Домой Банки На каждом из двух комбинатов работает.

Банки

На каждом из двух комбинатов работает.

Подготовка к единому государственному экзамену по математике. Видеоразборы и подборка экономических задач на банковские проценты и оптимизацию.

Видеоразборы задач

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$ тыс. рублей в конце года $t$ ($t = 1; 2; \ldots$). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счет в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете будет увеличиваться в $(1 + r)$ раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счете была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях $r$ это возможно?

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс рублей. Условия его возврата таковы:
− каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
− в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. рублей;
− выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. рублей;
− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет.

15-го января планируется взять кредит в банке на 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:
− 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;
− со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
− 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей

Найдите наибольшее значение $r$, при котором общая сумма выплат будет составлять менее 1,2 млн рублей.

Подборка задач

Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вклад ежегодно пополняется на 2 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 15 млн рублей. (ЕГЭ-2016)
Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего года и четвертого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше 30 млн рублей. (ЕГЭ-2016)
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере $S$ млн рублей, где $S$ — целое число. Условия его возврата таковы:

− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
− в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей. Найдите наибольшее значение $S$, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей. (ЕГЭ-2016)
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере $S$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
− каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
− в июле 2017,2018 и 2019 долг остается равным $S$ тыс. рублей;
− выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 625 тыс. рублей;
− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью. Найдите общую сумму выплат за пять лет. (ЕГЭ-2016)
Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на $х$ млн. рублей, где $х$ — целое число. Найдите наименьшее значение х, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 7 млн рублей. (ЕГЭ-2016)
Вклад в размере 20 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на $х$ млн рублей, где $х$ — целое число. Найдите наибольшее значение $х$, при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше 17 млн рублей. (ЕГЭ-2016)
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке в размере $S$ тыс. рублей, где $S$ — натуральное число, на 3 года. Условия его возврата таковы
− каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
− в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей. Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей. (ЕГЭ-2016)
Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $2t$ единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $5t$ единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих? (ЕГЭ-2015)
Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $3t$ единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $4t$ единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах? (ЕГЭ-2015)
15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на $r$% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите $r$. (ЕГЭ-2015)
31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
Cергей взял кредит в банке на срок 9 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Сергеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Сергеем банку (сверх кредита)?
Гражданин Петров по случаю рождения сына открыл 1 сентября 2008 года в банке счёт, на который он ежегодно кладет 1000 рублей. По условиям вклада банк ежегодно начисляет 20% на сумму, находящуюся на счёте. Через 6 лет у гражданина Петрова родилась дочь, и 1 сентября 2014 года он открыл в другом банке счёт, на который ежегодно кладёт по 2200 рублей, а банк начисляет 44% в год. В каком году после очередного пополнения суммы вкладов сравняются, если деньги со счетов не снимают?
Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк $\dfrac{3}{4}$ от всей суммы, которую он должен был банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?
Игорь купил акцию за 8 000. В конце каждого года стоимость акции увеличивается на 1 000. В любой момент Игорь может продать акцию и положить все деньги в банк на счет. В конце каждого года сумма на счету в банке увеличивается на 8%. В течении какого года Игорю нужно положить деньги в банк, чтобы через 25 лет после покупки акции сумма на счету в банке была максимальна?
По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 20 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает на 21 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А».
По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число миллионов рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начисления процентов нужны дополнительные вложения: по 20 миллионов рублей в первый и второй годы, а также по 10 миллионов в третий и четвёртый года. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором они за два года станут больше 125 миллионов, а за четыре года станут больше 200 миллионов рублей.
В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,3 кг никеля. Во второй области для добычи $x$ кг алюминия в день требуется $x^2$ человеко-часов труда, а для добычи $y$ кг никеля в день требуется $y^2$ человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?
Ювелирному мастеру поступил на обработку алмаз с дефектом. Этот дефект можно устранить, разделив алмаз на три части, суммарный вес которых после огранки составит 50 карат. При этом вес меньшего из полученных бриллиантов будет не меньше 5 карат, а вес большего из них -- не более 30 карат (возможность равенства бриллиантов по весу на исключается). Известно, что стоимость бриллианта пропорциональна квадрату его веса. Какой вес должен придать мастер каждому из трех бриллиантов, чтобы их суммарная стоимость была максимальной?
Малое предприятие выпускает изделия двух типов. Для изготовления изделия первого типа требуется 5 часов работы станка А и 3 часа работы станка В, а для изготовления изделия второго типа требуется 2 часа работы станка А и 4 часа работы станка В (станки могут работать в любой последовательности). По техническим причинам станок А может работать не более 150 часов в месяц, станок В - не более 132 часов в месяц. Каждое изделие первого типа приносит предприятию 300 денежных единиц прибыли, а каждое изделие второго типа - 200 денежных единиц прибыли. Найдите наибольшую возможную ежемесячную прибыль предприятия и определите, сколько изделий первого типа и сколько изделий второго типа следует выпускать для получения этой прибыли.
Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 2 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 15 млн рублей.
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?
Алексей приобрёл ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10 %. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?
Савелий хочет взять в кредит 1,4 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Савелий взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 330 тысяч рублей?
31 декабря 2014 года Пётр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Пётр переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 592 000 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4 392 000 рублей, то за 2 года. Под какой процент Пётр взял деньги в банке?
Зависимость объема $Q$ (в шт) купленного у фирмы товара от цены $Р$ (в руб. за шт.) выражается формулой $Q=15000-P$, $1000\leqslant P\leqslant 15000$. Доход от продажи товара составляет $PQ$ рублей. Затраты на производство $Q$ единиц товара составляют $3000Q+5000000$ рублей. Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену продукции на 20%, однако ее прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?
Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны $0,5х^2+2x+6$ млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $px - (0,5x^2+2x+6)$. Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более, чем за 3 года?
В двух областях работают по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,3 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется $x^2$ человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется $y^2$ человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно за сутки для нужд промышленности?
В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 60 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 260 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 2 кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?
У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором - 500 ц/га. Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 8000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
В 1-е классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом ― 23. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?
У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 400 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 11 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется $x^2$ человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется $у^2$ человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно за сутки суммарно добыть в двух областях?
На каждом из двух заводов работает по 100 человек. На первом заводе один рабочий изготавливает за смену 3 детали А или 1 деталь В. На втором заводе для изготовления t деталей (и А, и В) требуется $t^2$ человеко-смен. Оба завода поставляют детали на комбинат, где собирают изделие, причем для его изготовления нужна 1 деталь А и 3 детали В. При этом заводы договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?
Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
Производство x тыс. единиц продукции обходится в $q = 0,5x^2 + x + 7$ млн рублей в год. При цене p тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет $px - q$. При каком наименьшем значении p через три года суммарная прибыль составит не менее 75 млн рублей?
Первичная информация разделяется по серверам №1 и №2 и обрабатывается на них. С сервера №1 при объёме $t^2$ Гбайт входящей в него информации выходит $20t$ Гбайт, а с сервера №2 при объёме $t^2$ Гбайт входящей в него информации выходит $21t$ Гбайт обработанной информации; $25 < t < 55$. Каков наибольший общий объём выходящей информации при общем объёме входящей информации в 3364 Гбайт?

На каждом из двух заводов работает по 100 человек. На первом заводе один рабочий изготавливает за смену 3 детали А или 1 деталь В . На втором заводе для изготовления t деталей (и А , и В ) требуется t 2 человеко-смен. Оба завода поставляют детали на комбинат, где собирают изделие, причем для его изготовления нужна 1 деталь А и 3 детали В . При этом заводы договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?

Решение.

Начнём решение с анализа фразы: «на втором заводе для изготовления t деталей (и А , и В ) требуется человеко-смен». Из этого условия следует, что работающие на заводе 100 человек за смену смогут произвести максимум 10 деталей.

Пусть на первом комбинате х А , а остальные 100 − х рабочих производят детали типа В , и пусть на втором комбинате из 10 деталей производится y деталей типа А и 10 − y деталей типа В

	Деталь A		Деталь B
	Количество человек	Количество деталей	Количество человек	Количество деталей
Первый комбинат
Второй комбинат
Всего

B A :

Пусть s шт. - количество изделий, оно равно количеству деталей типа А

s соответствует наибольшее значение при неотрицательных целых значениях y , не больших 10.

Функция − убывающая. Наибольшее значение на отрезке она принимает при , при этом , а

Таким образом, максимальное количество изделий за смену будет собрано, если на втором заводе будут изготавливать только детали типа В (100 рабочих изготовят 10 деталей типа В ), а на первом заводе 11 человек изготовят 33 детали типа А , а остальные 89 рабочих изготовят 89 деталей типа В . Итого получим 33 детали типа А и 99 деталей типа В , на производстве которых были заняты все 200 человек.

Значит, комбинат сможет собрать за смену 33 изделия.

Ответ: 33 изделия.

Замечание.

Вначале мы прочли условие иначе и полагали, что на втором заводе для изготовления t деталей каждого типа (и А , и В независимо друг от друга) требуется t 2 человеко-смен. Приведём решение и примечания к нему для такого понимания условия. К этому же пониманию условия относятся комментарии читателей.

Пусть на первом комбинате х рабочих, а на втором комбинате y рабочих заняты на производстве детали А . Внесем данные из условия в таблицу.

	Деталь A		Деталь B
	Количество человек	Количество деталей	Количество человек	Количество деталей
Первый комбинат
Второй комбинат
Всего

Для производства изделий деталей типа B должно быть в три раза больше деталей типа A :

Пусть s шт - количество изделий, оно равно количеству деталей типа А : Будем искать наибольшее возможное значение этого выражения, подставив в него (*):

Наибольшему возможному значению s соответствует наибольшее значение при натуральных значениях y не больших 100. Имеем:

Найдем нули производной:

В найденной точке производная меняет знак с плюса на минус, поэтому в ней функция достигает максимума, совпадающего с наибольшим значением функции на исследуемой области, равным при этом Количество деталей должно быть натуральным числом, поэтому рабочие могут произвести, самое большее, 33 детали типа А .

Из (*) находим чел. Это означает, что 10 рабочиx первого комбината и 10 рабочих второго комбината должны быть заняты на производстве детали А , за сутки они произведут их 33 шт, оставшиеся 90 рабочих первого комбината и 90 рабочих второго комбината должны быть заняты на производстве деталей В , за сутки они произведут их 99 шт.

Ответ: 33 изделия.

Примечание 1.

Внимательный читатель мог бы задать вопрос о том, почему в равенстве (*) предполагается, что деталей производится ровно в отношении 1:3. Ведь можно произвести, например, 11 деталей типа B и 34 детали типа А , из них получится собрать 33 изделия, а одна деталь типа А останется лишней. Ответим на этот вопрос.

Если есть лишние детали, то уменьшим их число до соотношения 1:3 и отправим на обед людей, производивших лишние детали. Тогда получим решение задачи для меньшего числа людей, но с тем же выходом продукта и соотношением деталей 1:3. Теперь вернём людей с обеда. Меньшего количества изделий мы не получим, поскольку зависимость между числом деталей и количеством людей неубывающая. Большего количества изделий тоже не достичь, поскольку из лишних деталей целого изделия собрать не получится. Поэтому наибольшее количество изделий совпадет с найденным.

Примечание 2.

Заметим, что если рабочие второго комбината будут производить только детали типа В , то они произведут их 10 шт. Пусть при этом 89 рабочих первого комбината произведут 89 деталей типа В , а оставшиеся 11 рабочих первого комбината произведут 33 детали типа А . Тогда всего будет произведено 33 детали типа А и 99 деталей типа В . Из них также можно собрать 33 изделия. Таких вариантов довольно много (см. таблицу в конце).

Примечание 3.

Можно было бы спросить, почему не образовать из рабочих второго завода 100 независимых групп, каждая из которых состоит из одного рабочего.

Приведём решение Евгения Обухова.

Пусть первый завод выпускает x деталей В , а второй завод выпускает y деталей В . Тогда на первом заводе деталь В выпускает x рабочих, а деталь А выпускает рабочих. Поэтому первый завод выпускает деталей А .

На втором заводе деталь В выпускает рабочих, деталь А выпускает рабочих. Поэтому второй завод выпускает деталей A. Здесь - целая часть числа.

Пусть комбинат выпускает k изделий. Имеем следующие необходимые и достаточные условия:

Рассмотрим Тогда получим:

Домножим второе неравенство на 3 и сложим с первым, получим: Заметим, что (при ) удовлетворяют исходному неравенству. То есть комбинат может изготовить 33 изделия.

Проверим, может ли он изготовить больше. Пусть , тогда:

Следовательно, максимальное число изделий, которое может произвести комбинат, равно 33.

Приведём таблицу других вариантов, также дающих 33 изделия

Решим несколько задач из задания 17.

Задача 1. В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи кг никеля в день требуется человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях сможет ежедневно производить завод?

Сначала поясним термин, который встречается в условии:

Человеко-час

Вот что написано по этому поводу в Википедии:

"Человеко-час - единица учёта рабочего времени, соответствует часу работы одного человека. Иногда удобно оценить работу через количество человеко-часов для её выполнения, что позволяет при планировании более точно сопоставлять количество работников и сроки выполнения задания.

Суммарные человеко-часы являются результатом умножения количества работников на время, потраченное на работу. То есть 40 человеко-часов формируют 1 человек, работающий 40 часов, или 2 человека, работающие 20 часов, или 4 человека, работающие 10 часов и т. д."

Иногда при решении задачи удобно найти, сколько человеко-часов требуется для изготовления единицы продукции. Например, если в условии сказано, что один рабочий делает за час две детали, следовательно, на изготовление одной детали требуется человеко-часа.

Так как в каждой области имеем по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки, получаем 500 человеко-часов в сутки в каждой области.

Пусть в первой области добывается кг алюминия и кг никеля в сутки. Во второй области, соответственно кг алюминия и кг никеля в сутки.

В первой области один рабочий за час добывает

0,2 кг алюминия, следовательно, на изготовление 1 кг алюминия требуется 5 человеко-часов, и на добычу кг алюминия человеко-часов,

0,1 кг никеля, следовательно, на изготовление 1 кг никеля требуется 10 человеко-часов, и на добычу кг никеля человеко-часов.

Так как за сутки вырабатывается всего 500 человеко-часов, получаем первое уравнение:

Во второй области на изготовление кг алюминия требуется человеко-часов, и на изготовление кг никеля требуется человеко-часов.

Так как за сутки вырабатывается всего 500 человеко-часов, получаем второе уравнение:

Всего в обоих областях добывается кг алюминия и кг никеля.

По условию в сплаве на на 1 кг алюминия приходится 2 кг никеля, следовательно, никеля должно быть в два раза больше, чем алюминия. Получаем третье уравнение:

В итоге масса полученного сплава равна суммарной массе добытых металлов:

Или, учитывая последнее уравнение,

Получили систему:

Выразим все переменные через одну, например, через .

Из первого уравнения: .

Из второго уравнения: . (Сразу заметим, что .)

Подставим в третье уравнение:

Подставим выражение для в четвертое уравнение системы и получим функциональную зависимость массы сплава от переменной :

Где .

Найдем максимальное значение функции на отрезке .

Найдем производную и приравняем ее к нулю.

На отрезке производная равна нулю при . Легко проверить, что слева от производная положительна, а справа отрицательна, следовательно функция имеет на отрезке единственный максимум в точке , следовательно, в точке функция принимает наибольшее значение.

Найдем его.

В двух областях есть по 40 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий добывает за час 0,1 кг алюминия или 0,2 кг никеля. Во второй области для добычи кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи кг никеля в день требуется человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать алюминий или никель, причем 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть суммарно в двух областях для нужд промышленности?

В каждой области рабочие в сутки вырабатывают человеко-часов.

По условию 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. В первой области один рабочий добывает за час 0,1 кг алюминия или 0,2 кг никеля, то есть никель добывать выгоднее. Тогда в первой области 40 рабочих за сутки добудут кг никеля.

Пусть во второй области в сутки добывают кг алюминия и кг никеля. Тогда при условии (1) нужно найти наибольшее значение суммы .

Из уравнения (1) выразим : .

Получим функцию зависимости массы металлов, добытых во второй области от : на отрезке .

Приравняем производную у нулю:

Промежутку принадлежит точка . Докажем, что - точка максимума функции . Слева от точки (например, в точке ) .

Справа от точки (например, в точке ) , следовательно, - точка максимума функции .

Найдем

В итоге, суммарная добыча металлов в в двух областях составит кг.

На каждом комбинате работает по 200 человек. На первом комбинате один рабочий изготавливает 1 деталь А или 3 детали В. На втором комбинате для изготовления деталей (и А, и В) требуется человеко-смен. Оба эти комбината поставляют детали на комбинат,из которых собирают изделие,для изготовления которого нужна 1 деталь А и 1 деталь В. При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?

Пусть на первом комбинате за смену изготавливается деталей А и деталей В. На втором комбинате, соответственно деталей А и деталей В.

В каждую смену отрабатывается 200 человеко-смен.

Получим систему уравнений:

Из первого уравнения , из второго:

Подставим в третье уравнение:

Тогда

Найдем наибольшее значение функции на отрезке

Приравняем производную к нулю:

Нетрудно убедиться, что слева от точки производная положительна, а справа - отрицательна. Следовательно, точка - точка максимума функции

на отрезке

НО! Величины могут принимать только натуральные значения.

То есть наиболее близкие к точке максимума числа 13 и 14.

Рассмотрим :

Проверяем : . Мы получим наибольшее целое , если . Тогда

Если :

Ответ: 161.

Рассмотрим другое решение.

Решим в целых числах уравнение .

Возможны варианты:

; ;

Найдем для каждой пары значения и :

Получили тот же ответ: 161.

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 кв. м и номера "люкс" площадью 49 кв. м. Общая площадь, которую можно отвести под номера составляет 630 кв. м. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 руб в сутки, а номер "люкс" - 5000 руб в сутки. Какую наибольшую сумму денег может заработать на своем отеле предприниматель?

Сначала посчитаем, какую прибыль приносит 1 кв. м номера каждого типа.

Стандартный номер имеет площадь 21 кв. м и приносит отелю 2000 руб в сутки, следовательно, 1 кв. м этого номера приносит отелю руб. в сутки.

Стандартный номер имеет площадь 49 кв. м и приносит отелю 5000 руб в сутки, следовательно, 1 кв. м этого номера приносит отелю руб. в сутки.

Очевидно, что "удой" с каждого квадратного метра номера "люкс" выше, чем с квадратного метра стандартного номера. То есть для предпринимателя выгоднее отвести под номера "люкс" максимальную площадь. Однако, он не может распределить площадь под номера произвольным образом - площадь, отведенная под стандартные номера должна быть кратна площади одного номера, то есть числу 21, а площадь, отведенная под номера "люкс" должна быть кратна числу 49.

Подберем соответствующее количество номеров. Предприниматель не может отвести всю площадь под номера "люкс", так как 630 не делится на 49.

Пусть предприниматель запланировал 1 стандартный номер. Тогда под номера "люкс" останется 630-21=609. 609 не делится на 49.

Пусть предприниматель запланировал 2 стандартных номера. Тогда под номера "люкс" останется 630-42=588. 588 делится на 49. 588:49=12

Итак, предприниматель получит максимальную сумму денег, если запланирует 2 стандартных номера и 12 номеров люкс.

И эта сумма равна:

Ответ: 64 000.

Заметим, что в этой задаче все так прекрасно устроилось, так как оказалось возможным решить в целых числах уравнение , где - количество стандартных номеров, и - количество номеров "люкс".

Если мы вместо числа 630 возьмем, например, число 653 (как предлагается в сборнике ЕГЭ 2016, Математика, 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2, (Ященко И.В., Волчкевич М. А., Высоцкий И.Р.), то легко убедиться, что уравнение не имеет решений в целых числах. Тогда, видимо, предприниматель не может отвести всю площадь без остатка под номера. И у него должна остаться "кладовочка".

Найдем, какую наибольшую сумму получит предприниматель в этом случае.

Пусть предприниматель всю площадь отведет под номера "люкс". Тогда у него получится 13 номеров и останутся неиспользованными 16 кв. м. (653:49=13(16)) Доход в этом случае составит руб.

Пусть предприниматель запланировал 1 стандартный номер. Тогда под номера "люкс" останется 653-21=632 м. 632:49=12(2). То есть можно будет спроектировать 12 номеров "люкс", останутся неиспользованными кв. м. На этой площади можно разместить еще два стандартных номера, и останутся неиспользованными 2 кв. м. Доход в этом случае составит руб.

Ответ: 66 000.

Презентации.

Новые экономические задачи

в ЕГЭ – 2016 года

(задача 17)

Собрала

учитель математики

МКОУ СОШ №10

Комарова Галина Петровна

Юца 2015

№1. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 300 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 1 кг никеля.

Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Ответ: 5 400 кг сплава сможет произвести завод ежедневно.

№2. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 квадратный метр и номера «люкс» площадью 49 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1099 квадратных метров. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» 4500 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Ответ: 104 500 рублей в сутки сможет заработать предприниматель на своем отеле.

№3. В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х х 2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у 2 человеко-часов труда.

1 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металла так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Ответ: 90 кг сплава сможет произвести завод за сутки.

№4. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Ответ: 86 000 рублей сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель.

№5. В двух областях есть по 90 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х 2 человеко-часов, а для добычи у кг никеля в день требуется у 2 человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причем 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?

Ответ: 165 кг металлов можно добыть в двух областях.

№6. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 200ц/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет - 200 ц/га, а на втором – 300 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свеклу - по цене 13 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Ответ: 69 000 000 рублей может получить фермер.

№7 . В двух областях есть по 250 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х 2 человеко-часов, а для добычи у кг никеля в день требуется у 2 человеко-часов труда.

Ответ: 300 кг металлов можно добыть в двух областях.

№8. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором – 300ц/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет - 300 ц/га, а на втором – 400 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 5 000 руб. за центнер, а свеклу - по цене 6 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Ответ: 44 000 рублей может получить фермер.

№9. В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х 2 человеко-часов, а для добычи у кг никеля в день требуется у 2 человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на

2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металла так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Ответ: 240 кг металлов можно добыть в двух областях.

№10 . На каждом из двух комбинатов работает по 1 800 человек. На первом комбинате один рабочий изготавливает за смену 1 детали А или 2 деталь В. На втором комбинате для изготовления t t 2 человеко-смен.

Ответ: 1860 изделий

№11 . На каждом из двух комбинатов работает по 200 человек. На первом комбинате один рабочий изготавливает за смену 1 детали А или 3 деталь В. На втором комбинате для изготовления t деталей (и А, и В) требуется t 2 человеко-смен.

Обе эти комбината поставляют детали на комбинат, из которых собирают изделие, для изготовления которого нужна 1 деталь А и 1 детали В.

При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях сможет собрать комбинат за смену?

Ответ: 220 изделий.

№12 . На каждом из двух комбинатов изготавливают детали А и В. На первом комбинате работает 40 человек, и один рабочий изготавливает за смену 15 детали А или 5 деталей В. На втором комбинате работает 160 человек, и один рабочий изготавливает за смену 5 деталей А и 15 деталей В.

Ответ: 1800 изделий.

№13 . На каждом из двух комбинатов изготавливают детали А и В. На первом комбинате работает 40 человек, и один рабочий изготавливает за смену 15 детали А или 5 деталей В. На втором комбинате работает 100 человек, и один рабочий изготавливает за смену 5 деталей А и 15 деталей В.

Обе эти комбината поставляют детали на комбинат, из которых собирают изделие, для изготовления которого нужна 2 детали А и 1 деталь В.

Ответ: 1980 изделий.

№14. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 855 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» - 3000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Ответ: 63 000 рублей.

№15 . На каждом из двух комбинатов изготавливают детали А и В. На первом комбинате работает 60 человек, и один рабочий изготавливает за смену 10 детали А или 15 деталей В. На втором комбинате работает 260 человек, и один рабочий изготавливает за смену 15 деталей А и 10 деталей В.

Ответ: 2250 изделий.

Литература:

ЕГЭ 2016. Математика. 50 вариантов типовых тестовых заданий / И.В. Ященко, М.А. Волчкевич, И.Р. Высоцкий, Р.К. Гордин, П.В.Семенов, и т.д.; под ред. И.В. Ященко – М.: Издательство «Экзамен», 2016. – 247, с.

ЕГЭ-2016. Математика: 30 вариантов экзаменационных работ для подготовки к единому государственному экзамену: профильный уровень \ под ред. И.В. Ященко. – Москва: АСТ: Астрель, 2016. – 135, с.

Окружной конкурс творческих работ учащихся

«Интеллект, творчество, фантазия»

Секция: математика

ТЕМА: «Особенности решения текстовых задач

с экономическим содержанием»

Выполнила: Давыдова Елена Петровна,

ученица 10 класса

ГБОУ лицея (экономического) с. Исаклы

Научный руководитель:

Кузаева Валентина Николаевна,

учитель математики высшей категории

Исаклы

2017

I . Введение;

II . Основная часть

Глава 1. Задачи по кредитованию;

Глава 2. «Банковские» задачи;

Глава 3. Задачи на оптимизацию;

III . Заключение;

IV . Список использованной литературы.

I . Введение

Появление в заданиях ЕГЭ по математике профильного уровня новой практико-ориентированной задачи №17 обуславливает актуальность выбранной темы . В данных задачах учащимся предлагается ознакомиться с разными банковскими операциями: кредитование, вклады. Также есть задачи, связанные с оптимальным выбором, которые требуют решения по определенным структурам.

Теоретическая значимость проведённого исследования состоит в том, что оно поможет выпускникам научиться решать экономические задачи.

Практическая значимость работы определяется тем, что результаты исследования могут быть использованы учащимися при решении задач профильного уровня на ЕГЭ.

Проблема: Ученики, сдающие ЕГЭ по профильной математике, при анализе задачи №17(экономические задачи) испытывают трудности или вовсе не могут ее решить.

по региону за 2016 год

Статистика решающих задачу № 17

по лицею за 2016 год

Гипотеза: приобретение практических навыков при решении экономических задач профильного уровня позволит мне успешно сдать ЕГЭ по математике, а также поможет в профессиональном становлении личности.

Задачи:

классифицировать экономические задачи по типам и видам;

изучить алгоритм решения экономических задач;

научиться решать экономические задачи, относящиеся к разным типам и видам;

создать сборник экономических задач с решениями.

Методы исследования:

сбор конкретной информации (изучение литературы);

анализ полученной информации;

систематизация полученной информации.

Результаты исследования:

проект;

слайдовая презентация;

сборник задач.

Объект исследования – экономические задачи.

Предмет исследования – особенности решения экономических задач.

II . Основная часть

Глава 1. Задачи по кредитованию

Кредит – это ссуда, предоставленная банком заемщику под определенные проценты за пользование деньгами. Как известно, существует два вида платежей по кредиту: дифференцированный и аннуитетный.

Аннуитетный платеж – представляет собой равные ежемесячные транши, растянутые на весь срок кредитования. В сумму транша включены: часть ссудной задолженности, начисленный процент, дополнительные комиссии и сборы банка (при наличии). При этом, в первые месяцы (или годы) кредита большую часть транша составляют проценты, а меньшую – погашаемая часть основного долга. Ближе к концу кредитования пропорция меняется: большая часть транша идет на погашение «тела» кредита, меньшая – на проценты. При этом общий размер транша всегда остается одинаковым.

Дифференцированный платеж – представляет собой неравные ежемесячные транши, пропорционально уменьшающиеся в течение срока кредитования. Наибольшие платежи – в первой четверти срока, наименьшие – в четвертой четверти. «Срединные» платежи обычно сравнимы с аннуитетом. Ежемесячно тело кредита уменьшается на равную долю, процент же насчитывается на остаток задолженности. Поэтому сумма транша меняется от выплаты к выплате.

Такие виды платежей рассматриваются в КИМах по математике ЕГЭ 2015-2017 года. Но кроме этих известных схем осуществления платежей по кредиту существуют и индивидуальные схемы расчета платежей по кредиту. Эти схемы представлены в задании №17 по математике профильного уровня.

Решение задач о кредитах в настоящее время очень актуально, так как жизнь современного человека тесно связана с экономическими отношениями, в частности, с операциями в банке.

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Решение: Кредит А = 9 930 000 рублей;

срок – 3 года;

начисление 10% – увеличение в 1,1 раза(k =1,1) ;

выплаты – х рублей ежегодно.

долг

выплаты

остаток

Ответ: 3 993 000 рублей.

Иван хочет взять в кредит 1 млн. рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Процентная ставка 10% годовых. На какое минимальное количество лет Иван может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты не превышали 250 тысяч рублей?

Решение:

Год

Долг Ивана до начисления процентов

Долг Ивана банку после начисления процентов

Долг Ивана банку после внесения им суммы ежегодного платежа

1 000 000

1 100 000

850 000

935 000

685 000

753 500

503 500

533 850

303 850

334 235

84 235

Меньше 100 000

Меньше 110 000

В последней строчке применятся метод оценки, чтобы не считать 10% от 84 235. Мы строго показали, что 5 лет Ивану не хватит для возвращения кредита, а 6 лет-хватит.

Ответ: 6 лет.

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплат кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма x, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)? Ответ: 2 296 350.

31 декабря 2014 года Ярослав взял в банке некоторую сумму в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Ярослав переводит в банк 2 132 325 рублей. Какую сумму взял Ярослав в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)? Ответ: 6 409 000.

Оля хочет взять в кредит 100 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10 % годовых. На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 24000 рублей? Ответ: 6.

1 января 2015 года Павел Витальевич взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Павел Витальевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Павел Витальевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 125 тыс. рублей? Ответ: 9.

Глава 2. «Банковские» задачи»

Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу после начисления процентов Миша снял со своего счета 5000 рублей, а еще через год снова внес 5000 рублей. Маша, наоборот, через год доложила на свой счет 5000 рублей, а еще через год сразу после начисления процентов сняла со счета 5000 рублей. Кто через три года со времени первоначального вложения получит большую сумму и на сколько рублей?

Решение: Пусть для определенноcти Миша и Маша 15.01.12 положили в банк x рублей. Подготовим выписки из лицевых счетов Маши и Миши.

Выписка из лицевого счета Маши.

Дата

операции

Наименование операции

15.01.12

Принято от клиента

15.01.13

Начислено на остаток

1,1x

15.01.13

Принято от клиента

5000

1,1x + 5000

15.01.14

Начислено на остаток

15.01.14

Выдано клиенту

5000

15.01.15

Начислено на остаток

15.01.15

Выдано клиенту

Дата

операции

Произведенная операция и на какую сумму

Остаток на счете клиента (руб.)

Наименование операции

На какую сумму (руб.)/ размер в %

15.01.12

Принято от клиента

15.01.13

Начислено на остаток

1,1x

15.01.13

Выдано клиенту

5000

1,1x - 5000

15.01.14

Начислено на остаток

15.01.14

Принято от клиента

5000

15.01.15

Начислено на остаток

15.01.15

Выдано клиенту

Выписка из лицевого счета Миши.

на 1 100 рублей

Итак, Маша получила на 1100 руб. больше, чем Миша.

Ответ: Маша; на 1 100 рублей

Алексей приобрел ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?

Решение (на основе логического мышления):

Продать ценную бумагу нужно в том момент, когда 10% от стоимости станут составлять не менее 2 тыс. рублей, что возможно при стоимости бумаги не менее 20 тыс. рублей.

Это произойдет через семь лет после покупки ценной бумаги, когда ее стоимость будет равна 21 тыс. рублей (7 000 + 2000 * 7=21 000). И в этот момент 10% от стоимости этой бумаги будут равны 2100 рублей (21 000 * 0,10=2 100) то есть больше, чем 2000 р. Значит, надо продать бумагу, а вырученные деньги положить на счет в банке.

Таким образом, ценную бумагу нужно продать в течение восьмого года.

Ответ: 8.

Владимир поместил в банк 3600 тысяч рублей под 10% годовых. В конце каждого из первых двух лет хранения после начисления процентов он дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу третьего года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 48,5%. Какую сумму Владимир ежегодно добавлял к вкладу? Ответ: 251.

Василий кладет в банк 1 000 000 рублей под 10% годовых на 4 года (проценты начисляются один раз после истечения года) с правом докладывать три раза (в конце каждого года) на счет фиксированную сумму 133 000 рублей. Какая сумма будет на счете у Василия через 4 года? Ответ: 1 948 353.

В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после начисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу? Ответ: 1197.

Алексей приобрёл ценную бумагу за 8 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 1 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 8%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через двадцать пять лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей? Ответ: 6.

Глава 3. Задачи на оптимизацию

Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, т.е. оптимального решения поставленной задачи. Задачи подобного рода носят общее название – экономические задачи на оптимизацию или экстремальные задачи. Эти задачи тесно связаны с практической деятельностью человека. Как добиваться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени – так ставятся вопросы, над которыми приходится думать каждому члену общества. Экстремальные задачи с достаточной полнотой закладывают в сознание учащихся понимание того, как человек ищет, постоянно добивается решения жизненных задач, чтобы получающиеся результаты его деятельности были как можно лучшими. Решая задачи указанного типа, учащиеся видят, с одной стороны, абстрактный характер математических понятий, с другой – большую и эффективную их применимость к решению практических, жизненных задач. Такая постановка экстремальных задач способствует расширению сферы приложений учебного материала, повышает роль этих задач в осуществлении глубокой цели математического образования школьников – обучать приложению математики в различных областях человеческой деятельности. Экстремальные задачи помогают школьнику ознакомиться с некоторыми идеями и прикладными методами курса математики, которые часто применяются в трудовой деятельности, в познании окружающей действительности. Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению математических знаний учащихся. Через задачи они знакомятся с экстремальными свойствами изучаемых функций.

Два велосипедиста равномерно движутся по взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку этих дорог. Один из них движется со скоростью 40 км/ч и находится на расстоянии 5 км от перекрестка, второй движется со скоростью 30 км/ч и находится на расстоянии 3 км от перекрестка. Через сколько минут расстояние между велосипедистами станет наименьшим? Каково будет это наименьшее расстояние?

Решение: Обозначим буквой t время, прошедшее после так называемого начального времени. Поскольку каждый велосипедист движется по взаимно перпендикулярным дорогам, говоря иначе по катетам некоторого прямоугольного треугольника, то расстояние между ними будет меняться по гипотенузе этого же прямоугольного треугольника, длина которого вычисляется по теореме Пифагора. Если f(t) - квадрат длины гипотенузы в каждый момент времени, то будем иметь:

Итак, У данной квадратичной функции есть наименьшее значение, которое достигается при
.

Ответ : 6,96 ч; 0,6 км.

На каждом из двух комбинатов работают по 100 человек. На первом комбинате один рабочий изготавливает за смену 3 детали А или 1 деталь В. На втором комбинате для изготовления t деталей (и А, и В) требуется t2 человеко-смен. Оба эти комбината поставляют детали на комбинат, из которых собирают изделие, для изготовления которого нужна 1 деталь А и 3 детали В. При этом комбинаты договариваются изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий может собрать комбинат при таких условиях?

Решение: Пусть на первом комбинате х человек изготавливают деталь А, по 3 штуки за смену. Значит, всего 3х деталей А. Тогда (100 –х) человек изготавливают деталь В, по 1 штуке за смену. Всего (100-х) деталей В.

Пусть на втором комбинате изготавливают a деталей А и b деталей В. Тогда на изготовление деталей А требуется человеко-смен, а для изготовления детали В человеко-смен. По условию
, так как в одну смену трудятся все 100 рабочих второго комбината. Сведем все данные в таблицу:

Чтобы собрать наибольшее количество изделий, нужно соблюдать условие:

1 деталь А и 3 детали В. В противном случае лишние детали будут залеживаться, из них нельзя будет собрать изделие, пока не будет готова другая деталь. Значит, 3(3х +a ) = 100 – х +b ; 10х= 100 + b – 3a . (1)

В каждом изделии содержится 1 деталь А и 3 детали В. Значит, общее количество изделий равно числу изделий А.

Так как a и b – целые числа и , то возможны следующие случаи:

1) a =0, b =10. Тогда из равенства (1) х=11 и 3х +a =3∙11 +0=33.

2) a =10, b =0. Тогда из равенства (1) х=7 и 3х +a =3∙7 +10=31.

3) a =6, b =8. Тогда х=9 и 3х +a =33.

4) a =8, b =6. Тогда х=8,2 – не является целым числом.

Значит, наибольшее количество изделий равно 33.

Ответ: 33.

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором - 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором - 400 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу - по цене 11 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер? Ответ: 84 млн.

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 квадратный метр и номера «люкс» площадью 49 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1099 квадратных метров. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» 4500 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель? Ответ: 125 000.

III . Заключение

Перед началом работы я выдвинула гипотезу , что приобретенные практические навыки при решении экономических задач профильного уровня позволят мне успешно сдать ЕГЭ по математике.

Я считаю, что поставленную перед собой цель достигла:

В ходе исследования я выделила 3 вида экономических задач:

По кредитованию;

На оптимизацию;

- «банковские задачи»;

Изучила данную тему более углубленно, чем в школьном курсе;

Создала сборник текстовых задач с экономическим содержанием.

Мой сборник может быть использован другими учащимися при подготовке

к экзаменам. Он издан в печатном и в электронном варианте.

IV . Список использованной литературы

1. «Математика. Профильный уровень. Типовые задания. ЕГЭ 2017», авт.

И.В. Ященко, Москва, изд. «Экзамен»;

2. Учебное пособие «Тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ по математике 2017», авт. А. А. Максютин, С. В. Богатырев, Самара, изд. СИПКРО;

3. «Практико-ориентированные задачи в заданиях ЕГЭ по математике: сборник экономических задач и задач на оптимизацию по математике», авт. Г. М. Конева, Улан-Удэ, изд. Бурятского гос. Университета, 2017.

4. Алгебра и начала математического анализа 10 класс (углубленный уровень), авт. Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд, Москва, изд. «Мнемозина», 2014;

5. Алгебра 9 класс (углубленный уровень), авт. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк и др., Москва, «Мнемозина», 2013.

Интернет- ресурсы:

https://ege.sdamgia.ru

www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-ege

www.fipi.ru

http://nic-snail.ru

http://easyen.ru – Современный учительский портал

http://www.uchportal.ru – Учительский портал

https://math-ege.sdamgia.ru /

http://base.mathege.ru/