Определим Приведенную (текущую) стоимость будущих доходов (или расходов) в случае аннуитета. Для этого будем использовать функцию ПС() . Также выведем альтернативную формулу для расчета Текущей стоимости.

Примечание . Английский вариант функции: PV(rate, nper, pmt, , ), т.е. Present Value – будущая стоимость.

Расчеты в ПС() производятся по этой формуле:

Использование функции ПС() в случае выплаты кредита

Определим сумму кредита, на которую можно рассчитывать, зная сумму ежемесячного платежа, срок кредита и процентную ставку (см. файл примера Лист Кредит ).

Пусть ежемесячный взнос =10000р. (плт), ставка по кредиту 10% (ставка). Кредит планируется вернуть в течение года (кпер=12). Взнос в конце месяца (тип=0).
Записав формулу =ПС(10%/12; 12; -10000; 0; 0) получим ответ 113 745,08р., т.е. взяв эту сумму в кредит и выплачивая по 10000р. ежемесячно, мы погасим полностью кредит через 12 месяцев.

Пример вычисления остатка суммы основного долга (при БС=0, тип=0)

Пусть был взят кредит в размере 100 000руб. на 10 лет под ставку 9%. Кредит должен гаситься ежемесячными равными платежами (в конце периода). Требуется вычислить сумму основного долга, которая будет выплачена в первом месяце третьего года выплат.
Решение простое – используйте функцию ОСПЛТ(): =ОСПЛТ(9%/12;25;10*12;100000)
Ставка за период (ставка): 9%/12
Номер периода (первый месяц третьего года выплат): 25=2*12+1
Всего периодов (кпер): 10*12
Кредит: 100000
Сумма основного долга, которая будет выплачена в первом месяце третьего года выплат: -618,26руб.

Теперь выполним те же вычисления, только осмысленно, т.е. понимая, суть расчета.

1. Вычислим ежемесячный платеж, используя формулу приведенной стоимости. Обозначим сумму кредита как ПС, ежемесячный платеж как ПЛТ: ПС=ПМТ*(1-(1+ставка)^-кпер)/ставка. Отсюда, ПМТ=ПС* ставка /(1-(1+ставка)^-кпер)=1266,76 (правильность расчета можно проверить с помощью ПЛТ() – см. статью ). ПЛТ() вернет -1266,76. Знак минус указывает на различные направления денежных потоков + (из банка сумма кредита), - (в банк ежемесячные платежи). Формула приведенной стоимости является следствием того, что сумма долей ежемесячных платежей, идущих на погашение основной суммы долга, должна быть равна сумме кредита. Поясним:
1. Доля платежа, которая идет на погашение основной суммы долга в 1-й период =ПМТ-ПС*ставка, а с учетом знаков =-ПМТ-ПС*ставка (чтобы сумма долей была того же знака, что и ПС). Обозначим эту долю как ПС1. Кстати, ПС*ставка – это сумма процентов, уплаченная за пользование кредитом в первый период.
2. Доля платежа, которая идет на погашение основной суммы долга в 2-й период =-ПМТ-(ПС-ПС1)*ставка=-ПМТ-(ПС +ПМТ+ПС*ставка) *ставка=(-ПМТ-ПС*ставка)*(1+ставка)=ПС1*(1+ставка). Обозначим эту долю как ПС2. Кстати, ПС-ПС1 – это остаток суммы долга в конце второго периода.
3. Доля платежа, которая идет на погашение основной суммы долга в 3-й период =-ПМТ-(ПС-ПС1-ПС2)*ставка=-ПМТ-(ПС-ПС1)*ставка+ПС2*ставка =ПС2+ПС2*ставка= ПС2*(1+ставка) =ПС1*(1+ставка)^2
4. Очевидно, что доля платежа, которая идет на погашение основной суммы долга в последний период (кпер)= ПС1*(1+ставка)^ кпер =-(ПМТ+ПС*ставка) *(1+ставка)^ кпер
5. Чтобы погасить кредит полностью, необходимо, чтобы сумма долей, идущих на погашение кредита, была равна сумме кредита, т.е. =-(ПМТ+ПС*ставка)*(1-(1+ставка)^ кпер)/ставка=ПС. Эта формула получена как сумма членов геометрической прогрессии: первый член =-(ПМТ+ПС*ставка), знаменатель =(1+ставка).
6. Решая нехитрое уравнение, полученное на предыдущем шаге, получим, что ПС=ПМТ*(1-(1+ставка)^-кпер)/ставка. Это и есть формула приведенной стоимости (при БС=0 и платежах, осуществляемых в конце периода (тип=0)).
2. Вычислим сумму основного долга, которую нужно будет выплатить начиная с 25-го месяца (т.е. в начиная с 25 и заканчивая 120 периодом). Сделаем это так же используя формулу приведенной стоимости ПС=ПМТ*(1-(1+ставка)^-кпер)/ставка. Теперь ПМТ нам известно, ПС – это искомая сумма основного долга, которую нужно будет выплатить, начиная с 25-го месяца, т.е. за 96 периодов (120-24=кпер). ПС=86466,91 Правильность расчета можно проверить с помощью ОБЩДОХОД() .
3. Вычислим сумму процентов, которые будут выплачены в 25-й месяц: 86466,91*ставка=648,50 Правильность расчета можно проверить с помощью ПРПЛТ() .
4. Наконец, т.к. каждый платеж содержит сумму, идущую в оплату основной суммы долга и начисленные за период проценты, то Сумму основного долга, которая будет выплачена в первом месяце третьего года выплат получим как: ПМТ-648,50=618,26

Как видим, сумма совпадает результатом ОСПЛТ() , вычисленную ранее (с точностью до знака).

Примечание : в файле примера приведено решение нескольких простых задач по определению .

Аннуитет - это термин, имеющий несколько значений. В широком смысле его можно понимать как финансовый инструмент. Например, как вид срочного государственного займа или договор со страховой компанией. Но чаще под этим словом подразумевают систему внесения или получения средств, при которой платежи осуществляются равными суммами и через равные промежутки времени.

Примеры аннуитета

Большинство людей, далеких от финансов, впервые слышат это слово, когда обращаются в банк за кредитом, где им предлагают аннуитетную схему погашения.

Но аннуитет - это не обязательно график платежей заемщика по кредиту. Так могут называться выплаты по договору страхования жизни, когда страховщик выплачивает клиенту определенные суммы с установленной периодичностью.

Аналогичным образом называется выплата ренты или пенсии. Или подобный график может составляться, когда ставится цель накопить к конкретной дате некоторую сумму денег, внося одинаковые взносы на вклад в банке.

Но обычно аннуитетом все же называют способ выплаты кредита, поэтому именно на таком значении концентрируется внимание в этой статье.

Сегодня в России осталось мало банков, которые используют иную схему погашения. Метод аннуитета гарантирует кредитной организации получение прибыли, поскольку график составлен так, что заемщик в первую очередь возвращает проценты по долгу, а только затем приступает к погашению так называемого тела кредита - основной суммы.

Формула расчета аннуитетного кредитного платежа

Несмотря на простоту графика, формула аннуитета достаточно сложная. Записать ее можно разными способами. Например, так:

Pl =(S *pr/12)/(1-1/(1+pr/12) N) , где

• Pl - аннуитетный платеж;
• S - основная сумма кредита;
• pr - процентная ставка в коэффициентном выражении;
• N - количество платежных периодов (обычно месяцев).

Сам платеж остается неизменным в разные периоды, однако структура платежей отличается. В первые месяцы он преимущественно представляет собой внесение процентов, а ближе к концу срока кредита аннуитетные платежи почти полностью состоят из основной суммы.

Чтобы узнать структуру конкретного платежа, можно воспользоваться формулой, которая показывает процентную часть текущей выплаты. Для этого достаточно умножить остаток основного долга на 1/12 годовой процентной ставки.

Пример расчета аннуитетного платежа по кредиту

Вышеприведенная формула аннуитета станет понятнее, если разобрать ее на практическом примере.

Пусть клиент взял в банке кредит на 100 тыс. рублей сроком 12 месяцев и под 24% годовых. В таком случае ежемесячный аннуитетный платеж составит:

(100 000 * 0,24/12) / (1 - 1 / (1 + 0,24/12) 12 = 2000 / 0,2115 = 9 457

То есть 9 457 рублей заемщик будет ежемесячно перечислять в банк для возврата средств.

Теперь рассчитаем процентную часть для первого платежа:

100 000 * 0,24/12 = 2000 рублей - это сумма процентов, которые будут выплачены в первый месяц.

Поскольку общий платеж составляет 9 457 рублей, значит, 2000 рублей пойдут на погашение процентов, а 7 457 - на выплату основного долга.

В следующем месяце общая задолженность будет составлять: 100 000 - 7 457 = 92 543 рублей. Поэтому процентную часть нужно уже рассчитывать от этой суммы:

92 543 * 0,24/12 = 1851

Во втором месяце клиент заплатит 1851 рублей процентов и 5606 рублей основного долга.

Аналогичным образом делается расчет для каждого месяца.

Автоматический расчет платежей

Конечно, вручную производить вышеописанные вычисления трудоемко. Знать формулу аннуитета нужно лишь для понимания принципа его расчета. На практике необходимости сидеть с калькулятором нет смысла, поскольку этот процесс легко автоматизировать.

При оформлении кредита сотрудники банков распечатывают для заемщика график платежей. В нем даны все параметры каждого платежа: даты и размеры, а также отдельно суммы основного долга, процентов и дополнительных комиссий.

Также можно найти в сети Интернет специальные калькуляторы. Достаточно ввести в соответствующие поля сумму и срок кредита, а также процентную ставку. В режиме онлайн такой калькулятор выдаст не только размер ежемесячного платежа, но и примерный график погашения.

Наконец, если хорошо ориентируетесь в программе Excel, то можете рассчитать размер аннуитетного платежа с ее помощью, воспользовавшись функцией ПЛТ. Правда, график погашения таким способом не получить.

Плюсы аннуитета

Для клиента метод не всегда выгоден, зато удобен, поскольку не возникает путаницы: если применяется аннуитет, платежи вносятся каждый месяц в одной и той же сумме. Не нужно перед каждой выплатой обращаться в банк для расчета очередного взноса.

Также этот способ хорош при невысоких доходах заемщика. Помимо аннуитетной, существует дифференцированная схема, когда платеж пересчитывается ежемесячно, поскольку каждый раз выплачивается сумма процентов от текущей суммы долга. По мере внесения средств эта сумма уменьшается, поэтому и величина уплачиваемых процентов тоже снижается. Получается, что с каждым месяцем приходится отдавать в счет кредита все меньше денег, зато первые платежи получаются достаточно высокими, и не каждый заемщик может себе их позволить.

Недостатки аннуитета

В первую половину срока кредита в структуре платежей преобладают проценты. Поэтому аннуитет - это наиболее выгодная для банка схема выплат. И погашать досрочно кредиты с таким методом платежей целесообразно в первой половине срока займа. Далее это практически не имеет смысла, так как почти все проценты уже выплачены заранее. Поэтому полное досрочное погашение не даст заемщику экономии, ведь «процентную переплату» ему не вернут.

Показатели аннуитета

Если аннуитет рассматривается с точки зрения не заемщика, а кредитора или иного лица, в пользу которого осуществляются регулярные равные платежи (например, рента), то их необходимо оценивать для анализа поступлений.

На бытовом уровне мало кому пригождаются такие оценки. Они применяются при анализе и обосновании инвестиционных проектов, чтобы сопоставить текущие затраты и будущие денежные поступления.

Оценка аннуитетов производится с помощью следующих обобщающих показателей:

• будущая стоимость;
• текущая стоимость.

Будущая, или наращенная стоимость - сумма всех элементов аннуитета вместе с начисленными процентами на конец его срока. Элементы (или члены) аннуитета - это всего лишь те самые одинаковые платежи.

Показатель используется, если, например, нужно подсчитать сумму пополняемого вклада, которая будет накоплена к определенному моменту, если регулярно вносить средства под тот или иной процент.

Современная, или текущая стоимость аннуитета - это сумма элементов аннуитета, уменьшенных на момент начала его реализации. Показатель нужен для принятия решения о целесообразности инвестирования средств в актив, который будет приносить регулярный доход. То есть нужно выяснить, не окажется ли стоимость будущих доходов меньше цены актива.

Такие оценки также применяются, если необходимо подсчитать общую сумму переплаты при приобретении в кредит, чтобы понять, насколько выгоднее оплатить покупку сразу, не используя заемные средства. Или это нужно, чтобы сравнить два предлагаемых кредита с разными параметрами.

Таким образом, аннуитет - это серия платежей, вносимых или получаемых в равной сумме и через равные промежутки времени.

Часто нам необходимо узнать еще и приведенную стоимость платежей по аннуитету. Например, сколько денег вам нужно было бы поместить в фонд, на который начисляется 10% годовых для того, чтобы иметь возможность брать оттуда по 100 долл. в год на протяжении последующих трех лет? Ответом будет приведенная стоимость трех денежных платежей.

Приведенная стоимость аннуитета - это сумма приведенной стоимости каждого из трех платежей по 100 долл.:

PV = 100 долл./1,1+100 долл./1,1 2 + 100 долл./1,1 3

Вынесем постоянный платеж 100 долл. в год за скобки и получим:

PV = 100 долл. х (1/1,1+1/1,1 2 + 1/1,1) 3

Полученный результат является приведенной стоимостью аннуитета и равняется 348,69 долл. Коэффициент, на который умножали платежи по 100 долл., -- это приведенная стоимость обычного трехлетнего аннуитета величиной в 1 долл., при процентной ставке 10%. Табл. 4.5 подтверждает, что 248,69 долл. - это вся сумма, которую вы должны положить на счет для того, чтобы иметь возможность снимать по 100 долл. в год на протяжении последующих трех лет.

Приведем формулу для расчета приведенной стоимости обычного аннуитета в 1 долл. для л периодов при процентной ставке с

Договор пожизненного страхования

Вам 65 лет, и вы подумываете о целесообразности покупки специального договора пожизненного страхования (он тоже называется аннуитет) у страховой компании. За 10000 долл. страховая компания обязуется выплачивать вам по 1000 долл. в год до конца вашей жизни. Если вы можете положить свои деньги на банковский счет под 8% годовых и надеетесь прожить до 80 лет, стоит ли покупать аннуитет? Каков размер процентной ставки, которую вам собирается платить страховая компания? Сколько вам нужно прожить для того, чтобы оправдать покупку аннуитета?

Таблица 4.5. Доказательство того, что вклад в размере 248,69 долл. позволяет вам получать по 100 долл. каждый год на протяжении 3 лет

Проще всего определить целесообразность принятия этого решения об инвестировании на основе расчета приведенной стоимости выплат по договору пожизненного страхования (договор аннуитета) и сравнения полученной суммы со стоимостью аннуитета (10000 долл.). Допустим, что это обычный аннуитет. Тогда ожидается 15 выплат по 1000 долл. каждая, начиная с 66 лет и заканчивая 80 годами. Приведенная стоимость этих 15 платежей при дисконтной ставке 8% годовых составляет 8559,48 долл.

Другими словами, для того, чтобы собрать те же самые 15 годовых платежей по 1000 долл. каждый, было бы достаточно положить 8559,48 долл. на банковский счет, который выплачивает 8% годовых. Следовательно, чистая приведенная стоимость, вложения в аннуитет, составляет:

NPV = 8559,48 долл. - 10000 долл. = -1440,52 долл.

и покупать его не стоит.

Для того чтобы рассчитать предполагаемую процентную ставку по аннуитету, нам необходимо найти дисконтную ставку, благодаря которой Wf этого вклада становится равной нулю. Правильный ответ – 5,56% годовых. Для того чтобы найти данную величину на финансовом калькуляторе, мы вводим значения п, РМТ, РV и рассчитываем i.

Другими словами, если бы банк предложил вам процентную ставку 5,56% годовых, вы могли бы положить сейчас на счет 10000 долл. и снимать по 1000 долл. в год на протяжении последующих 15 лет.

Для того чтобы определить количество лет, которое человек должен прожить для того, чтобы оправдать покупку этого аннуитета, мы должны задать себе следующий вопрос: каково должно быть значение и, чтобы NPV вклада равнялась нулю? Правильный ответ - 21 год. На финансовом калькуляторе мы можем найти эту величину п после того, как введем значения для i, РМТ и PV.

Взгляните на это с другой стороны; если вы проживете 21 год, то страховая компания разорится, обеспечивая вам аннуитетные платежи из расчета предполагаемой ставки в 8% годовых.

Обычный аннуитет определяется как серия равновеликих платежей, первый из которых осуществляется через один период начиная с настоящего момента. Он также определяется как серия поступлений. Например, право получать 100 долл. в конце каждого года в течение следующих 4 лет создает обычный аннуитет. Аналогично обязательство ежемесячно выплачивать 100 долл. в течение следующих 300 месяцев является обычным аннуитетом. Текущая стоимость аннуитета показана графически на рис. 3-9.

Рис. 3-9. Текущая стоимость обычного аннуитета

Текущая стоимость аннуитета при заданной ставке дисконта может быть рассчитана путем оценки каждого платежа (поступления) в отдельности. При этом сумма каждого платежа умножается на соответствующий фактор текущей стоимости единицы.
Например, право получения 100 долл. чистого рентного дохода в конце каждого года на протяжении следующих 4 лет может быть оценено, если учитывать каждое из четырех поступлений как отдельную реверсию. При 10%-ной ставке дисконта стоимость первого поступления равна 90,91 долл. (100,00 долл. X 0,90909 = 90,91 долл.); второго - 82,64 долл., третьего - 75,13, четвертого - 68,30 долл. Текущая стоимость всего четырехлетнего аннуитета составляет 316,98 долл. (90,91 долл. + 82,64 долл. + 75,13 долл. + 68,30 долл.). Поэтому при 10%-ной ставке сегодняшние инвестиции в 316,98 долл. (текущая стоимость) являются обоснованной платой за право ежегодного получения 100,00 долл. на протяжении последующих четырех лет.

Предварительно рассчитанные таблицы. Широкое и интенсивное использование фактора текущей стоимости аннуитета привело к построению соответствующих таблиц. Данные таблицы показывают факторы с учетом того, что каждый платеж за период равен 1 долл. Это фа-кторы аннуитета (annuity factors), или факторы Инвуда (Inwoodfactors), по имени Уильяма Инвуда (1771-1843). Во многих таблицах сложно го процента они показаны в колонке 5.

Фактор Инвуда рассчитывается по следующей формуле:

Фактор текущей стоимости аннуитета может быть также рассчитан ка сумма текущих стоимостей в 1 долл. за определенный временной период

Для построения аннуитетной таблицы следует просто сложить факторы текущей стоимости единицы за соответствующее число лет, как это показано в табл. 3-7.

ТАБЛИЦА 3-7

Соотношение текущей стоимости единицы и текущей стоимости аннуитета (ставка = 10%)

	Текущая стоимость единицы

Метод «депозитной книжки»

Как способ проверки или доказательства того, что текущая стоимость аннуитета определена правильно, рассмотрим метод «депозитной книжки». В соответствии с данным подходом любые суммы, находящиеся на депозите» должны приносить процент. Снимаемые суммы перестают приносить процент. Текущая стоимость аннуитета показывает сумму сегодняшнего депозита, с которого (включая начисляемый на остаток процент) в течение всего срока аннуитета может ежегодно сниматься определенная равная сумма.

Например, рассмотрим сегоднящний депозит в 316,98 долл. Если бы эта сумма была внесена на беспроцентный текущий счет к с него ежегодно в течение четырех лет снимались равные суммы, то последние не могли превысить 79,24 доля* Однако, если бы на остаток вклада ежегодно выплачивался процент, то ежегодные изъятия могли бы быть больше 79,24 долл. Чем выше ставка процента, тем выше сумма возможного ежегодного изъятия. При ставке 10% она может составить 100 долл. Для проверки обратимся к табл. 3-8. Заметим, что процент прибавляется в конце каждого года» в зависимости от суммы остатка на протяжении года. В конце каждого года со счета снимаются 100 долл.» включая процент.

ТАБЛИЦА 3-8

Метод «депозитной книжки» (депозит в 316,98 долл.» при ставке 10% и ежегодном изъятии 100 долл.)

				Остаток
	на начало года	на остаток	годовое изъятие	на конец года
				(в долл.)
				= 248,68
				= 173,55
				= 90,91

Применение калькулятора

Используя для оценки аннуитета финансовый калькулятор» введите число периодов N, ставку процента %I и известный периодический платеж РМТ. Затем наберите COMPUTE и PV. На дисплее появится текущая стоимость аннуитета. Пример показан на рис. 3-10.

РИС. 3-10. Клавиши калькулятора, используемые для расчета текущей стоимости аннуитета при ставке дисконта 10%, ежегодном дисконтировании за 4 года и ежегодном платеже в 100,00 долларов

Укороченные интервалы

Поступления от обычных аннуитетов часто происходят не раз в год, а ежемесячно» каждый квартал или каждое полугодие. Для того чтобы учесть это, необходимо номинальную ставку процента разделить на число периодов в году. Общее число периодов равно числу лет, умноженному на число периодов в году.

Авансовый аннуитет (причитающийся аннуитет)

Некоторые аннуитеты структурированы таким образом, что первое поступление (платеж) в потоке доходов происходит немедленно. Последующие же платежи производятся через равные интервалы. Такие аннуитеты называются авансовыми (annuities in advance), ИЛИ причитающимися аннуитетами (annuities due).

Для того чтобы оценить подобный аннуитет, рассмотрим первый платеж, осуществляемый на полную сумму. Он производится немедленно, поэтому дисконтировать его не следует. Последующие поступления дисконтируются. Поскольку второе поступление произойдет через один временной интервал от настоящего момента, его следует оценивать с использованием фактора текущей стоимости реверсии для первого интервала (из стандартных таблиц). Для того чтобы превратить фактор обычного аннуитета в фактор авансового аннуитета, необходимо взять фактор обычного аннуитета для потока доходов, укороченного на один период, и добавить к нему единицу. При добавлении единицы как раз и учитывается первое поступление. При сокращении потока на один период во внимание принимается текущая стоимость остальных платежей.

Например, на протяжении четырех лет ежегодный чистый рентный доход составляет 100 долл., причем он выплачивается в начале каждого года. Текущая стоимость потока доходов, дисконтированная по ставке 10%, равна 348,68 долл. Текущая стоимость первого платежа - 100,00 долл., второго - 90,91 долл., третьего - 82,64 долл., четвертого - 75,13 долл. (100,00 долл. + 90,91 долл. + 82,64 долл. + 75,13 долл. = 348,68 долл.).

Некоторые калькуляторы для авансового аннуитета предусматривают клавишу DUE. Клавиши, используемые для расчета текущей стоимости причитающегося аннуитета, показаны ниже.

Результат: 316,98 (на дисплее)

Использование двух факторов
Доход, ожидаемый от недвижимого имущества, часто состоит из двух частей: а) поток доходов; б) единовременная сумма от перепродажи актива. Соответственно, для его оценки следует использовать два различных фактора сложного процента.
Например, предположим, что на протяжении 25 лет в конце каждого года недвижимость должна приносить доход в 65 000 долларов, затем она будет перепродана за 500 000 долларов Соответствующая ставка дисконта равна 12%. Для оценки ожидаемых 65 000 долларов ежегодного дохода может быть использован фактор текущей стоимости аннуитета (колонка 5) (65 000 долларов х 7,8431 = 509 804 долларов), а для оценки единовременной суммы от перепродажи актива - фактор текущей стоимости единицы (колонка 4) (500 000 долларов X 0,05882 29 411 долларов). Общая стоимость собственности оценивается в 539 000 долларов (509 804 долларов + 29 411 долларов = 539 215 долларов, что округляется до 539 000 долларов). Таким образом, для анализа двух составляющих ожидаемого общего дохода использованы два различных фактора сложного процента.
Использование «расщепленных» коэффициентов
Инвестиционные предложения могут содержать прогнозы на получение доходов с разным уровнем осознанного риска. Для того чтобы сделать поправки на эти различия, при оценке прогнозируемых доходов следует применять различные ставки дисконта.
В качестве примера, предположим, что здание сдано в аренду правительству США сроком на 25 лет при ежегодном чистом рентном доходе 65 000 долларов Ожидается, что по окончании этого срока оно будет перепродано за 500 000 долларов Поток доходов абсолютно ясен. Что же касается цены перепродажи, то здесь сохраняется неопределенность; здание может быть реализовано и за значительно большую (меньшую) сумму, чем 500 000 долларов Для того чтобы учесть неопределенность прогнозируемой цены перепродажи, при ее дисконтировании следует использовать более высокую ставку. Выбор последней является результатом аналитических оценок, выносимых с учетом текущих рыночных ставок.
Так, известный поток ежегодных доходов в 65 000 долларов может быть дисконтирован по 12%-ной ставке, в то время как 500 000 долларов, прогнозируемые от перепродажи собственности, - по 15%-ной ставке. В этом случае оценочная стоимость собственности составит 524 000 долларов:

$65 000×7,8431 = 509 802
$500 000×0,0304 = 15 200
525 002

Всего Округление до $525 000

Повышающиеся или снижающиеся потоки доходов

Аренда или ипотека могут предусматривать периодическое увеличение или снижение платежей. В том случае, когда платеж должен возрастать, имеет место «повышающаяся» аренда, часто используемая арендодателем как средство защиты от инфляции. Снижение же арендных платежей может иногда использоваться с учетом износа собственности по мере ее старения. Оценка повышающихся или снижающихся потоков доходов с использованием сложного процента может быть проведена различными путями.
Например, предположим, что чистый рентный доход подлежит выплате в конце каждого года по следующей схеме:

Данному потоку доходов соответствует ставка дисконта 12%. Реверсия (перепродажа) актива должна рассматриваться отдельно. Использовано три расчетных метода:

1. Оценить 25-летний поток ежегодного дохода в 70 000 долларов; затем вычесть текущую стоимость потока ежегодного дохода в 10 000 долларов, получаемого в течение первых пяти лет:

2. Оценить 25-летний поток ежегодного дохода в 60 000 долларов; за тем добавить текущую стоимость потока ежегодного дохода в 10 000 долларов, получаемого в течение последних 20 лет:

3. Оценить 25-летний поток ежегодного дохода в 60 000 долларов и добавить текущую стоимость потока ежегодного дохода в 10 000 долларов получаемого между пятым и 25-м годами:

(Различия между тремя результатами являются следствием их округления.)

Сложный процент является краеугольным камнем сложного инвестиционного анализа. Он предполагает, что все деньги, находящиеся на депозите, будут приносить процент, как первоначальная сумма, так и начисленный, но не выплаченный процент. Текущая стоимость реверсии - это величина, обратная сложному проценту. Она показывает нынешнюю стоимость денежной суммы, которая, как ожидается, будет получена в будущем. Текущая стоимость аннуитета - это стоимость серии платежей или поступлений, которые должны произойти в будущем.

После оценки сумм и времени получения притока денежных средств от инвестиций, может быть определена их текущая стоимость, исходя из соответствующей ставки дисконта. Для того чтобы оценить, насколько прогнозируемый доход действительно оправдывает необходимые инвестиционные расходы, следует сравнить риск или неопределенность, связанные с различными вариантами инвестиций, с предлагаемыми ими ставками дохода.

Инвестирование денежных средств в различные программы, создание денежных фондов целевого назначения, погашение банковской задолженности и т. п предусматривают выплаты будут осуществляться через определенные промежутки времени. При этом возникает ряд последовательных платежей, которые называют потоком платежей.

Ряд последовательных фиксированных платежей , которые осуществляются через равные промежутки времени, называют финансовой рентой или аннуитетом (annuity).

Теория аннуитетов является важной частью финансовой математики. Различают два основных типы рент:

- безусловные ренты - ренты с фиксированным сроком, то есть даты первой и последней выплаты определены до начала ренты;

- условные ренты - ренты, в которых дата первой и последней выплат зависит от определенного события.

Они могут осуществляться или в конце, или в начале каждого периода. В соответствии с этим различают два виды аннуитетов (рент): - обычный (отложенный, постнумерандо) - платежи осуществляются в конце каждого периода;

предварительный (авансовый, вексельный, пренумерандо) - платежи или выписка счетов осуществляются в начале каждого периода. Аннуитет может быть выходным денежным потоком предпринимателя (осуществление периодических равновеликих взносов на счет банковского учреждения) или входным денежным

потоком (поступление арендной платы, которая обычно устанавливается одинаковой фиксированной суммой).

Обобщающими показателями аннуитета является его будущая и настоящая стоимость.

Пусть инвестор в течение определенного периода времени в конце каждого года получает платежи, которые не являются одинаковыми. Если он будут инвестировать сумму каждого платежа на время до окончания данного периода, то после его завершения получит некоторую сумму денег, которую называют будущей стоимостью потока платежей.

Будущая стоимость аннуитета - это сумма всех членов потоков платежей с начисленными на них процентами на конец периода, т. е. на дату последней выплаты. Она показывает, какую величину будет представлять капитал, который вкладывается через равные промежутки времени в течение всего срока аннуитета вместе с начисленными процентами.

Формула определение будущей стоимости обычного аннуитета (на конец года) такова:

где РУ4 - общая будущая стоимость аннуитета на конец определенного периода; А - аннуитетные платежи;

Определение будущей стоимости аннуитетов с помощью таблиц (Приложение В) предполагает использование фактора процента будущей стоимости аннуитетов (РУІГЛ) за п периодов с г процентной ставке:

где РУ№А - аннуитетный фактор, или процентный фактор будущей стоимости аннуитета (Приложение В).

В того, чтобы вычислить будущую стоимость аннуитетов с помощью таблиц, используется формула 4. 25:

Следует обратить внимание, что формула (4.25) касается обычного (отсроченного) аннуитета (ренты).

Пример . Определите общую будущую стоимость платежей аннуитета на сумму $100, который платится раз в год в течение четырех лет. Возьмите сложный процент 10%.

Определить общую будущую стоимость этих последовательных платежей не трудно. Достаточно суммировать факторы будущей стоимости за каждый год, в котором выплачивается аннуитет.

За таблицей будущей стоимости, фактор аннуитета за 4 года по 10% сложного процента являются: 1,000 + 1,100 + 1,210 + 1,33, или 4,641. Через 4 года ежегодный платеж $100 будет стоить $ 100*4,641, или $464,10.

Используя данные из нашего примера, определим фактор 4-летнего аннуитета. Он составляет 4,641.

Однако, если имеет место авансовый аннуитет (рента), порядок количественной оценки будущей стоимости денежного потока несколько изменяется.

Необходимость корректировки финансово-математической модели оценки отсроченной ренты обусловлена различиями в порядке движения денежных средств, что наглядно можно увидеть в таблице. Так, для обычного аннуитета денежные потоки возникают по окончании первого интервала периода, который анализируется (именно поэтому обычный аннуитет часто называют отсроченным).

Для авансового аннуитета характерным является движение денежных средств уже начиная с первого интервала планового периода. Упомянутые различия обусловливают разницу между отсроченным и авансовым аннуитетом на один интервал, что и заложено в финансово-математическая модель оценки будущей стоимости авансового аннуитета.

Для расчета будущей стоимости авансового аннуитета (на начало года) применяется формула 4.26:

Пример . Определить будущую стоимость аннуитета, если ежегодный взнос составляет 6000 игры. в течение пяти лет, а процентная ставка -16%. Сравнить аннуитеты по условиям осуществления взносов на начало и в конце года.

Когда финансовые менеджеры стоят перед тем, что в будущем постоянно, регулярно будут поступать деньги и им надо определить настоящую стоимость тех поступлений, они могут сделать две вещи:

1) вычислить приведенную стоимость поступлений за каждый год, используя соответствующие факторы. Но это долгое и хлопотное дело;

2) вычислить приведенную стоимость аннуитета, используя факторы текущей стоимости аннуитета. Это более короткий и простой путь.

Вспомните, как мы рассматривали будущую стоимость аннуитетов и отмечали, что факторы стоимости аннуитетов - это сумма факторов будущей стоимости. Тот же принцип применяется, когда определяется приведенная стоимость аннуитетов для серии одинаковых поступлений будущих денежных потоков. Все, что нужно сделать, это сложить факторы текущей стоимости за определенный период умножить полученный общий аннуитетный фактор на денежный поток за любой год.

Математическое уравнение для определение настоящей стоимости аннуитета такое:

где РУКІ"А - настоящая стоимость аннуитета; А - сумма аннуитета;

г ставка дисконта (выраженная десятичной дробью); п количество лет или периодов;

РУІРА- процентный фактор настоящей стоимости аннуитета (показатель аннуитетов за п - ну количество периодов, дисконтова ный на г процента)(Приложение Г).

В финансовых таблицах суммируются факторы текущей стоимости (Приложение Г). В таблице приведены процентные факторы текущей стоимости аннуитетов - (PVIF.) Present Value Interest Factor Annuities, в результате чего таблица достаточно легко читается.

Пример . Скажем, вы хотите купить акцию А, что в течение 5 лет будет приносить доход в $1,000, а также акцию Б, которая ежегодно в течение 5 лет будет давать дохіду $1,025. Вас интересует, в какие акции лучше вложить деньги. Эксперт, который производит оценку ценных бумаг, говорит, что акции имеют дисконтуватись под 10%. а акции Б под 12%.

Чтобы сравнить нынешнюю стоимость аннуитетов этих акций, достаточно найти в таблице соответствующие значения процентных факторов текущей стоимости аннуитетов. По 10% на 5 лет фактор имеет значение 3,7908, по 12% соответственно 3,6048. Имея значения этих факторов, можно подсчитать приведенную стоимость обеих акций:

PV акции А = $1,000x3,791 * $3,791

PV Бы акции - $ 1,025x3,605 = $3,695

После дисконтирования аннуитетов, или денежных доходов, от этих акций становится очевидным, что акция Бы, доход которой ниже, чем от акции А, менее привлекательна, учитывая соотношение риска и дохода.

Финансово-математическая модель определения настоящей стоимости аннуитетов применяется для вычисления постоянных равных выплат по погашению кредита, арендных платежей за пользование активами предприятия, для сравнения настоящей стоимости ценных бумаг, которые дисконтируются под разные процентные ставки и приносят владельцу определенный ежегодный доход, для определения суммы, которую необходимо положить на депозит при условии изъятия со счета каждого года одинаковой суммы денег.

Итак, формула (4.24) касается обычного (отсроченного) аннуитета (ренты). Однако, если имеет место авансовая рента, порядок расчета приведенной стоимости денежного потока несколько изменяется.

Необходимость корректировки отсроченной ренты обусловлена различиями в порядке движения денежных средств. Для обычного аннуитета денежные потоки, стоимость которых оценивается, возникают по окончании первого интервала анализируемого периода (поэтому обычный аннуитет называют также отсроченным). Для авансового аннуитета характерным является движение денежных средств уже в начале первого интервала планового периода. Перечисленные особенности обусловливают различие между отсроченным и авансовым аннуитетом на один интервал, что и отражает формула оценки приведенной стоимости авансового аннуитета (на начало года):

Пример . Определить приведенную стоимость аннуитета, если периодические поступления в течение четырех лет составляют 8000 грн., а процентная ставка - 16%. Сравнить стоимость аннуитетов при условии поступления средств в начале и в конце года.

авансового аннуитета каждый период дисконтируется одной выплатой. Поскольку выплаты выполняются быстрее, такая рента имеет большую стоимость, чем обычная. Значение авансовой ренты может быть рассчитано умножением показателя РУ обычной ренты на (И + г).

Таким образом в данной теме рассмотрены основные финансово-математические модели, которые могут быть применены для оценки стоимости денег во времени и определение на этой основе доходности различных инвестиционных проектов и выбора из них оптимального.

Однако, применяя математический аппарат для вбору того или иного варианта вложения денежных средств, финансовый менеджер должен также учитывать обстоятельства субъективного характера, которые невозможно формализовать в ту или иную финансово-математическую модель: источники возникновения первоначального капитала; репутация фирмы, в которой инвестируются средства; экономическая и политическая стабильность в стране и др.

ГЛОССАРИЙ

Стоимость денег - количество товаров и услуг, которые можно обменять на единицу денег; покупательная способность единицы денег; величина, обратная уровню цен.

Текущая стоимость будущих денежных потоков (РV) -сумма будущих денежных поступлений, возведенных с учетом определенной процентной ставки (так называемой "скидки") до настоящего периода с поправкой на риск;

Будущая стоимость денег (FV) - сумма инвестированных в настоящий момент средств, в которую они превратятся через определенный период времени с учетом определенной ставки процента.

Процентная ставка - это отношение суммы дохода, выплаченного за фиксированный интервал времени, к величине займа.

Ставка дисконтирования - это процентная ставка, используемая для приведения будущих поступлений (денежных потоков и прибыли) к настоящей стоимости.

Дисконтирование - это нахождение начальной или текущей суммы долга (РУ) по известной конечной сумме.(РУ), которую нужно отдать через некоторое время (п).

Простое компаундирования (наращивание) (single compounding) - финансово-математическая модель расчета стоимости имеющихся денежных ресурсов, или теперешних денежных потоков, использование которых в течение четко определенного периода, как ожидается, даст возможность получить соответствующий экономический эффект в будущем.

Простой процент - начисления по текущей стоимости вклада в конце одного периода платежа, обусловленного условиями инвестирования (месяц, квартал и тому подобное).

Сложный процент - сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход.

Аннуитет - это серия вкладов или выплат равных сумм, которые осуществляются через определенные интервалы или определенное количество периодов.