Операции наращения и дисконтирования.

Концепция стоимости денег во времени.

Временная ценность денежных вложений относится к одной из основных концепций, используемых в инвестиционном анализе. Необходимость учета временного фактора заставляет особое внимание уделять оценке базовых финансовых показателей. Разность в оценке текущих денежных средств и той же самой их суммы в будущем может быть связана с:

§ негативным воздействием инфляции, в связи с чем происходит уменьшение покупательной способности денег;

§ возможностью альтернативного вложения денежных средств и их реинвестирования в будущем (фактор упущенной выгоды);

§ ростом риска, связанного с вероятностью невозврата инвестированных средств (чем длительнее срок вложения капитала, тем выше степень риска);

§ потребительскими предпочтениями (лучше получить меньше доход в ближайшем периоде, чем ожидать большее, но в отдаленной перспективе).

В планируемом периоде анализ предстоящей реализации различного вида инвестиционных проектов может осуществляться по двум противоположным направлениям. С одной стороны, определяется будущая стоимостная оценка первоначальной величины инвестиций и доходов (дивидендов, процентов, прибыли, денежных потоков и пр.), полученных в результате осуществления этих капиталовложений. С другой стороны, приращенные в ходе инвестирования денежные средства оцениваются с позиции их текущей (настоящей) стоимости. В соответствии с этим в финансово-инвестиционном анализе используются операции дисконтирования и наращения капитала. Принципиальная схема инвестиционного анализа, осуществляемого с учетом временной ценности денежных вложений, представлена на рис. 1.

Рис. 1. Схема проведения инвестиционного анализа с использованием операций наращения и дисконтирования капитала

Операции наращения и дисконтирования.

При разработке оптимальных финансовых решений в определенных ситуациях требуется проведение оценки будущей стоимости инвестированных денежных средств. Нахождение будущей стоимости денежных средств по истечении одного периода времени и при известном значении темпа их прироста осуществляется по формуле

где FV 1 - будущая стоимость денежных средств в конце первого периода инвестирования (t=1), тыс. руб.;

РV - первоначальная (принципиальная) сумма денежных средств, инвестированных в начальный период времени (t = 0), тыс. руб.;

Процесс, в котором при заданных значениях PV и r необходимо найти величину будущей стоимости инвестированных средств к концу определенного периода времени (n) называется операцией наращения. В практике инвестиционного анализа «темп прироста» денежных средств принято называть «процентом», «ставкой процента» или «нормой рентабельности», а первоначальную сумму денежных средств - «текущей стоимостью» (РV).

Из предыдущей зависимости FV 1 от РV темп прироста денежных средств исчисляется по формуле:

Оценка будущей стоимости денежных вложений, инвестированных на срок более одного периода времени, - более сложная задача. Ответ на вопрос, какой будет будущая стоимость денежных средств в n -й период времени, зависит от того, простой или сложный процент будет применяться в расчетах. Использование простого процента (simple interest) свидетельствует о том, что инвестор будет получать доход (наращивать капитал) только с принципиальной суммы начальных инвестиций в течение всего срока реализации проекта. В противоположность данному подходу использование сложного процента (compound interest) говорит о том, что полученный доход (проценты, дивиденды или пр.) периодически добавляется к сумме начальной инвестиции, в результате помимо первоначальной суммы денежных средств процент берется также из накопленной в предыдущих периодах суммы процентных платежей или любого другого вида доходов. В математическом исчислении операция наращения с использованием сложных процентов к концу второго периода реализации проекта определяется по формуле

В конце n-гo периода времени будущая стоимость денежных средств (FV n) исчисляется по формуле:

Данная формула расчета FV n является базовой в инвестиционном анализе. Для облегчения процедуры нахождения показателя FV n предварительно рассчитывается величина множителя (1+r) n при различных значениях r и n. В этом случае FV n находим по формуле:

где FVIFr,n - фактор (множитель) будущей стоимости денежных вложений, коэф.

В инвестиционном анализе под стандартным временным интервалом принято рассматривать один год. В случае же, когда дополнительно оговаривается частота выплаты процентов по вложенным средствам в течение года, формула расчета будущей стоимости инвестированного капитала может быть представлена в следующем виде:

где r - годовая процентная ставка, коэф.;

m - количество начислений в году, ед.;

n - срок вложения денежных средств, год.

Начисление процентов (дивидендов или др.) может осуществляться ежедневно, ежемесячно, поквартально, один раз в полугодие и один раз в год. Характерно, что чем больше количество раз в течение года будут начисляться проценты, тем больше будет FV в конце n-го периода времени. Для целей анализа отношение r/m принято рассматривать в качестве процентной ставки, а произведение - n∙m в качестве срока инвестирования. Этот случай соответствует следующей экономической ситуации.

Пример. Коммерческая организация приняла решение инвестировать на пятилетний срок свободные денежные средства в размере 30 тыс. руб. Имеются три альтернативных варианта вложений. По первому варианту средства вносятся на депозитный счет банка с ежегодным начислением сложных процентов по ставке 20 % годовых. По второму варианту средства передаются сторонней организации в качестве займа, при этом на переданную в долг сумму ежегодно начисляется 25 %. По третьему варианту средства помещаются на депозитный счет коммерческого банка с начислением сложных процентов по ставке 16 % годовых ежеквартально. Если не учитывать уровень риска, наилучший вариант вложения денежных средств может быть определен при помощи показателя FV n . По варианту I: FV n = 30 тыс. руб. × (1+0,2) 5 = 74,7 тыс. руб. По варианту II: FV n = 30 тыс. руб. + 5 × (30 тыс. руб. × 0,25) = 67,5 тыс. руб. По варианту III: FV n - 30 тыс. руб. × (1+0,16/4) 5∙4 = 65,7 тыс. руб. В данных условиях первый вариант более предпочтителен для предприятия.

Наращение денежных средств имеет максимальное (предельное) значение, когда интервал наращения становится бесконечно малым (количество начислений в году стремится к бесконечности). В этом случае показатель FV n определяется по формуле:

FV n = PV∙e r ∙ n

где е - трансцендентное число е, равное 2,718281...(постоянная величина).

В финансовых расчетах должна учитываться инфляция, тем более если она значительна. С одной стороны, сумма, положенная, например, на депозит, получит приращение, а с другой - утратит свою реальную стоимость в результате инфляции. Для определения наращенной суммы с учетом инфляции используют алгоритм:

где - будущая стоимость денежных средств c учетом инфляции в конце n-ого периода инвестирования, тыс. руб.;

РV - первоначальная (принципиальная) сумма денежных средств, инвестированных в начальный период времени, тыс. руб.;

r - темп прироста денежных средств, коэф.

m - число начислений в году;

h - ожидаемый месячный темп инфляции;

n - число месяцев.

Пример. Предположим, что на депозит положена сумма 1000 тыс. руб. Номинальная годовая банковская ставка равна 16%. Сложные проценты начисляются каждый месяц, т.е. годовая номинальная ставка применяется 12 раз в году (m). Ожидаемый месячный темп инфляции равен 10%. Определим наращенную сумму (с учетом инфляции) через 5 месяцев, а также эрозию капитала (ЭК), или уменьшение реальной стоимости суммы, положенной на депозит :

Эрозия капитала составит: 663,2 тыс. руб. - 1000 тыс. руб. = - 336,8 тыс. руб.

Как и в случае с наращением капитала, для оптимального принятия финансовых решений чрезвычайно важно знать и учитывать в анализе временной интервал дисконтирования. Если начисление процентов планируется (или произошло) более одного раза в год, формулу для нахождения РV необходимо представлять в следующем виде:

Возможности практического использования показателя PV pacкрываются в различных экономических ситуациях, когда возникает необходимость обоснования финансово-инвестиционных решений с учетом временной ценности денежных вложений.

Одна из типичных ситуаций в инвестиционной деятельности хозяйствующих субъектов представлена ниже.

Пример. Коммерческая организация планирует приобрести помещения под склад и офис. Эксперты оценивают будущую стоимость недвижимости в размере 10 млн. руб. По банковским депозитным счетам установлены ставки в размере 18% с ежегодным начислением сложных процентов и 14% с ежеквартальным начислением сложных процентов. При помощи показателя PV можно определить, какую сумму средств необходимо поместить на банковский депозитный счет, чтобы через два года получить достаточную сумму для покупки недвижимости. Расчет оптимального варианта инвестирования осуществляется следующим образом: в первом случае PV = 10 млн руб. × (1/ 2) = 7,18 млн руб.; во втором случае РV = 10 млн. руб.∙(1/ 2 × 4) = 7,59 млн руб. Очевидно, что более выгодным для предприятия является вложение меньшей суммы средств, т.е. первый вариант.

Отношение 1/(1+r) n известно как фактор (множитель) текущей стоимости (РVIFr,n). Стандартные значения РVIFr,n могут быть найдены в специальных таблицах. Формула расчета PV уравнивает, с точки зрения инвестора, ценность денежных средств сегодня и ожидаемого к получению денежного потока в будущем.

При заданной величине дисконтной ставки текущая стоимость денежных потоков достигнет своего минимально возможного значения при непрерывном дисконтировании. В этом случае (когда m => +∞) текущая стоимость исчисляется по формуле.

В финансовой практике часто приходится решать задачи, обратные опре­делению наращённой суммы: по уже известной наращённой сумме (FV) следует определить неизвестную первоначальную сумму долга (PV).

Такие ситуации возникают при разработке условий финансовой сделки, или когда проценты с наращённой суммы удерживаются непосредственно при выдаче ссуды.

Процесс начисления и удержания процентов вперёд, до наступ­ления срока погашения долга, называют учётом, а сами проценты в виде разно­сти наращённой и первоначальной сумм долга дисконтом (discount)".

Термин дисконтирование в широком смысле означает определение зна­чения стоимостной величины на некоторый момент времени при условии, что в будущем она составит заданную величину.

Рисунок 6 - Логика финансовой операции дисконтирования

Не редко такой расчёт называют приведением стоимостного показателя к заданному моменту времени, а величину РУ называют приведённой (современной или текущей) величиной FV. Таким образом, дисконтирование - приведение буду­
щих денег к текущему моменту времени, и при этом не имеет значения, имела ли место в действительности данная финансовая операция или нет, а также независимо от того, можно ли считать дисконтируемую сумму буквально наращённой.

Именно дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных расчётах фактор времени, поскольку даёт сегодняшнюю оценку суммы, которая будет получена в будущем. Привести стоимость денег можно к любому моменту вре­мени, а не обязательно к началу финансовой операции.

Исходя из методики начисления процентов, применяют два вида дискон­тирования:

Математическое дисконтирование по процентной ставке;

Банковский учёт по учётной ставке.

Различие в ставке процентов и учётной ставке заключается в различии базы для начислений процентов:

В процентной ставке в качестве базы берётся первоначальная сумма

(1.29)

В учётной ставке за базу принимается наращённая сумма долга

РУ-РУ Л. (0°)

Проценты, начисленные по ставке процентов, называются антисипатив- ными, а по учётной ставке - декурсивными.

Учётная ставка более жёстко отражает временной фактор, чем процент­ная ставка. Если сравнить между собой математическое и банковское дискон­тирование в случае, когда процентная и учётная ставка равны по своей величине, то видно, что приведённая величина по процентной ставке больше приведённой величины по учётной ставке.

Математическое дисконтирование - определение первоначальной сум­мы долга, которая при начислении процентов по заданной величине процент­ной ставки (/), позволит к концу срока получить указанную наращённую сумму для простых процентов:

РУ =---------- =---------- = РУ х (1 + пх /)-1 = РУ х кЛ, (1.31)

1 + п х I 1 + п х I

где кд - дисконтный множитель (коэффициент приведения) для простых про­центов.

Дисконтный множитель показывает, какую долю составляет первона­чальная сумма долга в величине наращённой суммы. Поскольку дисконтный множитель (множитель приведения) зависит от двух аргументов (процентной ставки и срока ссуды), то его значения легко табулируются, что облегчает фи­нансовые расчёты.

Пример. Через 150 дней с момента подписания контракта необходимо уплатить 310 тыс. руб., исходя из 8% годовых и временной базы 360 дней. Определить первоначальную сумму долга. Решение:

Поскольку срок ссуды менее года, то используем формулу простых процентов:

РУ = 310000 х 1 / (1 + 150 / 360 х 0,08) = 300 000 руб.

РУ = 310000 х 0,9677419 = 300 000 руб. Таким образом, первоначальная сумма долга составила 300 тыс. руб., а проценты за 150 дней - 10 тыс. руб. Для сложных процентов -

РУ = ГУ х(1 + 0-п = ГУ хка, (1.32)

где кд - дисконтный множитель для сложных процентов.

Если начисление процентов производится т раз в год, то формула примет

РУ = ГУ х

(1.33)

Пример. Через два года фирме потребуются деньги в размере 30 млн руб., какую сумму необходимо сегодня поместить в банк, начисляющий 25% годовых, чтобы через 2 года получить требуемую сумму? Решение:

Поскольку срок финансовой операции составляет более года, что исполь­зуем формулу приведения для сложных процентов:

РУ = 30000000 х 1 / (1 + 0,25)2 = 19 200 000 руб.

РУ = 30000000 х 0,6400000 = 19 200 000 руб.

Таким образом, фирме следует разместить на счёте 19 200 000 руб. под 25% годовых, чтобы через два года получить желаемые 30 000 000 руб.

Современная величина и процентная ставка, по которой проводится дис­контирование, находятся в обратной зависимости: чем выше процентная ставка, тем при прочих равных условиях меньше современная величина.

В той же обратной зависимости находятся современная величина и срок финансовой операции: чем выше срок финансовой операции, тем меньше при прочих равных условиях современная величина.

Банковский учёт - второй вид дисконтирования, при котором исходя из известной суммы в будущем, определяют сумму в данный момент времени, удерживая дисконт.

Операция учёта (учёт векселей) заключается в том, что банк или другое финансовое учреждение до наступления платежа по векселю покупает его у предъявителя по цене ниже суммы векселя, т. е. приобретает его с дисконтом.

Сумма, которую получает векселедержатель при досрочном учёте векселя, называется дисконтированной величиной векселя. При этом банк удерживает в свою пользу проценты (дисконт) от суммы векселя за время, оставшееся до срока его погашения. Подобным образом (с дисконтом) государство продаёт большинство своих ценных бумаг.

Для расчёта дисконта используется учётная ставка:

Б = РУ - РУ = РУ х п х Л = РУ х ^ х Л, (1.34)

где п - продолжительность срока в годах от момента учёта до даты выплаты известной суммы в будущем.

РУ = РУ - РУх п х Л = РУ х (1 - п х Л), (1.35)

где (1 - п х ё) - дисконтный множитель.

Очевидно, что чем выше значение учётной ставки, тем больше дисконт. Дисконтирование по простой учётной ставке чаще всего производится по французской практике начисления процентов, т. е. когда временная база при­нимается за 360 дней, а число дней в периоде берётся точным.

Пример. Вексель выдан на 5 000 руб. с уплатой 17 ноября, а владелец учёл его в банке 19 августа по учётной ставке 8%. Определить сумму, получен­ную предъявителем векселя и доход банка при реализации дисконта.

Для определения суммы при учёте векселя рассчитываем число дней, оставшихся до погашения обязательств:

Отсюда, определяемая сумма:

РУ = 5000 х (1 - 90/360 х 0,08) = 4 900 руб.

Тогда дисконт составит:

Б = РУ - РУ = 5000 - 4900 = 100 руб.

Б = 5000 х 90/360 х 0,08 = 100 руб.

Следовательно, предъявитель векселя получит сумму 4900 руб., а банк при наступлении срока векселя реализует дисконт в размере 100 руб.

По сложной учётной ставке текущая величина составит:

РУ = РУ х (1 - !)п (1.36)

При использовании сложной учётной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, т. к. учётная ставка каждый раз применяется к уменьшаемой на величину дисконта величине.

Пример. Определить величину суммы, выдаваемую заёмщику, если он обязуется вернуть её через два года в размере 55 тыс. руб. Банк определяет свой доход с использованием годовой учётной ставки 30%.

Используя формулу дисконтирования по сложной учётной ставке, опре­деляем:

РУ = 55000 х (1 - 0,3)2 = 26 950 руб.

Заёмщик может получить ссуду в размере 26 950 руб., а через два года вернёт 55 тыс. руб.

Объединение платежей можно производить и на основе учётной ставки, например, при консолидировании векселей. В этом случае, сумма консолиди­рованного платежа рассчитывается по следующей формуле:

РУб =1 РУ} х (1 - с! х ^)Л (1.37)

где ^ - интервал времени между сроками векселей.

Пример. Вексель на сумму 10 тыс. руб. со сроком погашения 10.06, а также вексель на сумму 20 тыс. руб. со сроком погашения 01.08 заменяются одним с продлением срока до 01.10. При объединении векселей применяется учётная ставка 25%. Определить сумму консолидированного векселя.

Для использования формулы консолидированного платежа необходимо определить срок пролонгации векселей:

ї1 = 21 (июнь) + 31 (июль) + 31 (август) + + 30 (сентябрь) + 1 (октябрь) - 1 = 113 дней, = 31 (август) + 30 (сентябрь) + 1(октябрь) - 1 = 61 день.

Тогда, сумма консолидированного векселя будет равна: ¥У0 = 10000 х (1 - 113/360 х 0,25)-1 + 20000 х (1 - 61/360 х 0,25)-1 = 31 736 руб.

Таким образом, сумма консолидированного векселя с датой погашения 01.10 составит 31 736 руб.

В том случае, когда учёту подлежит долговое обязательство, по которому предусматривается начисление процентов, происходит совмещение начисления процентов по процентной ставке и дисконтирования по учётной ставке:

РУ2 = РУ1 х (1 + п х і) х (1 - п2 х й), (1.38)

где РУ1 - первоначальная сумма долга;

РУ2 - сумма, получаемая при учёте обязательства;

п1 - общий срок платёжного обязательства;

п2 - срок от момента учёта до погашения.

Пример. Обязательство уплатить через 100 дней сумму долга в размере 50 тыс. руб. с начисляемыми на неё точными процентами по ставке 40%, было учтено за 25 дней до срока погашения по учётной ставке 25%. Определить сум­му, полученную при учёте обязательства.

Следует обратить внимание на различие временных баз, используемых при наращении и учёте:

РУ2 = 50000 х (1 + 100/365 х 0,4) х (1 - 25/360 х 0,25) = 54 516 руб.

Следовательно, сумма, получаемая при учёте данного обязательства, со­ставит 54 516 руб.

Операции наращения и дисконтирования являются основами финансовой математики. Они применяются как в бизнесе, так и в обычной жизни, например, при оформлении депозитного вклада или потребительского кредита. Используя эти показатели, можно рассчитывать стоимость будущих денег на данный момент или сегодняшних средств в будущем. Такие операции являются основой финансового анализа инвестиционных инициатив.

Большинство из нас сталкивалось с понятием банковского процента при размещении денег на депозитном счету и просчитывало, какой пассивный доход удастся получить, благодаря удачному вложению. Дисконтированием в быту пользуются гораздо реже, его основная сфера применения – бизнес. Операции наращивания и дисконтирования, по сути, схожи между собой, но имеют разную направленность во времени:

• наращение направлено в будущее и показывает цену сегодняшним деньгам через определенное время;
• дисконтирование имеет обратный вектор и характеризует цену ожидаемых прибылей по состоянию на сегодняшний день с учетом дисконта.

Основным элементом, отражающим временной фактор, выступает процентная ставка. Ее можно понимать как цену за использование денег, взятых взаймы.

Ставка в финансовом менеджменте применяется как норма доходности проводимых операций. Она исчисляется в процентах или долях единицы в результате деления полученного дохода на объем инвестированных средств.

Проценты бывают двух видов:

• Декурсивные (обычные). Они выплачиваются в конце установленного договором периода. Применяются при страховании, а также оформлении депозитов и кредитов.
• Антисипативные (авансовые). Они начисляются на начальной стадии установленного временного отрезка относительно количества денег, которое ожидается в конце (с учетом процентов), и выплачиваются получателем сразу при оформлении кредита. Используются в расчетах с иностранными контрагентами, а также при работе с ценными бумагами дисконтированными.

Рыночная экономика дает возможность частным инвесторам, инвестиционным компаниям или предприятиям разместить свободные деньги на условиях возвратности, платности и срочности, преследуя такие цели:

• гарантирование сохранности своих финансовых ресурсов от обесценивания, вызванного инфляционными процессами;
• получение дополнительного дохода (курсового, дисконтного или процентного).

Если известны начальная и конечная сумма, а также период вложения, то по формулам можно рассчитать значения дисконтной и процентной ставок. Например, известно, что предприниматель взял трехлетний кредит на 300 тысяч рублей, а в конце должен возвратить банку 400 тысяч рублей:

r = (FV - PV) / PV * n = (400 - 300) / 300 * 3 = 100 / 900 = 0,11, то есть 11%.

d = (FV - PV) / FV * n = (400 - 300) / 400 * 3 = 100 / 1200 = 0,08, то есть 8%.

Всегда существуют предприниматели или компании, которые нуждаются в деньгах для развития своего бизнеса, они готовы платить за предоставленную им ссуду. С другой стороны, имеются учреждения или организации, готовые за плату предоставить необходимый ресурс. Важно только понимать, на какое время, и на каких условиях можно брать деньги в долг, чтобы остаться в выигрыше. Именно для прогнозирования процессов такого роды и применяются методы наращения и дисконтирования.

Метод наращивания капитала

Наращивание (компаундирование) представляет собой увеличение начальной суммы (PV, Present Value) капитала за счет прибавления к ней через определенное время процентов как следствие какой-то финансовой операции. После этого можно увидеть итоговую сумму (FV, Future Value).

Определяют две разновидности процентов:

• Простые, когда начисление вознаграждения производится один раз в конце срока вклада. Обычно они применяются в краткосрочных операциях (длительностью до одного года), по окончании срока которых нужно снимать всю сумму вместе с пассивным доходом, а при необходимости снова вкладывать ее и оформлять все заново.
• Сложные, когда при расчете выгоды от каждого временного отрезка, учитываются уже начисленные на начальную сумму проценты за предыдущий временной отрезок. Такая методика характерна для долгосрочных вкладов.

Формула простых процентов имеет такой вид:

FV = PV * (1 + r* n)

• r – процентная ставка;
• n – количество периодов времени.

Просчитаем наращение по простым процентам при вкладе 20 тысяч рублей сроком на 1 год по ставке 7% годовых:

FV = 20000 * (1 + 0,07 * 1) = 21400

Таким образом, сумма начисленных процентов за год составит 1400 рублей. Если на тех же условиях положить деньги на 3 года, то получим такой результат:

FV = 20000 * (1 + 0,07 * 3) = 24200 рублей.

Теперь рассмотрим вариант, при котором те же деньги вкладывают на 3 года под аналогичный процент с начислением вознаграждения ежегодно. Здесь можно применить формулу сложных процентов:

FVn = PV (1 + r) n

FV1 = FV1 + FV1 * r = PV (1 + r) = 20000 (1 + 0,07) = 21400 ;

FV2 = FV2 + FV2 * r = PV (1 + r)2 = 20000 (1 + 0,07)2 = 22898 ;

FV3 = FV3 + FV3 * r = PV (1 + r)3 = 20000 (1 + 0,07)3 = 2450 0

Из наших вычислений можно увидеть, что наращение с применением сложных процентов за 3 года составит 4501 рубль. Вспомним, что если бы речь шла о простых процентах, то вкладчик получил бы несколько меньшую сумму. Разница составляет 300 рублей (24500 - 24200). На первый взгляд, это совсем немного, однако когда речь идет о крупных вкладах это различие становится существенным.

Если же по условиям договора начисление процентов производится чаще, чем раз в году (ежеквартально или ежемесячно), то наращивание первоначальной суммы идет более высокими темпами. Чем чаще период начисления, тем быстрее растет вложенный капитал.

Метод дисконтирования капитала

Понятие дисконтирования является важнейшим элементом оценки и анализа денежных потоков, возникающих в результате инвестирования финансов в любые начинания. Использование дисконтирования при совершении сделок и заключении договоров дает возможность собственникам избежать убытков и заработать на своих вложениях.

Дисконтирование – это механизм приведения будущей стоимости средств к состоянию на момент расчета. Он дает возможность, зная размер конечной суммы FV, найти величину суммы PV, которую следует вложить. Примерами дисконтирования могут служить такие случаи:

• При оформлении депозита клиент хочет знать, сколько ему необходимо денег положить на счет, чтобы через 3 года у него было 400 тысяч рублей.
• При получении ссуды клиент сразу должен выплатить проценты за ее использование, такая сделка носит название учет, а проценты в таком случае называют дисконтом.
• При покупке векселя раньше наступления времени его оплаты (учет векселя). В этом случае банк выплачивает держателю сумму, которая меньше номинала, а разница между номиналом и реально полученной суммой называется дисконтом.

Поскольку дисконтирование и наращение, по сути, являются зеркальным отражением друг друга, то легко находится путем преобразования формулы наращивания:

PV = FV * 1/(1 + r) n

Ставка дисконтирования (d) и процентная ставка (r) взаимосвязаны между собой соотношениями, которые можно выразить таким образом:

d = r * (PV / FV) – определяется относительно начальной суммы

r = d * (FV / PV) – определяется относительно наращенного денежного показателя.

Решим несложную задачу. Человек желает купить новую модель автомобиля, которая выйдет на рынок через 3 года. Заявленная производителем ориентировочная стоимость автомобиля составляет 22 тысячи долларов. Необходимо найти, сколько денег требуется положить на депозит сейчас при ставке 7% годовых, чтобы через три года выйти на искомый показатель. Подставляем исходные данные в формулу дисконтирования:

PV = 22000 * 1 / (1 + 0,07) 3 = 22000 * 1 / 1,225 = 22000 * 0,8163 = 17959

Для выхода на показатель 22000 долларов, сегодня под 7% годовых следует вложить 17959 долларов.

В нашем случае все достаточно очевидно, поскольку размер процентной ставки известен заранее. Гораздо сложнее определить значение этого критерия в случае оценки инвестиционного предложения. В этом случае ставка определяется различными методами, в которых используются такие показатели, как средний банковский процент, величина активов компании, размер и рентабельность капитала, размер дивидендов по ценным бумагам, потенциальные риски. Кроме того, учитывается темп инфляции и общеэкономические ожидания.

Тема 3. Основы финансовой математики

3.1. Временная ценность денег.

3.2. Операции наращения и дисконтирования.

3.3. Процентные ставки и методы начисления. Понятие простого и сложного процента.

3.4. Виды денежных потоков.

3.5. Оценка денежного потока с неравными поступлениями.

3.6. Оценка аннуитетов.

3.7. Анализ доступности ресурсов к потреблению в условиях рынка.

Временная ценность денег.

Временную ценность денег рассматривается в двух аспектах.

Первый аспект связан с обесценением денежной наличности с тече­нием времени. Представим, что предприятие имеет свободные денеж­ные средства в размере 15 тыс. руб., а инфляция составляет 20% в год (т.е. цены увеличиваются в 1,2 раза). Это означает, что уже в следующем году, если хранить деньги «в чулке», они уменьшатся по своей покупательной способности и составят в ценах текущего дня лишь 12,5 тыс. руб.

Второй аспект связан с обращением капитала (денежных средств). Для понимания существа дела рассмотрим простейший пример.

Предприятие имеет возможность участвовать в некоторой дело­вой операции, которая принесет доход в размере 10 тыс. руб. по исте­чении двух лет. Предлагается выбрать вариант получения доходов: либо по 5 тыс. руб. по истечении каждого года, либо единовременное по­лучение всей суммы в конце двухлетнего периода.

Даже на житейском уровне очевидно, что второй вариант получе­ния доходов явно невыгоден по сравнению с первым. Это проистека­ет из того, что сумма, полученная в конце первого года, может быть вновь пушена в оборот и, таким образом, принесет дополнительные доходы.

Операции наращения и дисконтирования

Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы РV с условием, что через некоторое время t будет возвращена большая сум­ма FV. Результативность подобной сделки может быть охарактеризована двояко: либо с помощью абсолютного показателя - прироста (FV - PV), либо путем расчета некоторого относительного показателя. Абсолютные показатели чаще всего не подходят для по­добной оценки ввиду их несопоставимости в пространственно-времен­ном аспекте. Поэтому пользуются специальным коэффициентом - ставкой. Этот показатель рассчитывается отношением приращения ис­ходной суммы к базовой величине, в качестве которой, очевидно, мож­но взять либо РV, либо FV.

2 формулы расчета ставки:

r t = FV – PV (1)

d t = FV – PV (2)

В финансовых вычислениях первый показатель имеет еще назва­ния «процентная ставка», «процент», «рост», «ставка процента», «норма прибыли», «доходность», а второй - «учетная ставка», «дисконт».

Оче­видно, что обе ставки взаимосвязаны, т.е. зная один показатель, мож­но рассчитать другой:

r t = d t

d t = r t

d t -дисконт, r t - учетная ставка

Оба показателя могут выражаться либо в долях единицы, либо в процентах. Различие в этих формулах состоит в том, какая величина берется за базу сравнения: в формуле (1)-исходная сумма, в форму­ле (2) - возвращаемая сумма.

Процесс, в котором заданы исходная сумма и ставка (процентная или учетная), в финансовых вычислениях называется процессом на­ращения, искомая величина - наращенной суммой, ставкой наращения. Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и ставка, называется процессом дисконтирования, искомая величина - приве­денной суммой, а используемая в операции ставка - ставкой дискон­тирования. В первом случае речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором - о движении от будущего к на­стоящему (рис. 1).

НАСТОЯЩЕЕ БУДУЩЕЕ

Рис. 1 Логика финансовых операций

Экономический смысл финансовой операции, задаваемой форму­лой состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Из формулы (3)

FV = PV + РУ *r t ,

Разность I = FV - PV называется процентом. Это величина дохо­да от предоставления в долг денежной суммы PV.

На практике доходность является величиной непостоянной, зави­сящей главным образом от степени риска, ассоциируемого с данным видом бизнеса, в который сделано инвестирование капитала. Связь здесь прямо пропорциональная - чем рискованнее бизнес, тем выше значение доходности. Наименее рискованны вложения в государствен­ные ценные бумаги или в государственный банк, однако доходность операции в этом случае относительно невысока.

Величина FV показывает как бы будущую стоимость «сегодняш­ней» величины PV при заданном уровне доходности.

Экономический смысл дисконтирования заключается во времен­ном упорядочении денежных потоков различных временных перио­дов. Одна из интерпретаций ставки, используемой для дисконтирова­ния, такова: ставка показывает, какой ежегодный процент возврата хочет (или может) иметь инвестор на инвестируемый им капитал. В этом случае искомая величина PV показывает как бы текущую, «сегод­няшнюю» стоимость будущей величины FV.

Предприятие получило кредит на один год в размере 5 тыс. руб. с условием возврата 10 тыс. руб. В этом случае процентная ставка рав­на 100%, а дисконт - 50%.

1.1. Операции наращивания и дисконтирования.

Стоимость определенной суммы денег это функция от времени возникновения денежных доходов или расходов.

Тезис «время-деньги» всем хорошо известен.

Временная стоимость денег обусловлена двумя факторами:

Обесценение денежной наличности с течением времени в результате инфляции.

Обращение капитала (денежных средств).

Простейшим видом финансовой сделки является однократное представление в долг некоторой суммыPV (present value) с условием, что через какое-то время t будет возвращена большая сумма FV (future value). Результат такой сделки оценивается с помощью специального коэффициента, который называется ставкой .

Этот показатель рассчитывается отношением приращения исходной суммы к базовой величине, в качестве которой можно брать либо PV либо FV. Таким образом, ставка рассчитывается по одной из двух формул.

Темпы прироста

Темпы снижения

В финансовых вычислениях первый показатель называется:

«процентная ставка»;

«процент»;

• «ставка процента»;

  «норма прибыли»;

  «доходность».

Второй показатель называется:

«учетная ставка»;

«дисконт»;

«ставка дисконта»;

«коэффициент дисконтирования».

Обе ставки взаимосвязаны:

Оба показателя могут выражаться либо в долях единицы, либо в процентах.

Очевидно, что . Степень расхождения зависит от уровня процентных ставок, имеющих место в конкретный момент времени. Так, если,, т. е. расхождение сравнительно невелико; если, то, т. е. ставки существенно различаются по величине.

Как правило, при оценке инвестиционных проектов имеют дело с процентной ставкой .

В любой простейшей финансовой сделке всегда присутствуют три величины , из которых две заданы, а одна является искомой.

Если заданы исходная сумма PV и процентная ставка , то финансовая сделка характеризуетпроцесс наращивания .

Если заданы сумма, ожидаемая к получению в будущем (возвращаемая сумма) FV и ставка дисконта , то финансовая сделка характеризуетпроцесс дисконтирования , т. е. приведения к настоящему моменту времени (рис. 1).

Рис.1. Логика финансовых операций.

В качестве коэффициента дисконтирования может использоваться либо процентная ставка (математическое дисконтирование) , либо учетная ставка (банковское дисконтирование).

Из формулы (1) следует:

,

и , т. е. Мы видим, что время «генерирует деньги».

Выводы:

На практике доходность является величиной непостоянной, зависящей, главным образом, от степени риска. Чем рискованнее бизнес, тем выше значение доходности. Наименее рискованны вложения в государственные ценные бумаги или государственный банк, однако доходность операции в этом случае относительно невелика.

Величина FV показывает будущую стоимость «сегодняшней» величины PV при заданном уровне доходности.

Экономический смысл дисконтирования заключается во временном упорядочении денежных потоков различных временных периодов.

Коэффициент дисконтирования показывает, какой ежегодный процент возврата хочет (или может) иметь инвестор на инвестируемый им капитал. В этом случае искомая величина PV показывает текущую, «сегодняшнюю» стоимость будущей величины FV.