Капитализация означает, что начисленные проценты будут присоединяться к основной сумме и реинвестироваться вместе с ней. Правильное сравнение условий вклада и депозита. (10+)
Капитализация процентов. Что это значит? Расчет
Разнообразие условий вкладов, депозитов. С капитализацией и без
Пытаясь привлечь клиентов, банки делают и рекламируют самые разные привлекательные предложения. При этом, чтобы избежать прямого сравнения с конкурентами, предложения содержат массу всяких бонусов и условий. Сравнивая предложения двух банков, необходимо внимательно разобраться в этих особенностях, так как они могут свести на нет все выгоды вклада.
Поговорим о капитализации процента
В частности, банки озвучивают процент по вкладу. При этом вклад может быть с капитализацией, реинвестированием процентов, а может быть без. Что это означает?
По вкладу без капитализации по завершении срока депозита Вы получите сумму Вашего вклада плюс проценты, рассчитанные как (сумма вклада) * (ставка процента) * (количество дней депозита) / (количество дней в году). Возможно, банк удержит комиссию за вывод денежных средств.
Сумма, которую Вы получите по вкладу с капитализацией, зависит от того, с какой периодичностью начисляются проценты. Вклад с причислением процентов со ставкой 12% годовых и ежеквартальным начислением процентов, совсем не то же самое, что вклад с той же ставкой, но с ежемесячным начислением.
| (1) | (2) | (3) | (4) |
| Дата открытия вклада | 0 | (сумма депозита) | |
| Дата первого начисления процентов | (сумма из колонки 2) + (сумма из колонки 3) | ||
| Дата второго начисления процентов | (сумма из колонки 4 предыдущей строки) * (количество дней с предыдущей расчетной даты) * (ставка процента) / (количество дней в году) | (сумма из колонки 4 предыдущей строки) | (сумма из колонки 2) + (сумма из колонки 3) |
| ... | |||
| Дата закрытия депозита | (сумма из колонки 4 предыдущей строки) * (количество дней с предыдущей расчетной даты) * (ставка процента) / (количество дней в году) | (сумма из колонки 4 предыдущей строки) | (сумма из колонки 2) + (сумма из колонки 3) |
Пример расчета реальных процентов по вкладу с капитализацией и без
Вклад 100 000 рублей под 11% годовых без капитализации
Итоговая сумма к возврату 105 469.95 рублей.
Вклад 100 000 рублей под 11% годовых с ежеквартальным начислением процента и капитализацией
| (1) | (2) | (3) | (4) |
| 01.02.2012 | 0 | 100 000.00 | 100 000.00 |
| 01.05.2012 | 2 704.92 | 100 000.00 | 102 704.92 |
| 01.08.2012 | 2 839.82 | 102 704.92 | 105 544.74 |
Итоговая сумма к возврату 105 544.74 рублей.
Вклад 100 000 рублей под 11% годовых с ежемесячным начислением процента и капитализацией
| (1) | (2) | (3) | (4) |
| 01.02.2012 | 0 | 100 000.00 | 100 000.00 |
| 01.03.2012 | 871.58 | 100 000.00 | 100 871.58 |
| 01.04.2012 | 939.81 | 100 871.58 | 101 811.40 |
| 01.05.2012 | 917.97 | 101 811.40 | 102 729.37 |
| 01.06.2012 | 957.12 | 102 729.37 | 103 686.49 |
| 01.07.2012 | 934.88 | 103 686.49 | 104 621.37 |
| 01.08.2012 | 974.75 | 104 621.37 | 105 596.12 |
Итоговая сумма к возврату 105 596.12 рублей.
Попадает ли причисленный процент под страхование вкладов
К сожалению в статьях периодически встречаются ошибки, они исправляются, статьи дополняются, развиваются, готовятся новые.
2. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
Формула простых процентов
Задача №1.
Ссуда в размере 10 тыс. ден. ед. выдана на год по простой ставке процентов, равной 8% годовых. Определить погашаемую сумму.
Задача №2.
Определить проценты и сумму накопленного долга, если известно, что ссуда, равная 7 тыс. ден. ед., выдана на срок 2 года по ставке простого процента 10% годовых.
Задача №3.
Разница между двумя капиталами составляет 200 тыс. ден. ед. Капитал большего размера вложен на 3 года при ставке 8% годовых, а капитал меньшего размера – на 2 года при ставке 9% годовых. Сумма процентов за первый капитал в 4 раза больше суммы процентов за второй капитал. Найти величину капиталов.
Задача №4.
На сколько лет должен быть вложен капитал А при 6% годовых, чтобы сумма процентов была равна тройной сумме капитала?
Задача №5.
Банк принимает вклады по простой ставке процентов, которая в первый год составляет 40% годовых, а каждый последующий год увеличивается на 10 процентных пунктов. Определите размер вклада 500 тыс. ден. ед. с процентами через 3 года.
Задача №6
Банк принимает вклады до востребования по простой ставке 12% годовых. Определите сумму процентов на вклад 100 тыс. руб., размещенный на квартал.
Точные и обычные проценты
Задача №1.
Вклад 10 млн. руб. был положен в банк 12 марта и востребован 25 декабря того же года. Ставка процентов составила 8% годовых. Определите сумму процентов при различных вариантах их начислений.
Задача №2.
При открытии сберегательного счета по ставке 8% годовых 20 мая 1995 года на счет была положена сумма 10 млн. руб. Затем 5 июля на счет была добавлена сумма 15 млн. руб., 10 сентября со счета снята сумма 20 млн. руб., а 20 ноября счет был закрыт. Определите сумму начисленных процентов (одним способом).
Задача №3.
За какое время капитал в размере 45 тыс. ден. ед., вложенный под 9% годовых (Y=360), увеличится на такую же сумму, что и капитал в 60 тыс. ден. ед., вложенный с 10.03 по 22.05 под 12% годовых (Y=365).
Задача №4.
Вкладчик положил в банк 15 тыс. ден. ед. под 8% годовых на 9 месяцев. Какой доход он получит?
Задача №5.
При открытии сберегательного счета по ставке 11% годовых 16 апреля на счет была положена сумма 200 тыс. руб. Затем 5 мая на счет была добавлена сумма 140 тыс. руб., 15 августа со счета была снята сумма 120 тыс. руб., а 10 сентября счет был закрыт. Определите сумму начисленных процентов (двумя способами).
Задача №6.
Вклад 100 тыс. руб. был положен в банк 25 августа по ставке 9% годовых. С 1 сентября банк снизил ставку по вкладам до 7% годовых, а 20 ноября вклад был востребован. Определите сумму начисленных процентов (одним способом).
Текущее значение
Задача №1.
Сберегательный банк принимает вклад 500 тыс. руб. на срок 3 месяца с объявленной годовой ставкой 6% или на 6 месяцев под 7%. Какой вариант вкладчику более выгоден?
Долговое обязательство
20 декабря 2004 года выплатить Кирилловой М.С. 20 тысяч руб. и простые проценты по ставке 7% годовых.
(подпись) Гурбик А.Ю.
адача №1.
Определите размер суммы процентов разными способами.
Через 3,5 года выплатить Пугачевой А.Б. 10 тысяч руб. и простые проценты: первый год по ставке 6% годовых, в каждом последующем полугодии ставка увеличивается на 0,5%.
(подпись) Киркоров Ф.В.
адача №2.
Определите погашаемую сумму.
Дисконт и учетная ставка
Задача №1.
Через 6 месяцев с момента выдачи ссуды должнику надо уплатить кредитору 3000 ден. ед. Кредит предоставляется под 6% годовых. Определите, какую сумму выдает кредитор и сумму дисконта.
Задача №2.
Вексель на сумму 2000 ден. ед. с уплатой 16 ноября был учтен банком 22 сентября по учетной ставке 5%. Оцените полученную при учете сумму (одним способом), а также дисконт банка.
Задача №3.
Банком 10 апреля был учтен вексель со сроком погашения 9 июля. Вычислите номинальную стоимость векселя, если учетная ставка дисконтирования составляла 6 % годовых, а векселедержатель получил 1800 ден. ед.
Задача №4.
Обязательство уплатить через 150 дней 20 тыс. руб. с процентами (исходя из ставки процентов 5% годовых и Y i =365 дней) учтено в банке за 40 дней до наступления срока уплаты по учетной ставке 3% (Y d =360 дней). Определите сумму, полученную владельцем обязательства при его учете.
Задача №5.
При учете векселя на сумму 10 тыс. руб., до срока оплаты которого осталось 100 дней, его владельцу выплачена сумма 9,1 тыс. руб. Определите учетную ставку, принятую при покупке векселя (Y=360 дней).
Задача №6.
Определите сумму, которую выдал банк, и дисконт банка, если через год с момента выдачи ссуды должник уплатит 2500 тыс. руб. Кредит предоставляется под 16% годовых.
Задача №7.
Сумма выдана 20 апреля по простой учетной ставке 8% годовых. Заемщик должен 10 октября возвратить 100 тыс. руб. Определите сумму полученную заемщиком, и величину дисконта (разными способами), а также сделайте вывод о предпочтительных вариантах для банка и заемщика.
Задача №8.
При учете векселя номиналом 500 тыс. руб. за 20 дней до погашения банк выплатил его владельцу 490 тыс. руб. Определите учетную ставку, использованную банком, при временной базе 360 дней.
Задача №9.
Ссуда выдана на полгода по простой учетной ставке 12% годовых. Возвращаемая сумма составляет 500 тыс. руб. Определите сумму, полученную владельцем, и величину дисконта.
Задача №10.
Вексель номиналом 100 тыс. руб. был куплен банком за 2 года до срока погашения по простой учетной ставке 10% годовых. Определите сумму, полученную его владельцем, и дисконт банка.
Задача №11.
Вексель номиналом 100 тыс. руб., выданный на срок с 12 марта по 23 декабря, был учтен банком 10 октября по простой учетной ставке 30% годовых. Определите дисконт банка.
Эквивалентность учетной и процентной ставки
Задача №1.
Ставка процентов равна 9% годовых. Определите значение эквивалентной учетной ставки при выдаче ссуды.
Задача №2.
Вексель учтен за 3 месяца до срока его погашения по учетной ставке 6% годовых. Определите значение эквивалентной ставки простых процентов, определяющей доходность операции учета.
Задача №3.
Задача №4.
3. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ
3.1. Наращенная сумма. Формула сложных процентов
Если проценты в конце каждого периода инвестиционного срока прибавляются к основной сумме и полученная сумма является исходной для начисления процентов в следующем периоде, то начисленные к концу срока проценты называются сложными процентами. Наращенной (аккумулированной) суммой (значением) называется основная сумма плюс начисленные на нее проценты.
Основной суммой будем называть величину инвестированного под проценты капитала. Таким образом, сложные проценты за период складываются из процентов на начальный капитал и процентов на проценты за предыдущий период.
100 тысяч рублей положены на банковский счет на три месяца по ставке 10% в месяц. Найти наращенную по сложным процентам сумму в конце каждого месяца.
Заметим, что при фиксированной процентной ставке инвестирование на один период, соответствующий процентной ставке по сложным и простым процентам, приводит к одному и тому же наращенному значению. Поэтому начисление сложных процентов эквивалентно начислению простых процентов при реинвестировании средств в конце каждого периода. Итак, справедлива следующая формула, называемая формулой сложных процентов:
где S - наращенная по сложным процентам сумма,
Р - основной капитал,
i - процентная ставка за период,
n - срок (в периодах, соответствующих процентной ставке).
в формуле (1) называется множителем
наращения.
250 тысяч рублей инвестированы на 4 года под 6% годовых. Вычислить сложные проценты, начисленные к концу срока.
Г
рафики
зависимости наращенного значения от
срока для фиксированных процентных
ставок приведены на рис. Начальный
инвестированный капитал равен 1.
1. 80 тысяч рублей инвестированы на 3 года по ставке 8% годовых. Вычислить наращенную сумму и сложные проценты к концу срока.
2. Кредит в размере 270 тысяч рублей выдан под сложные проценты по ставке 2% в месяц на 1 год. Найти полную сумму долга к концу срока.
3. Найти сложные проценты за 1 год и 3 месяца, начисленные на сумму 90 тысяч рублей по ставке 15% в квартал.
3.2. Номинальная и эффективная процентные ставки
Обычно в финансовых контрактах фиксируется годовая процентная ставка, при этом проценты могут начисляться по полугодиям, кварталам, месяцам и т.д. В этом случае годовая ставка называется номинальной, а процентная ставка за один период начисления считается равной отношению номинальной ставки к числу периодов в году. Наращенная сумма вычисляется по следующей формуле:
где Р - основная сумма,
j - номинальная процентная ставка,
m - число периодов начисления в году,
Т- срок в годах.
Эта формула немедленно следует при замене
где 
- ставка за период,
- общее число периодов.
Найти наращенную сумму и сложные проценты, если 140 тысяч рублей инвестированы на два года по номинальной ставке 12% годовых при начислении процентов: а) по годам; b) по полугодиям; c) по кварталам; d) по месяцам.
Из результатов этого примера видно, что при фиксированной номинальной ставке указание частоты начислений существенно. С ростом количества начислений процентов в году абсолютный годовой доход растет. Реальная доходность (норма прибыли инвестиций) выражается годовой эффективной процентной ставкой, которая связана с номинальной следующим соотношением
где i - эффективная годовая ставка,
j - номинальная годовая ставка,
m - число периодов начисления процентов в году.
При инвестировании или получении кредита во избежание недоразумений необходимо оценивать именно эффективную ставку.
Докажем, что приведенная формула действительно вычисляет годовую процентную ставку.
Пусть I, S, Р - проценты за год, наращенное значение и основной капитал соответственно. Тогда (за 1 год):
Наконец, эффективная ставка за год будет равна
Найти годовую эффективную процентную ставку, эквивалентную номинальной ставке 16% при поквартальном начислении процентов.
Годовая эффективная ставка, таким образом, приближенно равна 17%.
Процентные ставки (за период) называются эквивалентными, если соответствующие им годовые эффективные ставки совпадают. То есть если выполнено равенство
где m 1 - число периодов начисления по ставке i 1 , (за период) в году,
m 2 - число периодов начисления по ставке i 2 (за период) в году.
Для номинальных процентных ставок условие эквивалентности имеет вид:
Найти номинальную процентную ставку, проценты по которой начисляются по полугодиям, эквивалентную номинальной ставке 24% с ежемесячным начислением процентов.
Обозначим через j 2 , процентную ставку, соответствующую начислению по полугодиям, а через j 12 - по месяцам.
1. Найти эффективную процентную ставку, эквивалентную номинальной ставке 36%, при ежемесячном начислении процентов.
2. Найти наращенную сумму на 150 тысяч рублей, инвестированных на три месяца по номинальной ставке 21% годовых.
3. Для номинальной ставки 12% с начислением процентов два раза в год найти эквивалентную ставку, проценты по которой начисляются ежемесячно.
3.3. Непрерывная процентная ставка
До сих пор мы рассматривали только случаи дискретного начисления процентов. Для того чтобы определить процент как результат непрерывного начисления, найдем наращенное за один год значение на единицу основного капитала по ставке 100% годовых с начислением m раз в году. То есть, вычислим годовой множитель наращения. Результаты вычислений приведены в таблице.
|
Начисление |
Число периодов |
Наращенная сумма |
|
Ежегодное |
|
|
|
Ежемесячное |
|
|
|
Ежедневное |
|
|
|
Ежечасное |
|
|
|
Ежесекундное |
|
Ясно, что наращенная сумма увеличивается с ростом m, но как бы часто ни начислялись проценты, она не превысит величины 2,72. В пределе при m→∞ значение наращенной суммы стремится к числу
Для фиксированной номинальной ставки j - множитель наращения за t лет
При непрерывном начислении процентов наращенная сумма задается экспоненциальной функцией
где Р – основная сумма;
j - непрерывная процентная ставка,
t - срок (в годах).
Найти наращенное значение, если 100 тысяч рублей инвестированы на 5 лет по номинальной ставке 25% годовых для: а) начисления один раз в год; б) начисления два раза в год; в) непрерывного начисления процентов по годовой станке 25%.
Какой выигрыш получит инвестор за два года от инвестирования 200 тысяч рублей по ставке 8% годовых, если вместо поквартального начисления процентов на эту сумму будут начислены непрерывные проценты?
Обозначим через S 1 наращенное значение при поквартальном начислении процентов, а через S 2 - при непрерывном. Тогда
1. Найти наращенную за два года сумму при непрерывном начислении процентов на $100 по ставке 6% годовых.
2. Найти процентную ставку, соответствующую непрерывному начислению процентов, эквивалентную номинальной ставке 12%, при начислении по полугодиям.
3. Найти разницу наращенных за два года значений на сумму 300 тысяч рублей по ставке 10% при непрерывном и ежемесячном начислении процентов.
3.4. Текущее значение
Часто необходимо знать, какую денежную сумму Р нужно вложить под фиксированные сложные проценты сегодня, чтобы получить в определенный момент в будущем заданную сумму S. В этом случае сумма Р называется текущим (приведенным) значением. Разность (S-Р) называется сложным дисконтом, а процесс вычисления текущего значения - дисконтированием. Текущее значение при заданных S, n, i вычисляется по формуле
вытекающей непосредственно из формулы сложных процентов. Для начисления процентов несколько раз в году при номинальной ставке j
Для начисления непрерывных процентов по ставке j
Найти текущее значение долга, полная сумма которого через три года составит 700 тысяч рублей. Проценты начисляются: а) по ставке 14% в конце каждого года; b) по ставке 2% в конце каждого квартала; с) по ставке 12% годовых в конце каждого месяца; d) непрерывные по ставке 5%.
1. Найти текущее значение инвестиций, если наращенная к концу пятого года сумма должна быть равна 970 тысяч рублей.
начисляются непрерывные проценты по годовой ставке 4%;
проценты начисляются ежемесячно по ставке 12% годовых.
2. Какая сумма должна быть инвестирована под проценты сегодня для накопления 500 тысяч рублей к концу года при начислении процентов:
в конце каждого квартала по ставке 16% годовых;
в конце каждого полугодия по ставке 9% годовых.
3.5. Наращенное и текущее значение при произвольном сроке инвестирования
На практике срок инвестирования далеко не всегда представляется целым числом периодов начисления процентов. Для вычисления наращенного (или текущего) значения в таком случае логично было бы найти процентную ставку, эквивалентную исходной, при которой срок равен целому числу периодов начисления.
Пусть 600 тысяч рублей инвестированы на 1 год и 3 месяца под сложные проценты по ставке 22% годовых. Найти наращенную к концу срока сумму.
Найдем процентную ставку i, соответствующую начислению по месяцам, эквивалентную годовой ставке 22%. Имеем
Тогда наращенная сумма составит
Заметим, что
Это верно и в общем случае. То есть вычисление наращенного (или текущего) значения по формуле сложных процентов (1) (или (5)), независимо от того, представляется срок инвестирования целым числом периодов или нет, дает тот же результат, что и вычисление с использованием эквивалентной ставки.
Из-за вычислительных трудностей, появляющихся при иррациональном сроке, обычно для наращения и дисконтирования применяются приближенные методы. Наиболее распространенным является так называемый банковский метод, при котором на целое число периодов начисляются сложные проценты, а на остаток – простые.
Долг в размере 580 тысяч рублей должен быть выплачен через 2 года и 4 месяца. Найти текущее значение долга при условии, что проценты на кредит начисляются по ставке 10% годовых.
3.6. Вычисление процентной ставки и срока инвестирования
Пусть сумма Р выплачивается в момент t и сумма S - в момент t+n, где n - срок между выплатами, выраженный в фиксированных периодах, например, в годах или в месяцах. Как найти эффективную процентную ставку за период, для которой эти суммы эквивалентны? Точный (теоретический) метод вычисления состоит в решении уравнения (1) относительно этой ставки, т.е.
Если срок n между выплатами Р и S выражен в годах, то для номинальной годовой процентной ставки, соответствующей m-кратному начислению процентов в году, из (2), заменяя t на n, получим:
Непрерывная ставка процентов находится из (4) при замене t на n, т.е.
Найти стоимость кредита, выраженного: а) годовой процентной ставкой; b) непрерывной процентной ставкой, если основная сумма кредита 300 тысяч рублей, а сумма при погашении - 700 тысяч рублей. Кредит выдан на 2 года.
Наиболее часто используемым приближенным методом вычисления процентной ставки является метод линейной интерполяции. При этом уравнение решается относительно множителя наращения а, равного
Затем из соответствующей таблицы по заданному сроку находятся две ставки i 1 , i 2 такие, что множители наращения а 1 , а 2 для них являются ближайшими границами снизу и сверху для значения а, найденного из уравнения. Приближенное значение искомой процентной ставки i вычисляется из линейного уравнения
Найти доходность инвестиций, выраженную процентной ставкой за месяц, основная и наращенная сумма которых 150 и 195 тысяч рублей соответственно. Срок инвестирования – 3 месяца.
По таблице найдем нижнюю и верхнюю границы для этого значения соответствующие 3-месячному сроку, и соответствующие им процентные ставки за месяц. Имеем
Для определения срока, на который должна быть инвестирована денежная сумма Р под сложные проценты по ставке i за фиксированный период с целью накопления суммы S к концу этого периода, также можно воспользоваться формулой. Получаемый из этой формулы срок
выражен в соответствующих процентной ставке периодах. Аналогично находится срок инвестирования для непрерывного начисления процентов:
На какой срок нужно положить 100 тысяч рублей под a) сложные проценты по ставке 25%; b) непрерывные проценты по ставке 8%, чтобы накопить к концу срока 700 тысяч рублей?
4. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
Задача №1.
Первоначальная сумма долга равна 10 тыс. руб. Определите сумму долга через 2,5 года, используя два способа расчета начисления сложных процентов по ставке 10% годовых.
Задача №2
Ссуда 2 тыс. руб. выдана на 2,5 года. Ставка сложных процентов в течение срока ссуды определяется следующим образом: за первые полгода она составляет 8% годовых, затем через каждые полгода увеличивается на 1% годовых. Определите множитель наращения и наращенную сумму.
Задача №3.
Первоначальная сумма долга равна 2 тыс. руб. Определите сумму долга через 2 года при использовании простой и сложной ставок процентов в размере 7% годовых.
Задача №4.
Первоначальная сумма ссуда равна 200 тыс. руб. Срок ссуды 2 года, проценты начисляются в конце каждого квартала по номинальной ставке сложных процентов, равной 8% годовых. Определите множитель наращения и погашаемую сумму.
Задача №5.
Ссуда 2 тыс. руб. выдана на 27 месяцев по номинальной ставке 7% годовых. Начисление процентов производится по полугодиям. Определите наращенную сумму (двумя методами).
Задача №6.
Банк выдает долгосрочные кредиты по сложной ставке 45% годовых. Определите, на какой срок можно взять кредит 1 тыс. руб., если его предполагается погасить единовременным платежом в размере 2 тыс.
Задача №7.
Первоначальная сумма долга равна 1 тыс. руб. Определите сумму долга через
в) 3 месяца
при использовании простой и сложной ставок процентов в размере 8% годовых. Сделайте выводы.
Задача №8.
Получена ссуда в размере 5 тыс. руб. Определите погашаемую сумму через 15 месяцев при сложной ставке 9% годовых (двумя способами).
Задача №9.
Сумма 1 млн. руб. должна быть выплачена через 2 года. При этом проценты начисляются ежеквартально по номинальной ставке сложных процентов 7 % годовых. Определите ее современную величину.
Задача №10.
Сумма 200 тыс. руб. должна быть выплачена через 2 года. Определите ее современную величину, если ставка сложных процентов в первый год 8% годовых, а в каждые последующие полгода увеличивалась на 0,5%.
Задача №11.
Банк начисляет проценты на вклады по номинальной ставке 7% годовых. Определите накопленную сумму и сумму начисленных процентов при вкладе 250 тыс. руб., размещенном на 3 года, если проценты будут начисляться: а) по полугодиям; б) ежеквартально; в) ежемесячно.
Задача №12.
Банк начисляет сложные проценты по ставке 8% годовых. Определите срок, за который сумма вклада 250 тыс. руб. вырастет до 400 тыс. руб. Проценты начисляются:
а) ежегодно;
б) непрерывно.
Задача №13.
Сумма долга утроилась за 2 года. Определите использованную при этом годовую ставку сложных процентов.
5. УРАВНЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
5.1. Временное значение денег. Понятие эквивалентности
С экономической точки зрения бессмысленно говорить о величине денежной суммы без указания даты ее получения. Очевидно, что 1000 рублей сегодня и 1000 рублей, ожидаемые через год, не равноценны, так как деньги могут быть вложены в дело и принести доход. Допустим, что банковская процентная ставка на все вклады составляет 20% годовых и инвестор по некоторым причинам предпочитает вкладывать средства именно в этот банк. Для такого инвестора безразлично, получить 1000 рублей через год или 1400 - через два года и т.д. Однако он, естественно, предпочтет получить 2000 рублей через год, чем 1000 рублей сегодня, которые при ставке 20% годовых к концу года обеспечат только 1200 рублей. Таким образом, для сравнения денежных сумм, относящихся к различным моментам времени, необходимо фиксировать процентную ставку.
Введем теперь следующее определение эквивалентности. Сумма Р, относящаяся к началу срока, состоящего из n периодов, эквивалентна по ставке сложных процентов i за период сумме S, относящейся к концу срока, если выполнено соотношение
или
О
тметим
важное свойство эквивалентности. При
фиксированной ставке сложных процентов
из того, что сумма А эквивалентна сумме
В и сумма В эквивалентна сумме С, следует,
что сумма А эквивалентна сумме С.
Для доказательства этого свойства введем следующие обозначения (см. рис. 1):
0 - данный момент,
n 1 - срок выплаты суммы А,
n 2 - срок выплаты суммы B,
n 3 - срок выплаты суммы C,
А эквивалентно В, следовательно
(*)
В эквивалентна С, значит,
(**)
Подставляя (*) в (**), получим
и следовательно, А эквивалентна С. Последнее соотношение не выполняется ни для простой процентной ставки, ни для простой учетной ставки, поэтому понятие эквивалентности для этих ставок логически не обосновано.
Пусть сумма D получена в момент n 0 . Все эквивалентные по ставке i значения лежат на кривой, изображенной на рисунке 2.
Для сравнения денежных сумм необходимо найти эквивалентные им значения, соответствующие одному и тому же моменту времени, и сравнить эти значения.
Долг в размере 300 тысяч рублей должен быть выплачен через два года. Найти эквивалентные по ставке 25% значения а) в конце года; б) через 5 лет.
1. Найти эквивалентное по ставке 12% годовых значение для 70000 рублей, которые должны быть выплачены через год для следующих моментов времени:
через два года;
через пять лет.
2. Найти эквивалентное через два года значение для долга, равного 420 тысячам рублей сегодня, при поквартальном начислении процентов по ставке 40% годовых.
5.2. Эквивалентное значение для потока платежей
Допустим, что мы имеем дело не с одной выплатой, а с множеством распределенных во времени платежей. Для каждой выплаты из этого множества легко найти эквивалентное значение. Возникает вопрос: как определить эквивалентное значение для множества выплат в целом? Ясно, что это значение должно зависеть от процентной ставки и момента времени, для которого это значение определяется. При этом эквивалентная сумма и сама последовательность выплат должны быть равноценны. Кроме того, при добавлении (исключении) одной выплаты эквивалентное множеству значение должно увеличиваться (уменьшаться) на эквивалентное добавленной (исключенной) выплате значение в соответствующий момент времени.
С
ледующее
определение удовлетворяет всем,
приведенным требованиям. Эквивалентным
множеству распределенных во времени
выплат значением по ставке сложных
процентов i в фиксированный
момент времени называется сумма
приведенных к этому моменту эквивалентных по ставке i значений выплат указанного множества. Приведенное определение иллюстрируется рисунком 4.
Из рис. 4 видно, что
Итак, величина S k является эквивалентным по ставке i в момент k значением для множества, состоящего из n выплат с интервалом в один год.
Пример. Для множества, состоящего из трех последовательных выплат в размере 25000 рублей каждая, ожидаемых через год, три года, пять лет, найти эквивалентное по ставке 10% годовых значение: сегодня; через два года; через пять лет.
Справедливо следующее свойство эквивалентности: если два значения эквивалентны по фиксированной ставке сложных процентов одному и тому же множеству выплат для различных моментов времени, то они эквивалентны друг другу по той же ставке.
Д
окажем
это свойство для множества, состоящего
из двух выплат (см. рис. 6).
Пусть U эквивалентно множеству выплат {А, В} по ставке i в момент t 1 ,. а V эквивалентно этому множеству по ставке i в момент t 2. Запишем уравнения эквивалентности для t 1
Умножая
первое равенство на
и сравнивая его со вторым, получим
Следовательно, Uи V эквивалентны по ставке i.
Долг должен быть выплачен двумя платежами: 49000 рублей в конце первого года и 115000 рублей в конце четвертого года. Найти эквивалентную этим выплатам сумму единовременного платежа при начислении процентов по ставке 28% годовых: сегодня, в конце третьего года.
5.3. Неэквивалентные значения
Допустим,
что A t
и B t
- эквивалентные по ставке i
в момент t значения для
денежных сумм А и В соответственно. И
пусть
.
Ясно, что тогда (по свойству эквивалентности) значения А t 1 и В t 1 , эквивалентные А и В соответственно, в произвольный момент также будут различны, т.е. .
Заметим, что значения А t 1 -B t 1 и A t -B t эквивалентны для произвольных моментов t и t 1 . Действительно, .
Сравнить два долговых обязательства:
1)Долг составляет 550 тысяч рублей плюс сложные проценты по ставке 10% годовых.
2) Долг составляет 370 тысяч рублей плюс сложные проценты по ставке 24% годовых при начислении два раза в год. Срок погашения обязательств - два года.
Сравнение провести: для текущего момента времени; для конца первого года; для конца второго года.
|
Эквивалентное значение |
Текущее значение |
Значение после 1 года |
Значение после 2 лет |
|
Разность |
1. Для множества, состоящего из трех последовательных выплат в размере 42000 рублей каждая, ожидаемых через один месяц, три месяца и пять месяцев, найти эквивалентное по ставке 24% годовых значение: через год; через 1,5 года.
2. Долг должен быть выплачен двумя платежами: 80 тысяч рублей в конце первого года и 500 тысяч рублей - в конце четвертого года. Найти эквивалентную этим выплатам сумму единовременного платежа при начислении процентов по ставке 16% годовых: сегодня; в конце третьего года.
3. Сравнить два долговых обязательства:
Долг составляет 420 тысяч рублей плюс сложные проценты по ставке 20% годовых. Срок погашения обязательства - два года.
Долг составляет 250 тысяч рублей плюс сложные проценты по ставке 12% годовых при начислении два раза в год. Срок погашения – два года.
6. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
На сколько лет должен быть вложен капитал А при 10% годовых, чтобы сумма процентов была равна двойной сумме капитала?
Банк принимает вклады по простой ставке процентов, которая в первый год составляет 27% годовых, а каждый последующий год увеличивается на 8 процентных пунктов. Определите размер вклада 300 тыс. ден. ед. с процентами через 4 года.
Вклад 7 млн. руб. был положен в банк 10 апреля и востребован 25 ноября того же года. Ставка процентов составила 5% годовых. Определите сумму процентов при различных вариантах их начислений.
За какое время капитал в размере 37 тыс. ден. ед., вложенный под 8% годовых (Y=360), увеличится на такую же сумму, что и капитал в 49 тыс. ден. ед., вложенный с 10.05 по 12.06 под 11% годовых (Y=365).
Вексель на сумму 1500 ден. ед. с уплатой 17 октября был учтен банком 12 сентября по учетной ставке 7%. Оцените полученную при учете сумму (одним способом), а также дисконт банка.
Банком 9 мая был учтен вексель со сроком погашения 7 июня. Вычислите номинальную стоимость векселя, если учетная ставка дисконтирования составляла 8 % годовых, а векселедержатель получил 2200 ден. ед.
Эффективность финансовой операции учета должна составлять 7% годовых (Y i =360 дней). Определите требуемую учетную ставку для срока ссуды 180 дней при Y d =365 дней.
Вексель принят в банке по учетной ставке 40% годовых за 80 дней до срока его погашения. Определите значение эквивалентной ставки процентов, определяющей доходность операции учета, если при учете векселей Y принимается равным 365 дней, а при исчислении процентов – 360.
Вывести формулу эквивалентности простой и сложной эффективной процентных ставок.
Задача 10.
Вывести формулу эквивалентности простой и сложной номинальной процентных ставок.
Задача 11.
Вывести формулу эквивалентности сложных номинальной и эффективной процентных ставок.
Задача 12.
Кредит предоставляется из расчета 6% сложных годовых. Какова должна быть эквивалентная ставка простых процентов при сроке кредита n=3 года и n=6 месяцев?
Задача 13.
Кредит предоставляется из расчета 6% простых годовых. Какова должна быть эквивалентная ставка сложных процентов при сроке кредита n=4 года и n=6 месяцев?
Задача 14.
Ссуда предоставляется на 2 года по номинальной сложной ставке 6% годовых. Начисления производятся через 3 месяца. Определите эквивалентную ставку простых процентов.
Задача 15.
Ставка простых процентов по кредиту сроком на 4 года равна 8% годовых. Начисление производится раз в полгода. Определите эквивалентную номинальную сложную ставку процентов.
Многие люди, желающие открыть срочный депозит, задаются вопросом: как посчитать, сколько денег я получу по окончании срока договора? Для этого необходимо воспользоваться формулой простых или сложных процентов.
СРОЧНЫЙ ВКЛАД С НАЧИСЛЕНИЕМ ПРОЦЕНТОВ В КОНЦЕ СРОКА
Самый простой вид депозита. Вы помещаете свой капитал на определенный срок, чаще всего на год. Проценты на эту сумму начисляются всего один раз — в конце периода.
Для расчета таких депозитов используется формула простых процентов.
FV -
сумма вклада с учетом начисленных процентов;
PV -
начальная сумма вклада;
i -
процентная ставка по депозиту;
n -
срок вклада (количество лет).
ПРИМЕР 1.
10 000 руб. помещаются на счет под 8% годовых. Как вырастет вклад по истечении 1 года, 2 × 5 * лет?
* В настоящее время практически не существует вкладов сроком на 5 лет (только в Райффайзенбанке). Мы приводим этот период лишь в качестве примера
СРОЧНЫЙ ВКЛАД С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ВЫПЛАТОЙ ПРОЦЕНТОВ
Позволяет получать ежемесячный или ежеквартальный фиксированный доход на вложенный капитал, при этом основная часть вклада остается неизменной. Такой депозит предназначен для тех, кто хочет «жить на проценты». Хотя в действительности данное выражение достаточно спорно, так как покупательная способность вложенных денег под влиянием инфляции сильно уменьшается. Начисленные проценты переводятся банком на текущий счет вкладчика.
Чтобы рассчитать, какой доход вы будете получать со своего капитала, следует воспользоваться следующей формулой:
f%
- процентный доход от капитала;
PV
- начальная сумма вклада;
i
m
- количество периодов в году (при ежемесячном начислении процентов m = 12, при ежеквартальном m = 4).
ПРИМЕР 2. Вы положили 1 000 000 руб. под 8% годовых. Ваш доход составит:
Для тех же, кто хочет, чтобы проценты по вкладу также начали «работать», существуют депозиты с капитализацией процентов.
СРОЧНЫЙ ВКЛАД С КАПИТАЛИЗАЦИЕЙ
Здесь тоже проценты начисляются с определенной периодичностью — ежемесячно, ежеквартально или ежегодно, но снять их вы не можете. Зато каждое последующее начисление происходит уже на увеличившуюся к этому моменту сумму (с учетом ранее набежавших процентов). Это называется капитализацией.
Процесс накоплений происходит с ускорением, и итог рассчитывается по формуле сложных процентов.
Если капитализация происходит раз в год, то воспользуйтесь следующей формулой:
FV
PV
- начальная сумма вклада;
i
- процентная ставка по депозиту;
n
ПРИМЕР 3.
На основе данных, приведенных в первом примере, рассчитаем размер вклада с ежегодной капитализацией:
В том случае, когда проценты начисляются чаще - ежеквартально или ежемесячно, применяется уже другая формула:
FV
- сумма вклада с учетом начисленных процентов;
PV
- начальная сумма вклада;
i
- процентная ставка по депозиту;
m
- количество периодов в году (при ежемесячном начислении процентов m=12, при ежеквартальном m=4);
n
- срок вклада (количество лет).
ПРИМЕР 4.
Произведем расчет вклада с ежемесячной капитализацией при тех же исходных данных, что и в предыдущем примере:
СРОЧНЫЙ НАКОПИТЕЛЬНЫЙ (ПОПОЛНЯЕМЫЙ) ВКЛАД
Этот вид депозита дает возможность периодически добавлять средства к основному вкладу. Он предназначен для тех, кто имеет возможность более или менее регулярно откладывать часть своего основного дохода, увеличивая тем самым собственные «работающие» активы.
Формула для расчета дохода по такому вкладу имеет следующий вид:
FV
- сумма вклада с учетом начисленных процентов;
PMT
- периодический взнос;
i
- процентная ставка по депозиту;
m
n
- срок вклада (количество лет).
ПРИМЕР 5
. Если вы решили ежемесячно откладывать по 10 000 руб. на пополняемый депозит с годовой ставкой 8%, то что вы будете иметь через 2 года?
Можно пойти и от обратного. Если у вас есть определенная цель и вы знаете ее цену, то нетрудно вычислить, каким должен быть ежемесячный взнос, чтобы накопить нужную сумму.
PMT
- периодический взнос;
FV
- сумма вклада с учетом начисленных процентов;
i
- процентная ставка по депозиту;
m
- количество периодов в году;
n
- срок вклада (количество лет).
ПРИМЕР 6.
За два года вы намерены накопить на автомобиль стоимостью 500 000 руб. Определим размер ежемесячного взноса на пополняемый депозит со ставкой 8% годовых.
СРОЧНЫЙ ПОПОЛНЯЕМО-ОТЗЫВНОЙ ВКЛАД
Отличается от предыдущего тем, что с него можно еще по мере необходимости снимать деньги, не дожидаясь окончания действия договора. Правда, на счету всегда должен оставаться некий минимум - так называемый неснижаемый остаток. К сожалению, рассчитать, что вы получите к концу срока, очень сложно, да в этом и нет необходимости. Ведь такой депозит играет скорее роль сейфа, а не копилки.
КТО ДАСТ БОЛЬШЕ?
Предыдущие вычисления показывают, что самым выгодным при одинаковой ставке является пополняемый депозит с ежемесячной капитализацией процентов, однако на практике банки обычно снижают ставки по таким вкладам. В качестве примера возьмем три депозита одного известного российского банка и посчитаем по каждому из них прибыль за год и за два. Для упрощения расчетов мы не будем пополнять счет и снимать с него средства.
Как видно из таблицы, наиболее доходным по итогам года оказался самый простой вклад 1. Чуть уступает ему вклад 2. Однако через два года эти вклады поменялись местами. А вклад 3 как был отстающим, так и остался. Получается, что он самый невыгодный? С точки зрения доходности да. Но выгодность депозита не всегда измеряется его доходностью.
К примеру, человек неожиданно получил хорошую премию. Он собирается отнести ее в банк, чтобы через год забрать и потратить на путешествие. Очевидно, что самым выгодным для него будет депозит 1.
Если он планирует с каждой зарплаты откладывать некую сумму с целью накопить на какую-то крупную покупку, то в этом случае наиболее привлекательным станет вклад 2.
Если же во время накопления планируется как пополнение вклада, так и частичное изъятие средств, то здесь предпочтение следует отдать, безусловно, вкладу 3.
ДОХОДНОСТЬ РЕАЛЬНЫХ ДЕПОЗИТОВ
"Личный капитал"
источник - "Личный бюджет"
1. Простые проценты
Задача 2) Какую сумму надо положить в банк, чтобы получить 60000 руб., если банк выплачивает в год 5% (простых),. г) через 1 года 6 месяцев
Ответ: надо положить 55814 рублей
Задача 3) В банк было положено 150000 руб. Сколько процентов (простых) выплачивает банк в год? Если б) через 1 года 6 месяцев на счету было 260000 руб.; процент вклад банк вексель
Ответ: банк выплачивает 4.89% в год
Задача 7) Фермер приобрёл трактор, цена которого 1,6 млн.руб., уплатив сразу 15% и получив на остальную сумму кредит, который он должен погасить равными платежами по полугодиям. Чему равна каждая уплата? Если кредит выдан г) на 1 года 9 месяцев под 8,5% годовых (простых).
Кредит получен на сумму
Всего 4 выплаты: 6, 12, 18 и 21 месяцы
Каждый платеж равен:
Задача 8) Банк выдал г-ну Федотову ссуду в 110000 руб. Какая сумма будет выдана господину Федотову на руки? Если ссуда выдана б) на 1,5 года под простой дисконт, равный 10% в год.
Ответ: будет выдано 93500 рублей
Задача 12) Авиакомпания приобрела самолёт за 18 млн.руб. Составить таблицу уменьшения стоимости самолёта по годам, считая уменьшение стоимости равномерным. Если, срок службы самолёта а) 7 лет.
Т.к. за 7 лет стоимость самолета снижается до 0, каждый год стоимость самолета уменьшается на
Стоимость самолета в конце i-го года составит
|
Стоимость, Pi |
2. Сложные проценты
Задача 2) Г-н Иванов может вложить деньги в банк, выплачивающий проценты по ставке j 6 = 10%. Какую сумму он должен вложить, чтобы получить 20000 руб. г) через 6 лет 6 месяцев
Ответ: необходимо вложить 10497 рублей
Задача 3) Г-н Петров хочет вложить 30 000 руб., чтобы через 5 лет получить 40 000 руб. Какая процентная ставка j 12 должна быть? Если он рассчитывает вложить деньги на срок: б) 8 месяцев?
Ответ: в случае вложения на 5 лет процентная ставка должна быть 5.77%, в случае вложения на 8 месяцев - 43.94%
Задача 7) Банк начислял на вложенные в него деньги проценты непрерывно по ставке в 2000 г. -- 12%, в 2001 г. -- 18%, в 2002 и 2003 гг. -- 24%. Какая сумма будет на счету 31 декабря 2003 года, если 1 января 2000 года на этот счёт было положено 30000 руб.?
Задача 8) Г-н Петров имеет вексель на 15000 руб., который он хочет учесть 1 марта текущего года в банке по сложной учётной ставке, равной 7%. Какую сумму он получит, если срок векселя б) 1 июля следующего года?
Между датами 16 месяцев, т.е.
Ответ: 13616.60 рублей получит Петров
Задача 12) Банк начисляет на вложенные в него деньги проценты по ставке j 4 = 6% и собирается перейти к непрерывному начислению процентов. Какую силу роста должен установить банк, чтобы доходы клиентов не изменились?
Доход за год при текущей ставке
При непрерывной ставке
