Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы PV с условием, что через некоторое время t будет возвращена большая сумма FV. Как известно, результативность подобной сделки может быть охарактеризована двояко: либо с помощью абсолютного показателя - прироста (FV - PV), либо путем расчета некоторого относительно показателя. Абсолютные показатели чаще всего не подходят для подобной оценки ввиду их несопоставимости в пространственно-временном аспекте. Поэтому пользуются специальным коэффициентом - ставкой.
Этот показатель рассчитывается отношением приращения исходной суммы к базовой величине, в качестве которой можно брать либо PV либо FV. Таким образом, ставка рассчитывается по одной из двух формул:
темп прироста ("процентная ставка ", "процент ", "рост ", "ставка процента ", "норма прибыли ", "доходность ")
темп снижения (учетная ставка ", "дисконт ", "коэффициент дисконтирования ")
Очевидно, что обе ставки взаимосвязаны, т.е. зная один показатель, можно рассчитать другой:
Оба показателя могут выражаться либо в долях единицы, либо в процентах. Различие в этих формулах состоит в том, какая величина берется за базу сравнения: в формуле (Матем. 1) - исходная сумма, в формуле (Матем. 2) - возвращаемая сумма.
Очевидно, что r t > d t, а степень расхождения зависит от уровня процентных ставок, имеющих место в конкретный момент времени.
В прогнозных расчетах, например, при оценке инвестиционных проектов, как правило имеют дело с процентной ставкой, хотя обычно это не оговаривается. Объяснение этому может быть, например, таким.
1) Во-первых, анализ инвестиционных проектов, основанный на формализованных алгоритмах, может выполняться лишь в относительно стабильной экономике, когда уровни процентных ставок невелики и сравнительно предсказуемы в том смысле, что их значения не могут измениться в несколько раз или на порядок. Если вероятна значительная вариабельность процентных ставок, должны применяться другие методы анализа и принятия решений, основанные, главным образом, на неформализованных критериях. При разумных значениях ставок расхождения между процентной и дисконтной ставками, как мы видели, относительно невелики и потому в прогнозных расчетах вполне может быть использована любая из них.
2) Во-вторых, прогнозные расчеты не требуют какой-то повышенной точности, поскольку результатами таких расчетов являются ориентиры, а не "точные" оценки. Поэтому, исходя из логики подобных расчетов, предполагающих их многовариантность, а также использование вероятностных оценок и имитационных моделей, излишняя точность не требуется.
Итак, в любой простейшей финансовой сделке всегда присутствуют три величины, две из которых заданы, а одна является искомой.
Процесс, в котором заданы исходная сумма и процентная ставка, в финансовых вычислениях называется процессом наращения . Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и коэффициент дисконтирования, называется процессом дисконтирования . В первом случае речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором - о движении от будущего к настоящему (см. рис.).
Экономический смысл финансовой операции, задаваемой формулой (Матем. 1), состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Поскольку из формулы (Матем. 1):
то видно, что время генерирует деньги.
Величина FV показывает как бы будущую стоимость "сегодняшней" величины PV при заданном уровне доходности.
Экономический смысл дисконтирования заключается во временном упорядочении денежных потоков различных временных периодов. Коэффициент дисконтирования показывает, какой ежегодный процент возврата хочет (или может) иметь инвестор на инвестируемый им капитал. В этом случае искомая величина PV показывает как бы текущую, "сегодняшнюю" стоимость будущей величины FV.
| Предыдущая |
Дисконтирование от английского «discounting» – приведение экономических значений за разные промежутки времени к заданному отрезку времени.
Если у вас за плечами нет экономического или финансового образования, то этот термин, скорее всего, вам не знаком и вряд ли данное определение поясняет суть «дисконтирования», скорее – еще больше запутает.
Однако рачительному хозяину своего бюджета имеет смысл разобраться в этом вопросе, так как каждый человек оказывается в ситуации «дисконтирования» гораздо чаще, чем кажется на первый взгляд.
Дисконтирование — информация из Википедии
Описание дисконтирования простыми словами
Какому россиянину не знакома фраза «знать цену деньгам»? Это словосочетание приходит на ум, как только подходит очередь на кассе, и покупатель еще раз смотрит в свою продуктовую корзину, чтобы убрать из нее «ненужный» товар. Еще бы, ведь в наше время приходится быть расчетливым и экономным.
Под дисконтированием нередко понимают экономический показатель, который определяет покупательскую способность денег, их стоимость через определенный отрезок времени. Дисконтирование позволяет вычислить сумму, которую потребуется вложить сегодня, чтобы получить предполагаемый доход через некоторое время.
Дисконтирование – как инструмент прогнозирования будущей прибыли – востребован среди представителей бизнеса на этапе планирования результатов (прибыли) от инвестиционных проектов. Будущие результаты могут быть озвучены к началу осуществления проекта или в ходе реализации его последующих этапов. Для этого заданные показатели умножают на коэффициент дисконтирования.
Дисконтирование также «работает» в интересах обычного человека, не связанного с миром больших инвестиций.
Например, все родители стремятся дать своему ребенку хорошее образование, а оно, как известно, может стоить немалых денег. Не у всех к моменту поступления есть финансовые возможности (денежный резерв), поэтому многие родители задумываются о «заначке» (определенной сумме денег, проведенной мимо кассы семейного бюджета), которая сможет выручить в час икс.
Допустим, через пять лет ваш ребенок окончит школу и решит поступать в престижный европейский университет. Подготовительные курсы в этом университете стоят 2500 долларов. Вы не уверены, что сможете выкроить эти деньги из семейного бюджета, не ущемляя интересов всех членов семьи. Выход есть – надо открыть вклад в банке, для этого для начала хорошо бы вычислить величину вклада, который вы должны открыть в банке сейчас, чтобы в час икс (то есть пять лет спустя) получить 2500 при условии, что максимально выгодный процент, который может предложить банк, скажем –10 %. Чтобы определить, сколько стоит будущая трата (денежный поток) сегодня, делаем несложный расчёт: 2500 долларов делим на (1,10) 2 и получаем 2066 долларов . Это и есть дисконтирование.
Проще говоря, если вы хотите узнать, какова стоимость суммы денег, которую вы получите или собираетесь потратить в будущем, то вам следует «продисконтировать» эту будущую сумму (доход) по предлагаемой банком ставке процента. Такую ставку ещё называют «ставкой дисконтирования».
У нас в примере ставка дисконтирования равна 10%, 2500 долларов – это сумма платежа (или денежного оттока) через 5 лет, а 2066 долларов – это и есть дисконтированная стоимость будущего денежного потока.
Формулы дисконтирования
Во всем мире принято пользоваться специальными англоязычными терминами для обозначения текущей (дисконтированной) и будущей стоимости: future value (FV) и present value (PV) . Получается, что 2500 долларов – это FV, то есть стоимость денег в будущем, а 2066 долларов – это PV, то есть стоимость на данный момент времени.
Формула для расчета дисконтированной стоимости для нашего примера выглядит так: 2500 * 1/(1+R) n = 2066.
Общая формула дисконтирования: PV = FV * 1/(1+R) n
- Коэффициент, на который умножается будущая стоимость 1/(1+R) n , называется «фактором дисконтирования»,
- R – ставка процента,
- N – число лет от даты в будущем до настоящего момента.
Как вы видите, эти математические вычисления не так уж сложны и по силам не только банкирам. В принципе можно махнуть рукой на все эти цифры и расчёты, главное – уловить суть процесса.
Дисконтирование – это путь денежного потока от будущего к сегодняшнему дню – то есть мы идем от суммы, которую хотим получить через определенное количество времени, к сумме, которую должны потратить (инвестировать) сегодня.
Формула жизни: время + деньги
Давайте представим еще одну ситуацию, знакомую каждому: у вас появились «свободные» деньги, и вы пришли в банк, чтобы сделать вклад в размере, скажем, 2000 долларов. Сегодня положенные в банк 2000 долларов при банковской ставке 10% завтра будут стоить 2200 долларов, то есть 2000 долларов + проценты по вкладу 200 (=2000*10%) . Получается, что через год вы сможете получить 2200 долларов.
Если представить этот результат в виде математической формулы, то мы имеем: $2000*(1+10%) или $2000*(1,10) = $2200 .
Если вы кладёте 2000 долларов, сроком на два года, то эта сумма преобразуется в 2420 долларов. Считаем: $2000 + проценты, которые набежали за первый год $200 + проценты за второй год $220 = 2200*10% .
Общая формула наращения вклада (без дополнительных взносов) за два года выглядит так: (2000*1,10)*1,10 = 2420
Если вы захотите продлить срок вклада, то ваш доход по вкладу увеличится ещё больше. Чтобы узнать сумму, которую банк выплатит вам через год, два или, скажем, пять лет, нужно сумму вклада перемножить с множителем: (1+R) N .
При этом:
- R – это ставка процента, выраженная в долях от единицы (10% = 0,1),
- N — обозначает число лет.
Операции дисконтирования и наращения
Таким образом можно определить величину вклада в любой временной точке в будущем.
Расчет будущей стоимости денег называется «наращением».
Суть этого процесса можно объяснить на примере всем известного выражения «время – деньги», то есть с течением времени денежный вклад растет за счет приращения ежегодными процентами. На этом принципе работает вся современная банковская система, где время – это деньги.
Когда мы дисконтируем, то двигаемся от будущего к сегодняшнему дню, а когда «наращиваем», то траектория движения денег направлена от сегодняшнего дня в будущее.
Обе «цепочки расчетов» (и дисконтирование, и наращивание) позволяют проанализировать возможные изменения стоимости денег во времени.
Метод дисконтирования денежных потоков (ДДП)
Мы уже упоминали о том, что дисконтирование – как инструмент прогнозирования будущей прибыли – необходим для расчёта оценки эффективности проекта.
Так при оценке рыночной стоимости бизнеса принято учитывать только ту часть капитала, которая способна приносить доходы в будущем. При этом для владельца бизнеса важны многие моменты, например, время получения доходов (ежемесячно, ежеквартально, в конце года и тп); какие риски могут возникнуть в связи с прибыльностью и тп. Эти и другие особенности, влияющие на оценку бизнеса, учитывает метод ДДП.
Коэффициент дисконтирования
В основе метода дисконтирования денежных потоков лежит закон о «падающей» стоимости денег. Это значит, что со временем деньги «дешевеют», то есть теряют в цене по сравнению с текущей стоимостью.
Из этого следует, что необходимо отталкиваться от оценки на текущий момент, и все последующие денежные потоки или оттоки соотнести с сегодняшним днем. Для этого потребуется коэффициент дисконтирования (Кд), который необходим для приведения будущих доходов к текущей стоимости путем умножения Кд на потоки платежей. Формула расчета выглядит так:
где: r – ставка дисконтирования, i – номер временного периода.
Формула расчёта ДДП
Ставка дисконтирования – главная составляющая формулы ДДП. Она показывает, на какой размер (норму) прибыли может рассчитывать бизнес-партнер при инвестировании в какой–либо проект. Ставка дисконтирования учитывает различные факторы, в зависимости от объекта оценки, и может включать в себя: инфляционный компонент, оценку долей капитала, доходность по безрисковым активам, ставку рефинансирования, процент по банковским вкладам и не только.
Принято считать, что потенциальный инвестор не станет вкладывать в проект, стоимость которого будет выше, чем настоящая стоимость доходов от проекта в будущем. Точно так же собственник не станет продавать свой бизнес по цене, которая меньше, чем предполагаемая стоимость будущих доходов. По итогам переговоров стороны договорятся о рыночной цене, которая эквивалентна сегодняшней стоимости прогнозируемых доходов.
Идеальная ситуация для инвестора, когда внутренняя норма прибыли (ставка дисконтирования) проекта выше, чем затраты, связанные с поиском финансирования бизнес-идеи. В этом случае инвестор сможет «зарабатывать» так, как это делают банки, то есть аккумулировать деньги по сниженной ставке процента, а вкладывать их в проект по более высокой ставке.
Дисконтирование и инвестиционные проекты
Метод дисконтирования денежных потоков отвечает инвестиционным мотивам бизнеса.
Это значит, что инвестор, вкладывающий деньги в проект, приобретает не технические или человеческие ресурсы в виде команды высококвалифицированных специалистов, современных офисов, складов, высокотехнологичного оборудования и т.п., а будущий поток денег. Если продолжить эту мысль, то получается, что любой бизнес «выпускает» на рынок единственный продукт – это деньги.
Главное преимущество метода дисконтирования денежных потоков состоит в том, что этот метод оценки, единственный из всех существующих, ориентирован на будущее развитие рынка, что способствует развитию инвестиционного процесса.
6.2. Временнáя ценность денег: операции наращения и дисконтирования (теория и практика)
Важность учета фактора времени обусловлена принципом неравноценности денег, относящихся к различным моментам времени: равные по абсолютной величине денежные суммы "сегодня" и "завтра" оцениваются по-разному, – сегодняшние деньги ценнее будущих. Отмеченная зависимость ценности денег от времени обусловлена влиянием фактора времени.
Во-первых, деньги можно продуктивно использовать во времени как приносящий доход финансовый актив, то есть деньги могут быть инвестированы и тем самым принести доход. Рубль сегодня стоит больше, чем рубль, который должен быть получен завтра ввиду процентного дохода, который вы можете получить, положив его на сберегательный счет или проведя другую инвестиционную операцию;
Во-вторых, инфляционные процессы ведут к обесцениванию денег во времени. Сегодня на рубль можно купить товара больше, чем завтра на этот же рубль, так как цены на товар повышаются.
В-третьих, неопределенность будущего и связанный с этим риск повышает ценность имеющихся денег. Сегодня рубль уже есть и его можно израсходовать на потребление, а будет ли он завтра, – еще вопрос.
Возникают, как правило, две задачи.
Первая – это определение будущей стоимости «сегодняшних» денег. В качестве цены денег рассматривается процент, как экономическая категория, используемая для сопоставления одной и той же суммы денег в различные периоды времени с учетом того, что вложенная сумма денег приносит доход.
Вторая – это определение текущей стоимости «будущих» денег.
Для рассмотрения формул, используемых при решении данных задач, введем ряд условных обозначений:
PV – величина первоначальной суммы или настоящая (текущая) стоимость денег (presentvalue);
FV – наращенная сумма или будущая стоимость денег (futurevalue), первоначальная сумма с начисленными на нее процентами;
r – ставка процента за период начисления процентов или норма доходности (interestrate);
n – число процентных периодов.
Рассмотрим суть и содержание каждой из этих задач.
Будущая стоимость денег – это стоимость настоящих денег через определенный период времени, увеличенная (наращенная) при осуществлении финансовой операции согласно заданной норме доходности. Операция наращения – это процесс увеличения (наращения) настоящей стоимости денег согласно заданной норме доходности при осуществлении финансовой операции по схеме простых или по схеме сложных процентов.
Схема простых процентов предполагает начисление процентов в конце каждого периода начисления на настоящую стоимость денег.
Соответственно, будущая стоимость денег (по схеме простых процентов) к концу второго периода начисления процентов можно определить следующим образом:
FV=PV∙(1+r∙n)
Схема сложных процентов предполагает начисление процентов в конце каждого периода начисления на увеличенную на сумму начисленных процентов за предыдущие периоды стоимость денег. Принцип наращения при использовании схемы сложных процентов можно представить в таблице 2.
FV= PV∙〖(1+r)〗^n
Разберем теперь определение текущей стоимости денег (операция дисконтирования).
Текущая стоимость денег – это стоимость будущих денежных поступлений (платежей) в настоящий момент времени. Текущая стоимость денег определяется с помощью операции дисконтирования. Дисконтирование – это процесс приведения будущей стоимости денег к их текущей (приведенной) стоимости или оценка будущих денежных поступлений (платежей) с текущего момента времени.
Необходимость определения текущей стоимости денег обусловлена следующими факторами:
обесценивание денег в результате инфляции;
обращение денежных средств как капитала обеспечивает получение дохода от этого оборота;
предъявление инвестором определенных требований к доходности вкладываемых денежных средств (инвестором устанавливается норма доходности).
Модель операции дисконтирования описывается следующей формулой:
PV=FV/〖(1+r)〗^n
Пример 1. «Оценка будущей стоимости денег при использовании схемы простых процентов».
Организация помещает в банк 100 у.е. на три года. Банк использует при начислении схему простых процентов исходя из 12% годовых.
Определить: а) какая сумма денег будет на счете в банке на конец первого, второго и третьего года; б) какая сумма денег будет на счете в банке через три месяца.
Решение:
а) Определим сумму денег на счете в банке на конец соответствующего года:
на конец первого года: FV 1 = 100 · (1+0,12·1) = 112 у.е.;
на конец второго года: FV 2 = 100 · (1+0,12·2) = 124 у.е.;
на конец третьего года: FV 3 = 100 · (1+0,12·3) = 136 у.е.
б) Для определения суммы денег на счете в банке через три месяца необходимо определить ставку процента за три месяца:
Соответственно, сумма денег на счете через три месяца составит:
FV 3 мес. = 100 · (1 + 0,03·1) = 103 у.е.
Пример 2. «Оценка будущей стоимости денег при использовании схемы сложных процентов».
Организация помещает в банк 100 у.е. на три года. Банк использует при начислении схему сложных процентов исходя из 12% годовых.
Определить, какая сумма денег будет на счете в банке на конец первого, второго и третьего года, если период начисления процентов равен: а) году; б) трем месяцам; в) месяцу.
Решение:
Сумма денег на счете в банке на конец первого, второго и третьего года будет зависеть от длительности периода начисления процентов и составит соответственно:
а) длительность периода начисления процентов – год
FV 1 = 100 (1 + 0,12) 1 = 112 у.е.;
FV 2 = 100 (1 + 0,12) 2 = 125,5 у.е.;
FV 3 = 100 (1 + 0,12) 3 = 140,5 у.е.
б) длительность периода начисления процентов – три месяца
FV 1 = 100 (1+0,12/4) 12/3 = 100 (1+0,03) 4 = 112,6 у.е.;
FV 2 = 100 (1+0,12/4) 24/3 = 100 (1+0,03) 8 = 126,7 у.е.;
FV 3 = 100 (1+0,12/4) 36/3 = 100 (1+0,03) 12 = 142,6 у.е.
в) длительность периода начисления процентов – месяц
FV 1 = 100 (1+0,01) 12 = 112,7 у.е.;
FV 2 = 100 (1+0,01) 24 = 126,9 у.е.;
FV 3 = 100 (1+0,01) 36 = 143,1 у.е.
Можно сделать вывод, что меньше длительность периода начисления процентов, тем больше будет наращенная сумма за рассматриваемый период.
Пример 3. «Оценка текущей стоимости денег».
Предполагается получение 140,5 у.е. через три года. Ставка дисконтирования принимается на уровне 12% годовых (доход приносит вложенная сумма и полученные проценты). Первоначальный вклад составляет: а) 90 у.е.; б) 110 у.е.
Определить целесообразность заключения финансовой сделки в условиях разного первоначального вклада.
Решение:
Расчет текущей стоимости денег по приведенной модели дисконтирования выглядит следующим образом:
140,5/(1,12^3)=100
Расчет чистой текущей стоимости денег приведен по двум вариантам первоначальных затрат:
а) PVnet = 100 – 90 = 10 у.е.
б) PVnet = 100 – 110 = - 10 у.е.
По результатам расчетов можно сказать, что финансовая сделка целесообразна при условии первоначального вложения 90 у.е.
Под процентными средствами следует понимать абсолютный размер прибыли, полученной в результате предоставления денег. Они могут передаваться в любой форме. Это могут быть различные финансовые сделки. К примеру, осуществляется выдача ссуды, помещение средств на депозитный счет, продажа изделий в кредит, приобретение облигации, учет векселя и так далее. Особое значение при этом имеет связь между ставкой наращения и ставкой дисконтирования. Рассмотрим эти элементы подробнее.
Специфика
Представляет собой относительную сумму прибыли, полученной за определенный (фиксированный) временной отрезок. Она формируется отношением дохода к размеру задолженности. Измерение ее осуществляется в обыкновенной либо десятичной дроби или же в процентах. Проводя анализ финансовых операций, специалисты используют эту относительную сумму как показатель степени эффективности (доходности) любой коммерческо-хозяйственной, инвестиционной, кредитной деятельности. При этом не будет иметь значения, был ли факт инвестирования средств и процесс увеличения их объема, или он не состоялся. Временной промежуток, к которому приурочена ставка процента, именуется периодом начисления. Им может являться год, квартал, полугодие, месяц и даже день в некоторых случаях. Как правило, на практике используются годовые суммы.
Логика операций дисконтирования (наращения) капитала
По договоренности между заемщиком и кредитором, выплата процентов осуществляется по мере их начисления, либо они включаются в основную сумму задолженности. Увеличение объема средств во времени вследствие присоединения - это наращение капитала. Его именуют еще ростом суммы. - величина, обратная ставке наращения. Это обусловливается тем, что при сокращении сумма, которая относится к предстоящему периоду, уменьшается на показатель соответствующей скидки. В таких случаях говорят, что применяются учетные (дисконтированные) ставки. Проценты, полученные по ним, именуют антисипативными, а те, которые возникли по сумме увеличения, называют декурсивными. Такова логика операций дисконтирования (наращения) капитала.
Особенности начисления
В большинстве случаев декурсивные проценты именуют просто процентами. Для их начисления используется постоянная база. Когда в качестве нее принимается сумма, которая была получена на предыдущем этапе сокращения либо увеличения, применяются сложные проценты. Наращение и дисконтирование в таких случаях проходит по определенным схемам. Относительные суммы могут являться фиксированными. В этом случае в договоре определяются их размеры. Также они могут быть и плавающими. В этом случае в договоре указывается не ставка, а база, изменяющаяся во временном промежутке, а также сумма надбавки - маржи. Размер последней определяется сроком кредита, платежеспособностью заемщика и прочими условиями. В течение всего периода ссудной операции она может являться переменной либо постоянной. В случае последовательного погашения долга допускается два варианта начисления процентов. В первом случае ставка либо простая) применяется к фактически существующей сумме задолженности. Второй вариант используется при потребительском кредитовании. В этом случае начисление осуществляется на всю сумму обязательства без учета его последовательного погашения. На практике используются дискретные суммы. Они начисляются за определенные временные промежутки (полугодие, год и пр.). Операции наращения и дисконтирования могут проводиться непрерывно, в течение бесконечно малых периодов. В этом случае применяют и соответствующие проценты (непрерывные).
Формулы наращения и дисконтирования
Под увеличенной суммой долга (ссуды, депозита, прочих займов или инвестированных средств) следует понимать первоначальный объем денег с процентами к концу периода начисления. Таким образом, можно обозначить:
- проценты за весь срок - I;
- первоначальная сумма задолженности - Р;
- увеличенный объем средств (в конце периода) - S;
- процентная ставка - i;
- время ссуды - n.
За весь период проценты будут составлять:
Наращение суммы определяется сложением первоначальных средств и процентов:
P + I = P + Pni = P (1+ ni) = S.
На практике специалистам часто приходится сталкиваться с противоположной задачей. По сумме S, которая подлежит уплате через какой-то временной промежуток n, нужно определить размер ссуды, которая была получена - Р. В таких случаях имеет место дисконтирование. Расчет осуществляется тогда, когда проценты с суммы S будут удерживаться вперед, непосредственно при выдаче займа. Процесс начисления процентов и их списание именуют учетом. Сами же проценты называют дисконтом либо скидкой. Для вычисления нужно воспользоваться равенством S = P (1 + ni). Получится Р = S / (1 + ni). Таким образом, Р будет являться современным размером S, выплаченным спустя n лет. Приведенные вычисления показывают простые виды дисконтирования (наращения). В последнем случае рассмотрен вариант математического определения суммы. Как видно, при вычислениях используются показатели, которые применяются и в операции наращения, и дисконтирования.
Длительность периода
Операции наращения и дисконтирования могут вычисляться по двум временным базам. Если К будет 360 дней, то получаются коммерческие или обыкновенные проценты. При применении реальной продолжительности календарного года в 365 или 366 дней начисляют точные проценты. Количество дней ссуды берется точно и приближенно. В последнем случае в месяце будет 30 дней. Точное количество дней можно определить посредством вычисления их числа между датами, когда был выдан заем, и когда он должен быть погашен. По ст. 839, п. 1 ГК, дни, в которые был открыт и закрыт вклад, не включаются в общий срок для начисления.
Используемые варианты
На практике применяются три способа начисления процентов:
В процессе инвестирования средств в краткосрочный депозит в некоторых случаях применяют неоднократное последовательное повторение наращения по простому проценту в рамках общего заданного периода. Таким образом выполняется реинвестирование сумм, полученных на каждой стадии увеличения объема средств при помощи переменной или постоянной базы.
Сокращение
Дисконтирование может рассматриваться в качестве определения любого стоимостного показателя, относящегося к предстоящему времени, на более ранний период. Такой метод именуется приведением величины к некоторому, как правило начальному, моменту. Сумму Р, полученную при помощи сокращения, называют текущей стоимостью либо современным размером будущего платежа. В зависимости от используемого вида ставки процента используется два варианта дисконтирования:
- Математический метод.
- Коммерческий (банковский) учет.
В первом варианте, рассмотренном выше, полученная дробь именуется дисконтирующим множителем. Он отражает долю, которую составляет первоначальный размер задолженности в конечной сумме. При использовании метода коммерческого учета финансовый институт до наступления срока выплаты по векселю либо другому платежному обязательству покупает его у владельца по стоимости, меньшей, чем указана в бумаге. Таким образом, приобретение осуществляется с учетом скидки. При наступлении срока платежа банк, получив деньги, реализует процентную прибыль в форме дисконта. Владелец бумаги с помощью учета обладает возможностью получить средства раньше указанного в ней срока.
Особенности векселя
Эта ценная бумага представлена в виде Вексель оформляется в соответствии с законодательными требованиями. Нормы предусматривают специальные бланки, в которых присутствуют наименование, срок платежа, место, где он должен быть произведен, сведения о субъекте, которому предназначается оплата, информация о дате и месте составления бумаги, подпись векселедателя. Такие долговые расписки могут быть переводными и простыми. Последние представлены в виде документов, которые удостоверяют безусловное финансовое обязательство векселедателя выплатить определенную сумму владельцу бумаги по наступлению срока погашения обязательства. Переводным называют документ, который выписывает заемщик. Тратта - это форма особого приказа непосредственному плательщику (банковской организации, как правило) о выплате в установленный срок векселедержателю (третьему лицу) определенной суммы.
Учет векселя
Для таких ценных бумаг используется коммерческий (банковский) метод. В соответствии с ним проценты за использование ссуды в форме дисконта будут начисляться на сумму, которая должна быть выплачена в конце периода. Учетным показателем в этом случае выступает d. Размер суммы будет равен Snd. N будет измеряться в годах, если d - годовая ставка. Вычисления будут следующими:
Р = S - Snd = S (1 - nd),
где n - период с момента учета до дня погашения обязательства;
(1 - nd) - дисконтный множитель.
Учет, как правило, выполняется при временной базе К, равной 360 дням, количество дней займа чаще всего берется точное.
Другие варианты
Операции наращения и дисконтирования вычисляются не только по простым процентам. К примеру, суммы не выплачиваются сразу после начисления, а включаются в сумму задолженности. Такое присоединение именуют При вычислении можно применить те же показатели, что использовались выше.
По окончании первого года проценты равны Pi. Наращенная сумма при этом будет Р + Pi = Р (1 + i). К завершению второго года она станет Р (1 + i) + Р (1 + i) i = Р (1 + i) 2 и так далее. По окончании года n сумма будет S = Р (1 + i) n, а проценты за этот период I = S - P = Р [(1 + i) n - 1].
(1 + i) n - множитель наращения по сложным процентам. Время в таких случаях измеряют как АСТ/АСТ. Зачастую срок для начисления процентов не целое число.
Начисление процентов при увеличении средств
Существуют следующие варианты начисления при наращении:
Для сопоставления результатов увеличения по различным процентным показателям достаточно будет провести сравнение соответствующих множителей. При равных уровнях ставок процентов соотношения этих показателей будут существенно зависеть от периода. При n>1 с удлинением срока различие будет увеличиваться. Работая со сложными процентами, используют правило 72: если процентная ставка есть i, то удвоение суммы происходит приблизительно за 72/i лет. К примеру, при 12 % это случится спустя 6 лет.
Номинальный и эффективный показатель
В условиях современности капитализация процентов осуществляется, как правило, не единожды, а несколько раз в течение года. Это может осуществляться поквартально либо по полугодиям. В некоторых зарубежных коммерческих банковских структурах практикуется и ежедневное начисление. Если взять за годовую ставку j, количество периодов в году - m, каждый раз определение процентов будет осуществляться по j/m. Ставка j именуется номинальной. Существует также действительный (эффективный) показатель. Он представляет собой годовую ставку сложных процентов. С ее использованием получают тот же результат, что и при применении m - единовременное начисление процентов по j/m. Эта ставка измеряет тот относительный реальный доход, который получается в целом за год.
Банковский учет
При вычислении по коммерческому методу используется сложная ставка. В таких случаях процесс сокращения суммы проходит с определенным замедлением. Это обусловливается тем, что каждый раз учетную ставку применяют не к первоначальному объему средств. Она используется для суммы, дисконтированной на предыдущем этапе во временном промежутке. Эффективный учетный показатель характеризует степень сокращения за год. Эта ставка во всех случаях при m>1 будет меньше, чем номинальная.
I. Процессы наращения и дисконтирования в финансовых операциях.
1.1 Процентная ставка
Простейшие и самые распространенные финансовые операции связаны с кредитом. Если вы хотите занять деньги, то идете в банк. Банк даст вам деньги с определенными условиями возврата, которые включают величину, способы возврата и время возврата денег. Если вы предоставляете свой капитал на определенное время, то тоже указываете в договоре величину, способы возврата и время возврата денег. При заключении финансового договора кредитор и заемщик договариваются о величине процентной ставки . Процентная ставка (rate of interest) является одной из основных характеристик кредитных, финансовых, коммерческих и инвестиционных контрактов. Процентная ставка – одно из основных финансовых понятий.
Процентная ставка учитывает фактор времени. В контрактах обязательно указывается сроки, периоды выплаты денег.
Фраза «доллар сегодня дороже, чем доллар завтра», отражает основной принцип неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени (time-value of many). Имеющуюся сегодня сумму можно инвестировать и получить в будущем доход, и сегодняшние 1000 руб. имеют большую ценность чем те же 1000 руб. через три или пять лет с учетом инфляции и рисков невозврата инвестиции (кредита). Фактор времени в долгосрочных операциях иногда оказывается важнее, чем величина суммы денег.
Процентная ставка учитывает временной интервал , который называется периодом начисления (running period). Периодом начисления может быть год, квартал, месяц, день. В практической деятельности и в статистике обычно подразумеваются годовые процентные ставки.
Процентная ставка учитывает риски финансовых операций и инфляцию . Процентная ставка является мерой эффективности (доходности) финансовой деятельности, кредитования, инвестиции, коммерческой деятельности.
Существуют различные виды процентных ставок. Ставки наращения (interest base rate), которые в зависимости от начальной суммы (базы начисления) в соответствующем периоде начисления подразделяются на простые и сложные. Учетная ставка (discount rate) – используется в операциях банковского дисконтирования, когда необходимо найти первоначальную сумму при известной конечной сумме.
Процентные ставки бывают фиксированным и плавающими. Базовая процентная ставка показывает изменяющуюся во времени базу и размер надбавки к ней (маржу). Например, межбанковская ставка LIBOR (London interbank offered rate), базовая ставка по рублевым кредитам МИБОР.
Важные для финансовой деятельности процентные ставки имеют специальное название. Это ставки рефинансирования Центрального Банка России (для США Федеральной резервной системы, далее ФРС). Ставка рефинансирования – это процентная ставка, по которой ЦБ выдает кредиты коммерческим банкам . За их изменениями внимательно следят участники финансового рынка.
Процентные ставки изменяются во времени, и зависимость от времени процентной ставки (временная структура процентной ставки) является одной их важнейших характеристик финансового рынка.
Процентные ставки выражаются либо в процентах, либо в долях единицы. Далее везде будем использовать в формулах значения процентов в виде десятичной дроби.
1.2 Процессы наращения и дисконтирования.
Процесс наращения – это увеличение первоначальной суммы денег..gif" width="21" height="24 src=">- исходная сумма, - наращенная сумма за время t или будущая сумма. Эффективность такой финансовой операции за один период Т от t = 0 до t = T рассчитывается, как доля прироста капитала к первоначальной сумме
https://pandia.ru/text/78/654/images/image006_39.gif" width="12 height=13" height="13">называется процентной ставкой за период наращения Т.
Рис.1.1. Графическое изображение процесса наращения.
Настоящее. Будущее.
Начальная (настоящая) сумма Возвращаемая (будущая)сумма
(РV-present value) (FV –future value)
https://pandia.ru/text/78/654/images/image008_33.gif" width="246" height="12"> https://pandia.ru/text/78/654/images/image009_29.gif" width="97" height="24 src=">. (1.2)
Время генерирует деньги.
Если известна возвращаемая сумма и надо найти отношение прироста к конечной сумме https://pandia.ru/text/78/654/images/image012_26.gif" width="15" height="19 src=">
дисконтирование
https://pandia.ru/text/78/654/images/image010_28.gif" width="17" height="24 src="> и первоначальной суммой долга.
https://pandia.ru/text/78/654/images/image017_20.gif" width="34" height="24">при известной величине называется дисконтированием или банковским учетом. Из (1.3) эта величина равна
. (1.5)
В финансовой практике d называется часто учетной ставкой. Учетная ставка используется тогда, когда плата за кредит (процентный доход) начисляется авансом при выдаче кредита и связана с так называемым «антисипативным» способом начисления процента. Заемщику выдается сумма, уменьшенная на величину процентного дохода, а возвращается полная сумма долга.
Из формул (1.2) и (1.5) легко найти связь между процентной ставкой r и учетной ставкой d.
https://pandia.ru/text/78/654/images/image021_20.gif" width="72" height="45 src=">..gif" width="45" height="24 src=">.gif" width="133" height="41 src=">. (1.6)
Из приведенных формул следует, что теоретическая дисконтная ставка d меньше процентной ставки r .
Наряду с банковским дисконтированием, в котором используется учетная ставка, существует и математическое дисконтирование, в котором, используется процентная ставка r . При математическом дисконтировании сумма за один период равна
https://pandia.ru/text/78/654/images/image027_17.gif" width="43 height=17" height="17">, то можно использовать приближение , в результате получим .
Выше приведенные соотношения между начальной и наращенной суммой соответствуют одному временному интервалу – периоду начисления (дисконтирования) t . Если таких периодов несколько, то в формулах наращения (1.2) и дисконтирования (1.5) появляется коэффициенты (множители) наращения и дисконтирования.
Пример 1. Фирма получила кредит на один год в размере 10 млн. руб. с условием возврата а) 15млн. руб., б) 10,5 млн. руб. Найти процентную ставку и дисконт.
а) https://pandia.ru/text/78/654/images/image031_11.gif" width="120 height=41" height="41"> в процентах r = 50%, d = 33,33%.
б) https://pandia.ru/text/78/654/images/image033_13.gif" width="140" height="44 src=">, в процентах r = 5%, d = 4,8%.
При равных наращенных и начальных суммах величина учетной ставки меньше процентной ставки. При уменьшении наращенной суммы разность между учетной и процентной ставкой уменьшается.
Пример 2. Кредит был выдан под 12% годовых. Найти начальную сумму, если возвращаемая сумма равна 650 тыс. руб.
Решение. Расчет начальной суммы можно произвести двумя способами. По методу банковского дисконтирования (1.5) начальная сумма равна
https://pandia.ru/text/78/654/images/image035_10.gif" width="97" height="44 src=">580,357 тыс. руб.
Пример 3. Сравнить наращенные проценты по процентной ставке и учетной ставке, считая их равными.
Решение. Величина наращенных процентов по процентной ставке r равна , по учетной ставке d равна , поскольку , то при равенстве r = d , учетная ставка приводит к большей величине задолженности, чем процентная ставка r.
1.3. Начисление простого процента и сложного процента.
Простой процент.
Простой процент начисляется за все время действия контракта на определенную первоначальную сумму. Этот способ начисления процентов называют “наращиванием без капитализации”. Наращенная сумма при ежегодном начислении процентов или будущая стоимость (future value) равна
https://pandia.ru/text/78/654/images/image040_8.gif" width="112" height="45 src=">, (1.9)
где https://pandia.ru/text/78/654/images/image042_7.gif" width="91" height="24"> или .
Пример 4. Кредит в размере 2 млн. руб. был выдан на 60 дней под 12% годовых. Найти наращенную сумму и процентный доход.
Решение. По формуле (1.9) найдем наращенную сумму
https://pandia.ru/text/78/654/images/image045_8.gif" width="111" height="41">=0,4 млн. руб.
Пример 5. Банк предлагает депозит с начислением на первоначальную сумму. Первые три месяца по ставке 4% годовых, в следующие три месяца процент возрастает на 0,5%. Найти наращенную сумму и процентный доход, если сумма вклада составляет 30 000руб.
Решение..gif" width="164" height="41 src=">=337,5 руб. За все шесть месяцев процентный доход равен 300+337,5=637,5 руб. Наращенная сумма равна DIV_ADBLOCK119">
Сложный процент.
Начисление сложного процента осуществляется на наращенную сумму, поэтому этот способ начисления называют «наращением с капитализацией»..gif" width="107" height="39 src=">, (1.10)
где r - годовая процентная ставка (per annual), выраженная в виде долей единицы. Величина часто бывает нецелым числом. В зависимости от внутренних правил банка для расчета наращенной суммы при дробном числе лет как формула (1.10) или применяться приближенная формула.
https://pandia.ru/text/78/654/images/image054_6.gif" width="21" height="45">, а f - дробная часть этого числа. Если начисление сложных процентов происходит m раз в году течении n лет, то расчет наращенной суммы за время производят по формуле
, (1.12)
где r
– годовая процентная ставка (номинальная), https://pandia.ru/text/78/654/images/image059_10.gif" width="77" height="24 src="> – называется множителем наращения
, а – коэффициентом наращения
. Наращенная сумма зависит от частоты начисления процентов. Чем больше частота начисления процентов, тем больше наращенная сумма. Таким образом, для вкладчика выгоднее частое начисление процентов, а для заемщика наоборот. В кредитных контрактах и депозитных договорах , когда начисление процентов происходит по сложной процентной ставке, указывается годовая процентная ставка, которая называется номинальной.
Непрерывное начисление процентов.
Если частота начисления процентов становится непрерывной, то есть частота начисления процентов бесконечно возрастает , а временной интервал начисления становится бесконечно малым, то наращенная сумма или будущая стоимость рассчитывается по формуле
, (1.13)
где https://pandia.ru/text/78/654/images/image002_62.gif" width="12 height=23" height="23">.gif" width="79" height="41 src=">.gif" width="133" height="51 src=">, (1.14)
где – DIV_ADBLOCK120">
https://pandia.ru/text/78/654/images/image071_6.gif" width="227" height="25 src=">, (1.16)
где https://pandia.ru/text/78/654/images/image073_4.gif" width="68" height="41 src=">; (1.17)
для сложных процентов из формулы (1.12)
. (1.19)
Пример 6. Сколько лет потребуется для увеличения первоначальной суммы в 1,2 раза, если номинальная процентная ставка равна 9%, а начисление процентов происходит 4 раза в год.
Решение. По формуле (1.19) найдем необходимое число лет:
N = 1,2; m = 4, https://pandia.ru/text/78/654/images/image077_5.gif" width="13" height="13 src=">2 года.
Решение. Расчет проведем по формуле (1.12) в Excel. Результаты расчетов приведены ниже в таблице и на гистограммах ниже.
Таблица 1. Наращенные суммы и множители наращения для различной частоты начисления процентов в году .
Частота начислений в году | Наращенная сумма | Базисное наращение | Цепное наращение |
||
Начальная сумма 1000 | |||||
