII. ОСНОВЫ ВАЛЮТНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
12.1. Девизы и валютный курс 298
12.2. Перекрестные курсы 301
12.3. Виды сделок с иностранной валютой 304
12.4. Расчет форвардного курса- аутрайта 312
12.5. Форвардные перекрестные курсы 313
12.6. Разновидности кассовых и форвардных сделок 314
Глава XIII. ВВЕДЕНИЕ В АКТУАРНЫЕ РАСЧЕТЫ
13.1. Основные понятия 317
13.2. Построение единовременных нетто-ставок по страхованию жизни и на случай смерти 318
13.3. Расчет нетто-ставок по коммутационным числам 325
13.4. Расчет годичных нетто-ставки и брутто-ставки 329
Приложение 1 ПОРЯДКОВЫЕ НОМЕРА ДНЕЙ В ГОДУ 333
Приложение 2 МНОЖИТЕЛИ НАРАЩЕНИЯ (СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ) 334
Приложение 3 ДИСКОНТНЫЕ МНОЖИТЕЛИ (СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ) 342
Приложение 4 КОЭФФИЦИЕНТЫ НАРАЩЕНИЯ ГОДОВОЙ РЕНТЫ 350
Приложение 5 КОЭФФИЦИЕНТЫ ПРИВЕДЕНИЯ ГОДОВОЙ РЕНТЫ 358
Глоссарий 366
Литература 377.

Финансовые вычисления используются для решения широкого круга задач: от простейших расчетов по начислению простых и сложных процентов, определению эквивалентности процентных ставок и до количественного анализа потоков платежей, эквивалентного изменениям параметров финансовых сделок, ранжирования вариантов инвестиций, разработки планов погашения долгосрочных кредитов и займов, оценке финансовой эффективности различных кредитных и коммерческих операций.
а) Определение текущей и будущей стоимости ренты
Рента - это серия периодически осуществляемых платежей. Примером потоков с платежами произвольной величины могут служить выплаты дивидендов по обыкновенным акциям, капиталовложения в долгосрочные активы и т.д. Расчет характеристик таких потоков представляет собой определенные вычислительные трудности. В финансовых расчетах обычно возникает вопрос определения обобщающих характеристик - наращенной суммы ренты и современной величины ренты. Наращенная сумма ренты представляет сумму всех периодических платежей с начисленными на них процентами к концу ее срока. Современная величина ренты - это сумма всех периодических платежей, дисконтированных на начало срока ренты.
Если рента состоит из платежей одинакового размера и они осуществляются через одинаковые промежутки времени, то количество денег, которое может быть инвестировано в ренту, определяется по формуле текущей стоимости ренты (постнумерандо):
PV = Rс + Rс +…..+ Rс, (1)
(1+ i) (1+ i)2 .... (1+ i)n
или:
PV = ? Rс,
(1+ i)n
или:
PV = Rс - 1 Rс, (1а)
i (1+ i)n i
где PV - текущая стоимость ренты;
Rс - ежегодные выплаты равными суммами; (член ренты)
i - процентная ставка (коэффициент окупаемости капиталовложений, предпочтительный для инвестора).
Пример. Компания сдает в аренду имущество сроком на 5 лет, арендная плата составляет 50 млн руб. в год, определен барьерный коэффициент рентабельности в 20%. Следовательно, общая сумма платежей за 5 лет составит 250 млн руб. Текущая стоимость арендной платы cоставит:
PV = 50 - 1 50 = 149,5 млн.руб.
0,2 (1+ 0,2)5 0,2

Для расчета будущей стоимости обыкновенной ренты (постнумерандо) применяется формула:
FV = R ? (1+ i)n, (2)
или
FV = R (1+ i)n - 1 , или: FV = R (1+ i)n -R , (2а)
iii
где FV - будущая стоимость аннуитета;
R - ежегодные вклады равными суммами; (член ренты)
i - процентная ставка (коэффициент наращивания капиталовложений, предпочтительный для инвестора).
Подобные расчеты в страховании называют актуарными. Они позволяют рассчитать объем потоков денежных средств, накопленную сумму страхового фонда и т.д.
Пример. Для погашения пакета облигаций, выпущенных на 5 лет, создается погасительный фонд при ежегодных платежах по 20 млн руб., на которые начисляются проценты по ставке 10%. Определим итоговую (наращенную) сумму при условии, что проценты начисляются один раз в год.
FV = 20 (1 +0,l)5 -20 =1,61051х200-200= 122,102 млн руб.
0.10.1
Таким образом, по истечении 5 лет предприятие накопит 122,1 млн руб. для погашения пакета выпущенных облигаций.

б) Расчет текущей стоимости и доходности ценных бумаг
Напомним, что стоимость ценной бумаги это абсолютная величина. Различают: номинальную и рыночную стоимость.
Доходность - это относительная величина: в общем виде это отношение дохода от данного финансового актива к объему инвестиций. Различают купонную и текущую доходность, доходность к сроку погашения.
Текущая рыночная стоимость любой ценной бумаги в общем виде может быть рассчитана по следующей формуле:
РV = ? CFп, (1)
(1+ r)n
где CFп - ожидаемый денежный поток в п -периоде;
r- приемлемая норма доходности.
Таким образом, подставляя в эту формулу предполагаемые поступления, норму дохода и период прогнозирования, можно рассчитать текущую стоимость любого финансового актива. Приемлемая норма доходности может устанавливаться инвестором следующими способами:
* в размере процентной ставки по банковским депозитам;
* исходя из процента, выплачиваемого банком вкладчику за хранение его средств, и надбавки за риск инвестирования в данный финансовый актив;
* исходя из процента, выплачиваемого по правительственным облигациям, и надбавки за риск.